第18讲 交通流理论2第一节 概述为了描述交通流而采用的一些数学或物理的方法，它用分析的方法阐述交通现象及其机理，使我们更好地理解交通现象及其本质。 最早采用的数学方法是概率论方法，分析交通量不大的交通流是可行的，但随着车辆的增多，交通事故、交通阻塞现象越来越严重，交通流中车辆的独立性越来越小，概率论方法逐渐难以适应，于是相继出现了跟驰理论、排队理论、流体动力学模拟理论等，这些理论在实际应用中解决了一些具体方面的问题，但还不是很完善，交通流理论还没有形成完整的体系，还有待于进一步发展。3在20世纪30年代才开始发展，概率论方法。1933年，Kinzer.J.P泊松分布用于交通分析的可能性。1936年，Adams.W.F发表数值例题。1947年，Greenshields泊松分布用于交叉口分析。20世纪50年代，跟驰理论，交通波理论(流体动力学模拟)和车辆排队理论。1975年丹尼尔(DanieL lG)和马休（Marthow，J.H）出版了交通流理论一书。1983年，蒋璜翻译为中文。人交出版社出版。4 例如20世纪90年代，纽约市政府原拟修建通往新泽西的新隧道，交通科学家们利用交通流动力学知识，经过合理的建模和分析，调整了原有隧道的交通控制和管理系统，使交通流始终处于高流量的亚稳态，交通通行能力增加20，从而取消了修建新隧道的计划，这是交通流动力学成功应用的一个范例。事实证明，解决“交通难”问题的根本出路在于发展交通科学技术及其基础理论（包括交通流动力学）。案例介绍5 我们在观测交通量或车辆的车头时距时，会发现在固定的计数时间间隔内，每个间隔内查到的车辆数是变化的，所观测到的连续车头时距也是不同的，这说明车辆的到达是有一定随即性的，为了描述这种随机性而采用的概率统计方法可分为两种：离散型和连续型。应用：（1）信号配时的研究中，利用离散分布来描述车辆到达的分布规律，可以预测一个周期内到达的车辆数；（2）在计算支路的通行能力中，利用可接受间隙理论，采用连续分布来描述车头时距的分布特性。第二节 交通流特性参数的统计分布6一、离散型概率统计模型一、离散型概率统计模型 离散型模型描述一定时间间隔内到达车辆数的波动情况，或分析一定长度路段内存在车辆数的分布情况。常用的离散型分布模型有三种：7（一）、泊松分布（一）、泊松分布1、基本公式： k=0、1、2、3 式中：P(k)-在计数间隔t内到达k辆车的概率 -车辆的平均到达率（辆/s） t-计数间隔的时间长度（s）令：m=t，为计数间隔t内平均到达的车辆数 则： 2、递推公式：P(0)= e-m， 3、适用条件：车辆密度不大，车辆间相互影响小，没有外界干扰因素的车流，即车流是随机的。 84、判断条件：泊松分布的均值M和方差D均等于t。当观测数据的均值m与方差S2的比值明显不等于1时，就是泊松分布不适合的表示，当近似等于1时，可用泊松分布。 观测数据的均值m和方差S2为： m= 9【例例】 Adams数值例题对某一交叉口观测数据如下10解：t=10s，=111/（180*10） 辆/m，m=t=0.61711【例例】 设60辆车随机分布在4km长的路段上，服从泊松分布，求任意400m长的路段上有4辆及4辆以上汽车的概率。解：t=400 m，=60/4000 辆/m，m=t=6辆12【例】某信号灯交叉口的周期C =97s，有效绿灯时间g =44s，在有效绿灯时间内排队的车流以s=900（辆/h）的交通量通过交叉口，在有效绿灯时间外到达的车辆要停车排队。设信号灯交叉口上游车辆的到达率q=369（辆/h），服从泊松分布，求到达车辆不至于两次排队的周期数占周期总数的最大百分率。13解：由于车流只能在有效绿灯时间通过，所以一个周期能通过的最大车辆数AVg44900/360011辆，如果某周期到达的车辆数N大于11辆，则最后到达的N11辆车要发生二次排队。泊松分布中一个周期内平均到达的车辆数：14（二）、二项分布（二）、二项分布 1、基本公式：P(k) =Cnk( )k(1- )n-k k=1、2 n Cnk = 常令：P= ，有0PD。即当观测数据的S2/m明显大1时，就说明不属于二项分布，即S2/m应小于1。 因m/ S21，说明车流的离散性比较小，车辆较拥挤，由此得出适用条件。 对公式中的n、P可通过实际观测值来确定，用实际观测数据的S2、m代替D、M，则有： ， （取整数) 16【例】以15s间隔观测到达车辆数，得到结果解：解：17 二、连续型概率统计模型二、连续型概率统计模型 连续型概率统计模型描述车辆到达时间间隔的分布规律。（一）、负指数分布（一）、负指数分布1、基本公式对泊松分布有：P(k)= e-mT时间内没有车辆到达的概率为：P(0) = e-m =e-t 说明车头时距h大于t的概率即为：P(ht) =e-t 。此式即为负指数分布的基本公式。对P(ht)进行求导，可得到负指数分布的概率密度函数： P(t)= e-t 以上公式中的可由样本的均值m（平均车头时距）求得：= ，此时车头时距的方差D= 。182、适用条件 适用于车辆到达是随机的。交通密度较小，有充分超车机会的单列车流。 一般认为交通量小于500辆/h车道的车流服从负指数分布。3、负指数分布的局限性 由P(t)= e-t 可知，P(t) 是随t单调递减的，即越小的车头时距发生的概率越大。这与实际情况不符，因为车辆间总会有一个最小的车头时距，因此，当t时的P(t) 是不正确的，为了消除这一影响，提出了移位负指数分布。194、次要道路车辆穿越主要道路车辆数的计算假设一交叉口某进口道的直行车流(即主要车流)与对向左转车流(即次要车流)的冲突点为C, 左转专用道最多可容纳n辆车排队. 记驶过C点的直行车流的车头时距为h, a为一辆左转车辆穿越对向直行车流时直行车流的最小车头时距, a0为左转车辆连续通过C点的最小车头时距. 当aha+a0时, 允许一辆左转车穿过C点; 当a+(k-1)a0 h a+ka0且k n时, 允许k辆从排队驶出的左转车穿过C点; 当h a+na0时, 一律只允许n辆左转车穿过C点. 记直行车穿过C点的流率为, 车头时距服从负指数分布.要求计算单位时间内能允许多少辆左转车穿过C点. 主要道路车辆到达的车头时距服从负指数分布。20 当次要道路上有足够多车辆等待时： 穿过一辆需要的最小车头时距为a（a1），二辆：a+a0（a2），三辆：a+2a0（a3）， 则，主要道路车流中车头时距大于a1的数目： N1=P(ha1)= e-主要道路车流中车头时距大于a2的数目：N2= e-a2 则，主要道路车流中允许一辆车穿过的车头间隔数目为：N1-N2 主要道路车流中允许二辆车穿过的车头间隔数目为：N2-N3 主要道路车流中允许三辆车穿过的车头间隔数目为：N3-N4 21 到达率为的车流允许穿越的车辆数总和为： Q次=1（N1-N2）+2（N2-N3）+3（N3-N4）+ =N1+N2+N3+N4+=e-a1 + e-a2 + e-a3 + =e-a + e-(a+a0) + e-(a+2a0) + 令n趋于无穷： 22【例例】对于单向平均流量为360辆/h的车流，求车头时距大于10s的概率。解：车头时距大于10s的概率也就是10s以内无车的概率。 由=360/3600=0.1 同样，车头时距小于或等于10s的概率为：23【例】在一条有隔离带的双向四车道道路上，单向流量为360辆/h，该方向路宽7.5m，设行人步行速度为1m/s，求1h中提供给行人安全横过单向车道的次数，如果单向流量增加到900辆/h， 1h中提供给行人安全横过单向车道的次数是增加还是减少 。24解：行人横过单向行车道所需要的时间： t =7.5/1=7.5s 因此，只有当h7.5s时，行人才能安全穿越，由于双车道道路可以充分超车，车头时距符合负指数分布，对于任意前后两辆车而言，车头时距大于7.5s的概率为： 对于 Q=360辆/h的车流，1h车头时距次数为360，其中h7.5s的车头时距为可以安全横穿的次数：25当Q = 900辆/h时，车头时距大于7.5s的概率为：1h内车头时距次数为900，其中h7.5s的车头时距为可以安全横穿的次数：26作业复习：中文教材第五章第一节第二节习题：中文教材P110习题1，习题2