三、小结三、小结 思考题思考题二、最大值最小值问题二、最大值最小值问题一、函数的极值及其求法一、函数的极值及其求法 第三章 1.问题的提出问题的提出例如例如 (P146例例4)一、函数的极值及其求法一、函数的极值及其求法一、函数的极值及其求法一、函数的极值及其求法2 2 2 2、函数极值的定义函数极值的定义函数极值的定义函数极值的定义图形分析：图形分析：定义定义函数的极大值与极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点。注意注意 极值点不唯一。 极值是局部性的。 对一函数而言，极小值可能比极大值大。定理定理1.1.可导函数取极值的必要条件设在点处可导取得极值 前面已前面已定义定义注意注意: :例如：例如：例如：例如：因此驻点和因此驻点和 不存在的点是极值可疑点。不存在的点是极值可疑点。判定极值存在的判定极值存在的第一充分条件第一充分条件左正右负左正右负左负右正左负右正求极值的步骤求极值的步骤: :( (不是极值点情形不是极值点情形) )例例1. 求函数求函数的极值 .解解: :1) 求导数2) 求极值可疑点令得当3) 列表判别是极大点， 其极大值为是极小点， 其极小值为定理定理2 ( (极值第二判别法极值第二判别法) )二阶导数,且则 在点 取极大值 ;则 在点 取极小值 .证证: : (1)存在由第一判别法知(2) 类似可证 .例例2. 求函数的极值 . 解解: : 1) 求导数2) 求驻点令得驻点3) 判别因故 为极小值;又故需用第一判别法判别.定理定理3 ( (判别法的推广判别法的推广) )则:数,且1) 当 为偶数时,是极小点;是极大点.2) 当 为奇数时,为极值点,且不是极值点 .当 充分接近 时,上式左端正负号由右端第一项确定,故结论正确 .证证: : 利用 在 点的泰勒公式, 可得例如例如,例2中所以不是极值点 .极值的判别法(定理1 定理3 ) 都是充分的. 说明说明: :当这些充分条件不满足时,不等于极值不存在 .例如例如: :为极大值, 但不满足定理1 定理3 的条件.最值问题：最值问题： 在工农业生产、工程技术和科学实验中，常常会遇到在一定的条件下，怎样使“成本最低”、“利润最大”、“用料最省”、“效率最高”等问题，这类问题一般可化为求某一函数(称为目标函数)的最大值或最小值问题。最值定义：最值定义：二、最大值与最小值问题最大值与最小值问题 函数的最大值与最小值统称为最值，使函数取得最值的点称为最值点。最值与极值的区别：最值与极值的区别： 极值是对极值点的某邻域,最值是对整 个定义区间。 极值只能在区间内取,最值可在端点或区 间内取得。则其最值只能在极值点极值点或端点端点处达到.闭区间连续函数最值存在闭区间连续函数最值存在 从以上几段曲线可以看出：最值可以在开区间(a,b)内点处取得，即极值点，也就是有限个驻点与导数不存在的点，同时最值也可以在整个区部的端点处取得。由此可按以下方法进行求最值。1.求驻点和不可导点;2. .求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值；最值的求法最值的求法步骤步骤特别特别: 当 在 内只有一个极值可疑点时, 当 在 上单调单调时, 最值必在端点处达到.若在此点取极大 值,则也是最大 值 . (小) 对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大 值点或最小值点 .(小)例例3. 求函数在闭区间上的最大值和最小值 .解解: :显然且故函数在取最小值 0 ;在及取最大值 5.因此也可通过例例3. 求函数说明说明: :求最值点.与最值点相同, 由于令( ( 自己练习自己练习 ) )在闭区间上的最大值和最小值 .( k 为某一常数 )例例4. 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C 距 A 处20AC AB , 要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条 已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5 , 为使货D 点应如何选取? 20解解: :设则令得 又所以 为唯一的极小点,故 AD =15 km 时运费最省 .总运费物从B 运到工厂C 的运费最省,从而为最小点,问Km ,公路, 例例5. 把一根直径为 d 的圆木锯成矩形梁,问矩形截面的高 h 和 b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大? 解解: 由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为令得从而有即由实际意义可知,所求最值存在,驻点只一个,故所求结果就是最好的选择 .用开始移动,例例6. .设有质量为 5 kg 的物体置于水平面上,受力 作解解: :克服摩擦的水平分力正压力即令则问题转化为求的最大值问题 . 为多少时才可使力设摩擦系数问力与水平面夹角的大小最小?令解得而因而 F 取最小值 .解解: :即令则问题转化为求的最大值问题 .清楚(视角 最大) ? 观察者的眼睛1.8 m ,例例7. 一张 1.4 m 高的图片挂在墙上,它的底边高于解解: :设观察者与墙的距离为 x m , 则令得驻点根据问题的实际意义,观察者最佳站位存在,唯一,驻点又因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚 .问观察者在距墙多远处看图才最内容小结内容小结1. 连续函数的极值(1) 极值可疑点: 使导数为0 或不存在的点(2) 第一充分条件过由正变负由正变负为极大值过由负变正由负变正为极小值(3) 第二充分条件为极大值为极小值(4) 判别法的推广 ( Th.3)最值点应在极值点和边界点上找 ;应用题可根据问题的实际意义判别 .思考与练习思考与练习(L. P500 题4)2. 连续函数的最值1. 设则在点 a 处( ).的导数存在,取得极大值;取得极小值;的导数不存在.B提示提示: : 利用极限的保号性 .2. 设在的某邻域内连续,且则在点处(A) 不可导;(B) 可导,且(C) 取得极大值;(D) 取得极小值 .D提示提示: : 利用极限的保号性 .3. .设是方程的一个解,若且则在(A) 取得极大值;(B) 取得极小值;(C) 在某邻域内单调增加;(D) 在某邻域内单调减少.提示提示: :A作业作业 P160 1 (5), (9); 2 ; 3 ; 5 ; 10; 14; 15