弯矩分配法弯矩分配法弯矩分配法弯矩分配法|弯矩分配法的本弯矩分配法的本质及其适用范及其适用范围|弯矩分配法属于位移法的范畴，是基于位移法的逐次逼近准确解的近似方法。弯矩分配法属于位移法的范畴，是基于位移法的逐次逼近准确解的近似方法。弯矩分配法的适用范弯矩分配法的适用范围： 单独运用独运用时，只能用于只需，只能用于只需结点角位移而无点角位移而无结点点线位移的构造。位移的构造。弯矩分配法与位移法弯矩分配法与位移法结合运用，可求解有合运用，可求解有结点点线位移的构造。位移的构造。v弯矩分配法的根本概念弯矩分配法的根本概念以图示构造为例阐明，一切杆件的线刚度均为以图示构造为例阐明，一切杆件的线刚度均为 ，杆长均为，杆长均为 ，不计杆件轴向变形。，不计杆件轴向变形。根据位移法原理，原构造分解根据位移法原理，原构造分解为(a)(b)两种受力形状。两种受力形状。只需一个位移法未知量只需一个位移法未知量A结点的角位移。弯矩分配法中，把具有待求角位移的点的角位移。弯矩分配法中，把具有待求角位移的结点称点称为分配分配单元。元。ABCD原构造原构造ABCD(a)形状形状ABCD(b)形状形状(a)形状：只接受外荷载，不发生节结点位移 固定形状(b)形状：只发生结点位移，无外荷载 放松形状相当于原构造“先固定、后放松9/17/2024弯矩分配法弯矩分配法弯矩分配法弯矩分配法固定形状下，由荷载引起的杆端弯矩称为固端弯矩。正负号规定：绕杆端顺时针为正。固定形状下，由荷载引起的杆端弯矩称为固端弯矩。正负号规定：绕杆端顺时针为正。ABCD原构造原构造ABCD(a)固定形状固定形状ABCD(b)放松形状放松形状固定形状内力分析固定形状内力分析弯矩分配法是一种数值算法，正负号规定非常重要！弯矩分配法是一种数值算法，正负号规定非常重要！固端弯矩根据第7章位移法表7-1计算，其本质就是位移法Mp图的计算。 结点附加刚臂上的约束力矩称为结点不平衡力矩。正负号规定：顺时针为正。结点附加刚臂上的约束力矩称为结点不平衡力矩。正负号规定：顺时针为正。结点不平衡力矩的计算：根据固端弯矩，利用结点力矩平衡条件计算。在上述正负号规定条件下，结点不平衡力矩就是与该结点相连的一切杆件该端固端弯矩的代数和。 9/17/2024弯矩分配法弯矩分配法弯矩分配法弯矩分配法放松形状就是原构造接受放松形状就是原构造接受结点不平衡力矩的反向力矩相当于解除点不平衡力矩的反向力矩相当于解除约束。束。ABCD原构造原构造ABCD(a)固定形状固定形状ABCD(b)放松形状放松形状放松形状内力分析放松形状内力分析放松形状的内力可借助放松形状的内力可借助转动刚度、分配系数、度、分配系数、传送系数等概念送系数等概念计算。算。转动刚度：转动刚度：AB杆件杆件A端又称近端发生单位转角时，端又称近端发生单位转角时，A端产生的弯矩值，称为端产生的弯矩值，称为AB杆杆A端的转动刚度，端的转动刚度， 记为记为 。转动刚度不仅与杆件的弯曲线刚度 有关，而且与杆件另一端又称远端的支承条件有关。远端为固定支座：远端为铰支座：远端为定向滑动支座：弯矩分配法中，结点转动在远端产生的弯矩可经过近端弯矩乘以传送系数得到。9/17/2024弯矩分配法弯矩分配法弯矩分配法弯矩分配法ABCD(b)放松形状放松形状放松形状内力分析放松形状内力分析传送系数：传送系数：AB杆件仅杆件仅A端发生转角时，端发生转角时，B端弯矩与端弯矩与A端弯矩之比，称为从端弯矩之比，称为从A到到B的弯矩传送系数，记为的弯矩传送系数，记为 。远端为固定支座：远端为铰支座：远端为定向滑动支座：放松形状内力分配系数放松形状内力分配系数AA结点力矩点力矩A结点力矩平衡方程：而，所以，得，从而，称为力矩分配系数，表示杆件刚度在结点刚度中占的比例。称为力矩分配系数，表示杆件刚度在结点刚度中占的比例。每个分配单元上，力矩分配系数之和恒等于每个分配单元上，力矩分配系数之和恒等于1，即，即 。Why?物理含义：结点力矩平衡9/17/2024弯矩分配法弯矩分配法弯矩分配法弯矩分配法ABCD原构造原构造ABCD(a)固定形状固定形状ABCD(b)放松形状放松形状计算算过程小程小结固定形状，计算固端弯矩和结点不平衡力矩。固定形状，计算固端弯矩和结点不平衡力矩。固端弯矩结点不平衡力弯矩放松形状，计算分配力矩和传送力矩。放松形状，计算分配力矩和传送力矩。杆件转动刚度：分配系数：近端分配力矩： 远端传送力矩： 杆端最杆端最终弯矩固端弯矩分配力矩弯矩固端弯矩分配力矩传送力矩送力矩9/17/2024弯矩分配法弯矩分配法弯矩分配法弯矩分配法ABCD原构造原构造计算过程小结计算过程小结固定形状，计算固端弯矩和结点不平衡力矩。固定形状，计算固端弯矩和结点不平衡力矩。固端弯矩结点不平衡力弯矩放松形状，计算分配力矩和传送力矩。放松形状，计算分配力矩和传送力矩。杆件转动刚度：分配系数：近端分配力矩： 远端传送力矩： 杆端最终弯矩固端弯矩分配力矩传送力矩杆端最终弯矩固端弯矩分配力矩传送力矩弯矩分配法通常列表计算结点结点杆端杆端BACDBAABADACCADA分配分配传送传送备注备注分配力矩下划线，以示与传递力矩区分9/17/2024弯矩分配法弯矩分配法弯矩分配法弯矩分配法ABCD原构造原构造弯矩分配法的物理含弯矩分配法的物理含义：弯矩分配法本弯矩分配法本质，是在原构造上施加，是在原构造上施加约束、再解除束、再解除约束的束的过程。程。结点结点杆端杆端BACDBAABADACCADA分配分配传送传送备注备注ABCDM图(xql2)施加约束(固定)解除约束(放松)留意问题：留意问题：弯矩分配法是数值计算方法，弯矩的方向用正负号表示，故，必需牢记正负号规定，计算过程中切勿混淆弯矩分配法是数值计算方法，弯矩的方向用正负号表示，故，必需牢记正负号规定，计算过程中切勿混淆和脱漏正负号。和脱漏正负号。结点不平衡力矩必需反号后才干进展分配和传送。结点不平衡力矩必需反号后才干进展分配和传送。弯矩分配法弯矩分配法计算步算步骤：计算各杆的分配系数和算各杆的分配系数和传送系数。送系数。计算荷算荷载作用下的固端弯矩。作用下的固端弯矩。将将结点不平衡力矩反号后，点不平衡力矩反号后，进展力矩分配和展力矩分配和传送。送。按叠加原理按叠加原理计算最算最终杆端弯矩。杆端弯矩。9/17/2024弯矩分配法弯矩分配法弯矩分配法弯矩分配法|单结点弯矩分配法单结点弯矩分配法| 【例【例1】试用弯矩分配法作图示刚架的弯矩图。】试用弯矩分配法作图示刚架的弯矩图。【解】【解】计算分配系数：ABDC杆端杆端BAABADACCADA结点结点BACD分配分配传送传送计算固端弯矩：ABDCM图(kNm)4 49/17/2024弯矩分配法弯矩分配法弯矩分配法弯矩分配法|单结点弯矩分配法单结点弯矩分配法| 【例【例2】试用弯矩分配法作图示延续梁的弯矩图。】试用弯矩分配法作图示延续梁的弯矩图。分配分配传送传送【解】【解】ABC只需B结点1个分配单元。ABCM图(kNm)单结点弯矩分配法点弯矩分配法计算算结果是近似解果是近似解吗？答：是准确解。答：是准确解。如何如何经过弯矩分配弯矩分配过程程计算算B截面的截面的转角？角？答：只需放松形状，即分配答：只需放松形状，即分配过程程产生生结点角位移。点角位移。 C端既无线位移又无角位移，相当于固定端，故端既无线位移又无角位移，相当于固定端，故 。9/17/2024弯矩分配法弯矩分配法弯矩分配法弯矩分配法|单结点弯矩分配法单结点弯矩分配法| 【例【例3】试用弯矩分配法作图示构造的弯矩图。】试用弯矩分配法作图示构造的弯矩图。DA结点结点杆端杆端BACDBAABADACCA分配分配传送传送AD杆件的杆件的处置：置：ABCDD端的链杆只产生轴力，故端的链杆只产生轴力，故 。AC杆件的杆件的处置：置：M图略略9/17/2024弯矩分配法弯矩分配法弯矩分配法弯矩分配法|单结点弯矩分配法单结点弯矩分配法| 【例【例4】试用弯矩分配法作图示构造的弯矩图。】试用弯矩分配法作图示构造的弯矩图。几个分配几个分配单元？元？2个或个或1个。个。法一：法一：B结点和点和C结点点2个分配个分配单元。元。(多多结点弯矩分配法后点弯矩分配法后续引引见)法二：法二：B结点点1个分配个分配单元。元。CD弯矩静定，原构造可弯矩静定，原构造可简化化ABCDABC弯矩分配法的分配弯矩分配法的分配单元数量与位移法的根本未知量数量是一致的。元数量与位移法的根本未知量数量是一致的。实际上上讲，弯矩分配法即适用于超静定构造，也适用于静定构造，弯矩分配法即适用于超静定构造，也适用于静定构造，但但详细运用中，如构造含有内力静定部分，运用中，如构造含有内力静定部分，应尽能尽能够先先简化构造，化构造，以减少以减少计算任算任务量。量。分配分配传送传送B结点的集中外力矩如何点的集中外力矩如何处置？置？可可见，固端弯矩需改，固端弯矩需改动符号后参与分配，而作用在符号后参与分配，而作用在结点上的集中力点上的集中力矩无需改矩无需改动符号直接参与分配。符号直接参与分配。ABCB点添加附加刚臂后，刚臂上的约束力矩，即结点不平衡力矩为点添加附加刚臂后，刚臂上的约束力矩，即结点不平衡力矩为 。反号后，即。反号后，即作为结点分配力矩。作为结点分配力矩。B结点分配力矩为412021M图略略9/17/2024弯矩分配法弯矩分配法弯矩分配法弯矩分配法|单结点弯矩分配法单结点弯矩分配法| 【例【例5】试用弯矩分配法作图示构造的弯矩图。】试用弯矩分配法作图示构造的弯矩图。ABCDCB结点结点杆端杆端ABDCABBABCBDDB分配分配传送传送B分配分配单元的分配系数如何元的分配系数如何计算？算？M图略略AB杆上无荷载，不产生固端弯矩9/17/2024弯矩分配法弯矩分配法弯矩分配法弯矩分配法|单结点弯矩分配法单结点弯矩分配法| 【例【例6】试用弯矩分配法作图示带刚域结点延续梁的弯矩图。】试用弯矩分配法作图示带刚域结点延续梁的弯矩图。如何如何计算算转动刚度、分配系数和度、分配系数和传送系数？送系数？分配分配传送传送M图略略ABC根据转动刚度的定义，根据转动刚度的定义， 和和 分别表示分别表示B发生单位转角时发生单位转角时BA和和BC的杆端弯矩。的杆端弯矩。ABC时变形时变形ABC时弯矩时弯矩9/17/2024弯矩分配法弯矩分配法弯矩分配法弯矩分配法|多结点弯矩分配法多结点弯矩分配法| 【例【例1】试用弯矩分配法作图示延续梁的弯矩图。】试用弯矩分配法作图示延续梁的弯矩图。ACDB固定形状固定形状固端弯矩结点不平衡力弯矩ACDB放松形状放松形状两个分配单元B和C结点转角是耦合的，好像时放松，需建立并求解联立方程组。为了防止求解联立方程，将各分配单元依次逐个放松。放松C(B坚持锁定形状)此时，C结点力矩平衡，B结点不平衡力矩为-5kNm锁住C，放松B此时，B结点力矩平衡，C结点不平衡力矩为1.25kNm完成一轮分配由于分配系数和传送系数不大于1且不能够全为1，故，经过弯矩分配和传送后，结点不平衡力矩逐渐减小。依次经过多轮分配，可使构造受力和变形逐渐接近实践形状。9/17/2024弯矩分配法弯矩分配法弯矩分配法弯矩分配法|多结点弯矩分配法多结点弯矩分配法| 【例【例1】试用弯矩分配法作图示延续梁的弯矩图。】试用弯矩分配法作图示延续梁的弯矩图。ACDB上述上述计算算过程普程普统统过列表列表进展展固定形状固定形状分配分配与与传送送锁B放放C锁C放放B第第1轮分配轮分配锁B放放C锁C放放B第第2轮分配轮分配锁B放放C锁C放放B第第3轮分配轮分配多多结点弯矩分配法是一种点弯矩分配法是一种渐近法，近法，计算算结果果为近似解。近似解。为了使了使计算收算收敛速度快，通常先速度快，通常先从不平衡力矩从不平衡力矩较大的分配大的分配单元开元开场分配。分配。终止弯矩分配的条件普通有两种：止弯矩分配的条件普通有两种： a明确分配明确分配轮次。如：要求次。如：要求完成两完成两轮分配，那么不分配，那么不论计算算误差多大，两差多大，两轮分配完成后即可分配完成后即可终止止计算。算。 b明确明确计算精度。如：算精度。如：计算算要求保管到小数点后两位，那么要求保管到小数点后两位，那么应计算至分配弯矩或算至分配弯矩或传送弯矩小送弯矩小于于0.01。留意最后一个。留意最后一个轮次分配次分配与与传送需同送需同时完成，不可以只分完成，不可以只分配不配不传送。送。ACDBM图(kNm)9/17/2024弯矩分配法弯矩分配法弯矩分配法弯矩分配法|多结点弯矩分配法多结点弯矩分配法| 【例【例1】试用弯矩分配法作图示延续梁的弯矩图。】试用弯矩分配法作图示延续梁的弯矩图。ACDB固定形状固定形状分配分配与与传送传送锁锁B放放C锁锁C放放B锁锁B放放C锁锁C放放B锁锁B放放C锁锁C放放B思索思索题一：如何一：如何经过计算算过程求程求C结点点转角？角？ACDBM图(kNm)思索思索题二：二：B支座反力支座反力为多少？多少？BBC受力对称剪力为荷载的一半9/17/2024弯矩分配法弯矩分配法弯矩分配法弯矩分配法|多结点弯矩分配法多结点弯矩分配法| 【例【例2】试用弯矩分配法作图示延续梁的弯矩图。】试用弯矩分配法作图示延续梁的弯矩图。(只分配两轮只分配两轮)分配分配与与传送送锁C放放B、D锁B、D放放CACBDE本构造三个分配单元：本构造三个分配单元：B、C、D锁锁C后，后，B、D相互之间无影响，故，可相互之间无影响，故，可同时放松同时放松第第1轮轮锁C放放B、D锁B、D放放C第第2轮轮ACBDEM图(kNm)9/17/2024弯矩分配法弯矩分配法弯矩分配法弯矩分配法|多结点弯矩分配法多结点弯矩分配法| 【例【例3】试用弯矩分配法作算图示刚架的弯矩图。知资料弹模】试用弯矩分配法作算图示刚架的弯矩图。知资料弹模 ， 梁梁 ，柱，柱 ，A支座下沉支座下沉2cm，D支座下沉支座下沉8cm。要求计算结果保管到小数点后两位。要求计算结果保管到小数点后两位。BEACD分配分配与与传送送结点结点杆端杆端ABCABBACBBCCDCEDEDCEC【解】【解】M图略略弯矩分配法只适用于结点无线位移的构造。当支座挪弯矩分配法只适用于结点无线位移的构造。当支座挪动时，结点是有线位移的，为什么还可以直接用弯矩动时，结点是有线位移的，为什么还可以直接用弯矩分配法计算？分配法计算？E处少了一根程度链杆9/17/2024弯矩分配法弯矩分配法弯矩分配法弯矩分配法|弯矩分配法运用拓展弯矩分配法运用拓展|弯矩分配法主要适用于无弯矩分配法主要适用于无结点点线位移的超静定构造，由于有位移的超静定构造，由于有结点点线位移位移时，杆件的，杆件的转动刚度和度和传送系数普通送系数普通难以确定。以确定。|对于有于有结点点线位移的超静定构造，弯矩分配法可以从以下两个方面修正或拓展运用。位移的超静定构造，弯矩分配法可以从以下两个方面修正或拓展运用。无剪力分配法无剪力分配法适用条件：有相适用条件：有相对侧移的杆件剪力静定；移的杆件剪力静定； 剪力静不定的杆件无相剪力静不定的杆件无相对侧移。移。例：例：柱子：有相对侧移，但剪力静定；柱子：有相对侧移，但剪力静定；横梁：横梁： 剪力未知，但两端无相对侧移。剪力未知，但两端无相对侧移。9/17/2024弯矩分配法弯矩分配法弯矩分配法弯矩分配法|弯矩分配法运用拓展弯矩分配法运用拓展|无剪力分配法无剪力分配法剪力静定杆思索两端相剪力静定杆思索两端相对侧移后的移后的转动刚度、度、传送系数和固端弯矩：送系数和固端弯矩：对对mn柱，由位移法知：柱，由位移法知：根据静力平衡条件可得：根据静力平衡条件可得：从而，从而，剪力静定杆的剪力静定杆的相相对侧移与杆移与杆端端转角是相关角是相关的，二者关系的，二者关系可以可以经过杆件杆件剪力大小确定剪力大小确定根据根据转动刚度和度和传送系数的定送系数的定义：比较可见：比较可见：剪力静定杆的转动刚度和剪力静定杆的转动刚度和传送系数与一端固定一端传送系数与一端固定一端定向滑动约束的杆件一样定向滑动约束的杆件一样固端弯矩根据剪力和反弯固端弯矩根据剪力和反弯点位置确定点位置确定9/17/2024弯矩分配法弯矩分配法弯矩分配法弯矩分配法|弯矩分配法运用拓展弯矩分配法运用拓展|无剪力分配法无剪力分配法 【例【例1】试用弯矩分配法作图示延续梁的弯矩图。】试用弯矩分配法作图示延续梁的弯矩图。【解】【解】利用利用对称性取半构造称性取半构造计算分配系数：算分配系数：计算固端弯矩：算固端弯矩：剪力静定杆分配分配传送送结点结点杆端杆端ABCABBABDBCCBCEEC/DB杆端略杆端略9/17/2024弯矩分配法弯矩分配法弯矩分配法弯矩分配法|弯矩分配法运用拓展弯矩分配法运用拓展|无剪力分配法无剪力分配法 【例【例1】试用弯矩分配法作图示延续梁的弯矩图。】试用弯矩分配法作图示延续梁的弯矩图。分配分配传送传送结点结点杆端杆端ABCABBABDBCCBCEEC/DB杆端略杆端略M图(kNm)该方法方法为什么称什么称为“无剪力分配法呢？无剪力分配法呢？ 计算固端弯矩算固端弯矩时已思索了柱子的剪力平衡条件已思索了柱子的剪力平衡条件见Mp图，分配分配过程中，柱子无剪力程中，柱子无剪力见M图，故称，故称为“无剪力分配法。无剪力分配法。Mp图(kNm)M1图M2图9/17/2024弯矩分配法弯矩分配法弯矩分配法弯矩分配法|弯矩分配法运用拓展弯矩分配法运用拓展|弯矩分配法与位移法结合运用弯矩分配法与位移法结合运用 【例【例】原构造原构造根本构造根本构造Z1Mp图M1图既接受外荷载既接受外荷载又发生又发生Z1根本构造根本构造只接受外荷载只接受外荷载根本构造根本构造只发生只发生Z1=1Mp图和图和M1图均可利用弯矩分配法计算，计算过程略。从而，可求出图均可利用弯矩分配法计算，计算过程略。从而，可求出 和和 。由由 得得最终弯矩最终弯矩Mp计算：计算： 普通荷载作用下的弯矩分配法普通荷载作用下的弯矩分配法M1计算：计算： 支座位移情况下的弯矩分配法支座位移情况下的弯矩分配法利用哪个隔离体？利用哪个隔离体？哪个平衡条件？哪个平衡条件？9.4 9.4 剪力分配法剪力分配法一、柱一、柱顶有程度荷有程度荷载作用的作用的铰结排架排架 侧移刚度di及柱顶发生程度位移时，各柱顶的剪力： PEI1EI2EI3h2h3h1(a)(b)=1EIhd =3EI/h3(c)PQ1=d1Q2=d2Q3=d3(d)Q1=1PQ2=2PQ1h 1Q2h 2Q3h 3Q3=3P(e)由图由图d：代代2入入1：式中式中称剪力分配称剪力分配系数系数第第9章章二、横梁二、横梁刚度无限大度无限大时刚架的剪力分配架的剪力分配PaEI1EI2EI3h2h3h1(c) PQ1Q2Q3b=1PEIhd =12EI/h3PdQ1=1PQ2=2PQ3=3PQ1h 1/2Q2h 2/2Q3h 3/2Q1h 1/2图示示刚架，横梁架，横梁刚度无限大，无度无限大，无结点角位移，只需程度点角位移，只需程度线位移位移。 侧移刚度di及柱顶侧移为时，各柱的剪力：由图由图c：代代2入入1：式中式中称剪力分配系数称剪力分配系数 柱上端无柱上端无转角，柱中点的弯矩角，柱中点的弯矩为零，柱上下端的弯矩等零，柱上下端的弯矩等值反向。反向。由剪力求得各柱两端弯矩由剪力求得各柱两端弯矩为M=Qh/2M=Qh/2；由；由结点的平衡，可求出点的平衡，可求出梁端弯矩。梁端弯矩。