第七节第七节 晶体的非简谐效应晶体的非简谐效应3.7.1 3.7.1 热膨胀热膨胀本节主要内容本节主要内容: :3.7.2 3.7.2 热传导热传导3.7 晶体的非简谐效应简谐近似：近似： (1) (1)在在简谐近似的情况下，晶格原子振近似的情况下，晶格原子振动可描画可描画为3N3N个个线性独立的性独立的谐振子的迭加，振子的迭加，各振子各振子间不不发生作用，也不交生作用，也不交换能量；能量； (2) (2)晶体中某种声子一旦产生，其数目就不断坚持不变，既不能把能量传送给其晶体中某种声子一旦产生，其数目就不断坚持不变，既不能把能量传送给其他声子，也不能使本人处于热平衡形状。他声子，也不能使本人处于热平衡形状。用用简谐近似近似实际不能解不能解释晶体的晶体的热膨膨胀和和热传导景象。景象。晶体的非晶体的非简谐效效应：微微扰项声子声子间有相互有相互作用作用能量交能量交换系系统到达到达热平衡平衡 两个声子两个声子经过非非简谐项的作用，而的作用，而产生第三个声子。生第三个声子。这可以看成是两个声子的可以看成是两个声子的相互碰撞，最后相互碰撞，最后产生第三个声子。生第三个声子。微扰项微扰项声子间的相互作用遵照能量守恒和准动量守恒声子间的相互作用遵照能量守恒和准动量守恒碰撞前后系碰撞前后系统准准动量不量不变，对热流无影响。流无影响。-正常过程正常过程( N( N过程过程) )；(1)(1)-反常过程反常过程( U( U过程过程) )。(2)(2)以下用非以下用非简谐近似近似实际解解释晶体的晶体的热膨膨胀和和热传导景象景象3.7.1 热膨胀 热膨膨胀：在不施加：在不施加压力的情况下，晶体体力的情况下，晶体体积随温度随温度变化的景象称化的景象称为热膨膨胀。 假假设有两个原子，一个在原点固定不有两个原子，一个在原点固定不动，另一个在平衡位置，另一个在平衡位置R0R0附近作振附近作振动，分，分开平衡位置的位移用开平衡位置的位移用表示，表示，势能在平衡位置附近展开：能在平衡位置附近展开：01.物理图象R0R01 1简谐近似近似RU(r)R0两原子两原子间距不距不变，无，无热膨膨胀景象景象2 2非非简谐效效应两原子两原子间距增大，有距增大，有热膨膨胀景象。景象。由玻由玻尔兹曼曼统计，原子分开平衡位置的平均位移，原子分开平衡位置的平均位移2.实际计算(c(c、g g均均为为正常数。正常数。) )(1)(1)简谐近似：近似：在在简谐近似下无近似下无热膨膨胀景象。景象。是是的奇函数的奇函数(2)(2)非简谐效应非简谐效应: :在非在非简谐效效应下，有下，有热膨膨胀景象。景象。公式推导公式推导 终了终了线膨膨胀系数系数当当势能只保管到能只保管到3 3次方次方项时，线膨膨胀系数与温度无关。系数与温度无关。假假设保管更高次保管更高次项，那么，那么线膨膨胀系数与温度有关。系数与温度有关。显然，在然，在简谐近似下，近似下，g=0g=0，=0=0。3.7.2 热传导 当晶体中温度不均匀当晶体中温度不均匀时，将会有，将会有热能从高温能从高温处流向低温流向低温处，直至各，直至各处温度相等到温度相等到达新的达新的热平衡平衡, , 这种景象称种景象称为热传导。( (为正值为正值) )为热传导系数或热导率。为热传导系数或热导率。负号号阐明明热能能传输总是从高温区流向低温区。是从高温区流向低温区。晶体晶体热传导电子子热导晶格晶格热导电子运子运动导热( (金属金属) )格波的格波的传播播导热( (绝缘体、半体、半导体体) )(1)(1)气体气体热传导CV单单位体位体积热积热容容 -平均自在程平均自在程热运动平均速度热运动平均速度放能放能吸能吸能高高温温区区低低温温区区气体分子气体分子碰碰 撞撞碰碰 撞撞1.微观解释(2)(2)晶格热传导晶格热传导晶格晶格热振振动看成是看成是“声子气体，声子气体，声子数密声子数密度大度大声子数密声子数密度小度小分散分散低低温温区区高高温温区区CV单单位体位体积热积热容容 -声子自在程声子自在程声子平均速度声子平均速度( (常取固体中声速常取固体中声速) )2.讨论与T的关系1)1)高温高温时，TTD DCV单位体积热容，单位体积热容， -声子自在程，声子自在程， 声子平均速度声子平均速度(常取固常取固体中声速体中声速)。根本与温度无关，根本与温度无关，CvCv和和与温度亲密相关与温度亲密相关(2)(2)低温时，低温时，TTD D 由于在实践晶体中存在杂质和缺陷，声子的平均自在程不会非常大。对于完好由于在实践晶体中存在杂质和缺陷，声子的平均自在程不会非常大。对于完好的晶体，的晶体， (D (D为晶体线度为晶体线度) )。实践上践上热导系数并不会系数并不会趋向无向无穷大。大。低温低温时：完好晶体当温度趋向零度时，热导率是多少？完好晶体当温度趋向零度时，热导率是多少？第三章第三章 晶格振动晶格振动总总 结结v三维晶格振动、声子三维晶格振动、声子v一维晶格振动一维晶格振动v确定晶格振动谱的实验方法确定晶格振动谱的实验方法v晶体比热晶体比热v晶体的非简谐效应晶体的非简谐效应v长波近似长波近似 振振动很微弱很微弱时，势能展式中只保管到能展式中只保管到( (r)2r)2项,3,3次方以上的高次次方以上的高次项均忽略掉的均忽略掉的近似近似为简谐近似近似( (忽略掉作用力中非忽略掉作用力中非线性性项的近似的近似) )。 格波：晶体中的原子都在它的平衡位置附近不断地作微振格波：晶体中的原子都在它的平衡位置附近不断地作微振动，由于原子，由于原子间的相的相互关互关联，以及晶体的周期性，以及晶体的周期性，这种原子振种原子振动在晶体中构成格波。在晶体中构成格波。一维晶格振动 在在简谐近似下，格波可以分解成近似下，格波可以分解成许多多简谐平面波的平面波的线性叠加。性叠加。模型模型运运动方程方程 试探解探解色散关系色散关系波矢波矢q范范围一维无限长原子链，一维无限长原子链，m，a，晶格振晶格振动波矢的数目波矢的数目=晶体晶体的原胞数的原胞数B-K条件条件波矢波矢q取取值n-2nn+1n+2n-1amm一维双原子链振动一维双原子链振动2n-22n2n+12n+22n-1Mma3nN声子声子3N声学声子，声学声子， (3n-3)N光学声子。光学声子。3nN个振个振动方式方式晶格振晶格振动的波矢数目的波矢数目 = =晶体的原胞数晶体的原胞数N N，格波振格波振动频率数目率数目= =晶体的自在度数晶体的自在度数mNnmNn，独立的振独立的振动方式数方式数= =晶体的自在度数晶体的自在度数mNnmNn。N是晶体的原胞个数，是晶体的原胞个数，n是原胞内原子个数，是原胞内原子个数，m是是维维数。数。声子：晶格振动的能量量子。能量为声子：晶格振动的能量量子。能量为准动量为准动量为 。三维晶格振动、声子长 波 近 似长声学支格波可以看成延续波，晶体可以看成延续介质。离子晶体的离子晶体的长光学波光学波 (1) (1)式代表振动方程，右边第一项式代表振动方程，右边第一项 为准弹性恢复力，第二项表示电场为准弹性恢复力，第二项表示电场 附加附加了恢复力。了恢复力。 (2) (2)式代表极化方程，式代表极化方程， 表示离子位移引起的极化，第二项表示电场表示离子位移引起的极化，第二项表示电场 附加附加了极化。了极化。 -黄昆方程黄昆方程1.黄昆方程-著名的著名的LST关系关系光频介电常量光频介电常量静电介电常量静电介电常量(2)(2)铁电软模模( (光学光学软模模) )3.极化声子和电磁声子 由于由于长光学波是极化波，且只需光学波是极化波，且只需长光学光学纵波才伴随着宏波才伴随着宏观的极化的极化电场，所以，所以长光学光学纵波声子称波声子称为极化声子。极化声子。 长光学横波与光学横波与电磁磁场相耦合，它具有相耦合，它具有电磁性磁性质，称，称长光学横波声子光学横波声子为电磁声子。磁声子。2.LST关系确定晶格振动谱的实验方法中子的非中子的非弹性散射、光子散射、性散射、光子散射、X射射线散射。散射。1.方法：2.原理(中子的非弹性散射)3.仪器：由能量守恒和准由能量守恒和准动量守恒得：量守恒得：“+表示吸收一个声子表示吸收一个声子“-表示表示发射一个声子射一个声子三三轴中子中子谱仪。2.频率分布函数定定义：计算：算：晶 体 比 热3.晶体比热的爱因斯坦模型和德拜模型1.固体比热的实验规律(1)(1)在高温在高温时，晶体的比，晶体的比热为3NkB3NkB； (2) (2)在低温在低温时，绝缘体的比体的比热按按T3T3趋于零。于零。(1)(1)晶体中原子的振晶体中原子的振动是相互独立的；是相互独立的；(2)(2)一切原子都具有同一一切原子都具有同一频率率 ；(3)(3)设晶体由晶体由N N个原子个原子组成成, ,共有共有3N3N个个频率率为 的振的振动。(1)(1)晶体晶体视为延延续介介质, ,格波格波视为弹性波；性波；(2)(2)有一支有一支纵波两支横波；波两支横波；(3)(3)晶格振动频率在晶格振动频率在 之间之间( (D D为德拜为德拜频率频率) )。爱因斯坦模型爱因斯坦模型德拜模型德拜模型高温高温时与与实验相吻合，低温相吻合，低温时以比以比T3T3更快的速度更快的速度趋于零。于零。高低温高低温时均与均与实验相吻合，且温度越低，相吻合，且温度越低，与与实验吻合的越好。吻合的越好。爱因斯坦模型爱因斯坦模型德拜模型德拜模型1.非简谐效应：3.晶体的热膨胀景象：4.晶体的热传导景象：高温时高温时: :低温时低温时: :2.声子与声子相互作用：晶体的非简谐效应习题1,知由知由N个个质量量为m，间距距为的一的一样原子原子组成的一成的一维单原子原子链的色散关系的色散关系为：，(1) 试给出它的格波态密度(2) 试绘出其色散曲出其色散曲线外形，并外形，并阐明存在截止明存在截止频率率的意的意义。2，解释晶格振动热容实际时，爱因斯坦模型与德拜模型最大的区别在哪里，解释晶格振动热容实际时，爱因斯坦模型与德拜模型最大的区别在哪里？在高温极限和低温极限时，它们的热容表达式是什么样的？在高温极限和低温极限时，它们的热容表达式是什么样的？3，简述黄昆方程及其物理意义，简述黄昆方程及其物理意义