金融工程的基本定价原理金融工程的基本定价原理本次本次讲课包含五个定价原理，它包含五个定价原理，它们是：是：u一、一、绝对定价法和相定价法和相对定价法定价法u二、无套利定价原理二、无套利定价原理u三三、状、状态价格定价技价格定价技术u四、四、风险中性定价中性定价原理原理u五、五、积木定价法木定价法一、一、绝对定价法和相定价法和相对定价定价法法u从衍生从衍生证券的定券的定义来看，衍生来看，衍生证券是指未来的券是指未来的回回报依依赖于一个潜在的于一个潜在的证券、商品、利率或者券、商品、利率或者是指数价是指数价值的投的投资工具。因此，与基工具。因此，与基础性性证券券通常通常应用用绝对定价法不同，衍生定价法不同，衍生证券券应用的是用的是相相对于于标的的资产价格的相价格的相对定价法。定价法。 （一）（一）绝对定价法定价法u绝对定价法就是根据金融工具未来现金流的绝对定价法就是根据金融工具未来现金流的特特征征，运用运用恰当的贴现率将这些现金流贴现成恰当的贴现率将这些现金流贴现成现现值，并且加总，从而获得该证券的合理价格。值，并且加总，从而获得该证券的合理价格。股票和股票和债券定价大多使用券定价大多使用绝对定价法。定价法。u优点：比点：比较直直观、便于理解、便于理解 缺点缺点：股票未来的股票未来的现金流金流难以以 确定；确定； 恰当的恰当的贴现率率难以确定。它既取决于以确定。它既取决于金融工具的金融工具的风险大小，也取决于人大小，也取决于人们的的风险偏偏好，而后者是很好，而后者是很难衡量的。衡量的。这就使得就使得绝对定价定价法常常法常常难以以应用。用。（二）相（二）相对定价法定价法u相对定价法的基本思想是相对定价法的基本思想是：利用：利用基础产品价格与衍生产品基础产品价格与衍生产品价格之间的内在价格之间的内在关系，直接关系，直接根据基础根据基础产品价格产品价格求出衍生产品求出衍生产品价格。价格。u优点：优点：u1、非常贴近市场。、非常贴近市场。u2、在定价公式中没有风险偏好等主观变量，比较容易测在定价公式中没有风险偏好等主观变量，比较容易测度度；u3、在用相在用相对定价法定价法为衍生衍生证券定价券定价时，投，投资者一旦者一旦发现市市场价格与理价格与理论价格不符，往往意味着无价格不符，往往意味着无风险套利机会就在套利机会就在眼前眼前。u著名的布莱克著名的布莱克-舒舒尔斯斯-默默顿(Black-Scholes-Merton)期期权定定价模型就是相价模型就是相对定价法的典型代表。定价法的典型代表。（一）套利（一）套利u套利套利是指利用一个或多个市是指利用一个或多个市场存在的价格差异，在没有任存在的价格差异，在没有任何何风险且无且无须自有自有资金的情况下金的情况下获取利取利润的行的行为。u一般来一般来说，严格的无套利定价机制具有以下三个特征：格的无套利定价机制具有以下三个特征： 第一第一，套利活，套利活动在无在无风险的状的状态下下进行。行。 第二第二，无套利的关，无套利的关键技技术是是“复制复制”。 第三第三、无风险证券的套利活动需要金融市场可以无限制卖、无风险证券的套利活动需要金融市场可以无限制卖空（空（short-selling）为前提）为前提。二、无套利定价原理二、无套利定价原理（二）无套利均衡（二）无套利均衡uu所所所所谓谓无套利就是金融市无套利就是金融市无套利就是金融市无套利就是金融市场场不存在套利机会，即市不存在套利机会，即市不存在套利机会，即市不存在套利机会，即市场场有效。有效。有效。有效。如如如如果存在套利机会，套利者就果存在套利机会，套利者就果存在套利机会，套利者就果存在套利机会，套利者就可以可以可以可以通通通通过过买买入低估的入低估的入低估的入低估的资产资产，同，同，同，同时时卖卖出高估的出高估的出高估的出高估的资产资产来构造来构造来构造来构造套利套利套利套利组组合合合合，从而，从而，从而，从而使得被低估使得被低估使得被低估使得被低估的的的的资产资产需需需需求增加求增加求增加求增加，被高估，被高估，被高估，被高估的的的的资产资产需求下降需求下降需求下降需求下降，因而回到合理的价位即均因而回到合理的价位即均衡状衡状态。在市。在市场价格回到均衡状价格回到均衡状态之后，就不再存在套利机之后，就不再存在套利机会，从而形成无套利条件下的合理价格会，从而形成无套利条件下的合理价格。uu根据无套利均衡分析的思想：在有效市根据无套利均衡分析的思想：在有效市根据无套利均衡分析的思想：在有效市根据无套利均衡分析的思想：在有效市场场中，任何一中，任何一中，任何一中，任何一项项金融金融金融金融资产资产的定价的定价的定价的定价应应当使得当使得当使得当使得该项该项金融金融金融金融资产进资产进行无行无行无行无风险风险套利的机会不套利的机会不套利的机会不套利的机会不复存在。复存在。复存在。复存在。uu其关其关其关其关键键在于：在于：在于：在于：未来具有相同未来具有相同未来具有相同未来具有相同损损益或益或益或益或现现金流的两个金融金流的两个金融金流的两个金融金流的两个金融资产资产或或或或资产组资产组合，其合，其合，其合，其现现在的价在的价在的价在的价值应该值应该要相等，否要相等，否要相等，否要相等，否则则就会就会就会就会产产生无生无生无生无风险风险套利的机会，使市套利的机会，使市套利的机会，使市套利的机会，使市场场失衡。失衡。失衡。失衡。（三）无套利定价原理的（三）无套利定价原理的应用用1、确定状、确定状态下的下的应用用【例例1】假定假定3种零息票种零息票债券面券面值都都为100元，它元，它们当前的市当前的市场价格分价格分别是：是： 1年后到期的零息票年后到期的零息票债券的价格券的价格为97元；元； 2年后到期的零息票年后到期的零息票债券的价格券的价格为95元；元； 3年后到期的零息票年后到期的零息票债券的价格券的价格为92元；元；若不考若不考虑交易成本和交易成本和违约情况，情况，现市市场上另有一面上另有一面值为100元的元的债券券A，票面利率，票面利率为10%，一年支付一次利息，一年支付一次利息，3年后到年后到期，期，问：（1）该债券券A当前的合理价格当前的合理价格应该是多少元？是多少元？解解：（：（1）债券券A每年每年获得利息得利息10010%=10元，第元，第3年末年末还获得得偿还的本金的本金100元。于是，元。于是，债券券A的的现金流金流为：第：第1年末年末获得得10元，第元，第2年末年末获得得10元，第元，第3年末年末获得得110元。（将元。（将现金流量金流量图在黑板上画出来。）在黑板上画出来。）现在我在我们用已有的用已有的3种零息票种零息票债券来构建一个券来构建一个债券券组合：合：我我们购买张1年期的零息票年期的零息票债券、券、张2年期的零息票年期的零息票债券、和券、和张3年期的零息票年期的零息票债券。券。 1年后，年后，1年期的零息票年期的零息票债券券获得收得收益益1000.1=10元；元；2年后，年后，2年期的零息票年期的零息票债券券获得收益得收益1000.1=10元；元；3年后，年后，3年期的零息票年期的零息票债券券获得收得收1001.1=110元。（将元。（将现金流量金流量图在黑板上画出来。）在黑板上画出来。）可以看出，可以看出，该债券券组合未来合未来产生的生的现金流量情况将和金流量情况将和债券券A完全相同。完全相同。所以，所以，该债券券组合可以作合可以作为债券券A的复制品。的复制品。由无套利均衡分析可知，由无套利均衡分析可知，债券券A当前的价格当前的价格应该与与该债券券组合合现在的价在的价值相等，否相等，否则就会偏离无套利均衡状就会偏离无套利均衡状态。所以，所以，债券券A当前的价格当前的价格应该该债券券组合合现在的价在的价值元元（2）如果市）如果市场上上债券券A的价格的价格为119元，是否存在套利机会？元，是否存在套利机会？如果存在，如何套利？如果存在，如何套利？解：（解：（2）如果）如果债券券A的的现价价为119元，由于（元，由于（1）问中已中已经求求出，出，债券券A的合理价格的合理价格为元，元，说明其价明其价值被低估了。根据无套被低估了。根据无套利均衡原理，只要其价格与合理价格存在偏离，就会存在无利均衡原理，只要其价格与合理价格存在偏离，就会存在无风险的套利机会。的套利机会。应该这样套利：套利：买入入1张债券券A；卖空空1份份债券券A 的复制的复制组合；即合；即卖空空张1年期的零息票年期的零息票债券、券、张2年期的零息票年期的零息票债券、券、张3年期的零息票年期的零息票债券。券。就可以无就可以无风险的套利元的套利元2、不确定状、不确定状态下的下的应用用【例例2】假假设有一个有一个风险证券券A，当前的市，当前的市场价格是价格是100元，元，1年后市年后市场有两种状有两种状态，在状，在状态1时证券券A的价格上的价格上升至升至110元，在状元，在状态2时证券券A的价格下跌至的价格下跌至90元。同元。同样，也有一个也有一个证券券B，它在，它在1年后的年后的损益益为：在状：在状态1时上升上升至至118元，在状元，在状态2时下降至下降至105元。假元。假设无无风险年利率年利率为2%（一年（一年计一次、复利），并且不考一次、复利），并且不考虑交易成本。交易成本。试问：（1）证券券B的合理价格的合理价格为多少？多少？解：（解：（1）证券券B未来的未来的损益与益与证券券A不同，两个不同，两个证券的券的损益状益状态如如图所示：所示：现在考在考虑利用利用证券券A和无和无风险证券券L来构建一个与来构建一个与证券券B的的未来未来损益完全相同的复制益完全相同的复制组合。合。我我们假假设要要买入入x份份证券券A的多的多头和价和价值为L的无的无风险证券券的多的多头，令，令该证券券组合未来的合未来的损益与益与证券券B的的损益完全相益完全相同。假同。假设无无风险证券的价券的价值为L，那么其，那么其1年后的价年后的价值为（1+2%）L。于是：。于是：如果如果1年后，如果市年后，如果市场上升，有：上升，有：110X118如果如果1年后，如果市年后，如果市场下降，有：下降，有：90X105联立立这两个式子，解得：两个式子，解得：X（份），（份），L=45.59(元元)因此，由份因此，由份证券券A和元的无和元的无风险证券券L构成的构成的组合，可以用合，可以用来复制来复制证券券B，所以，所以，证券券B的价格的价格应该等于等于该组合合现在的在的价格，即：价格，即：PB（元）（元）（2）如果）如果证券券B的的现在价格在价格为110元，是否存在套利机会元，是否存在套利机会？如果存在，如何套利？如果存在，如何套利？解解：（：（2）如果如果证券券B现在的价格在的价格为110元，元，说明其价格低明其价格低于其理于其理论的价格，因此存在套利机会。的价格，因此存在套利机会。应该买进证券券B，同同时卖出出证券券B的复制的复制组合，即合，即卖出份出份证券券A和价和价值为元的元的无无风险证券券L，就可以，就可以获得得110元的套利利元的套利利润。三、状三、状态价格定价技价格定价技术u状态价格状态价格（state prices)定价技术：如果某种金融资产在未定价技术：如果某种金融资产在未来时刻有来时刻有N种状态，这种状态，这N种状态的价格都已知，那么只要种状态的价格都已知，那么只要知道该资产在未来各种状态下的回报状况和市场的无风险知道该资产在未来各种状态下的回报状况和市场的无风险利率水平，就可以对该资产进行定价。该技术运用了无套利率水平，就可以对该资产进行定价。该技术运用了无套利均衡分析的原理。利均衡分析的原理。u我们以两种状态的情况来举例说明：假如有一份（有风险）我们以两种状态的情况来举例说明：假如有一份（有风险）证券证券A，现在的市价是，现在的市价是PA，1年年后该证券可能会出现两种情后该证券可能会出现两种情况：如果市场上升，况：如果市场上升，PA会上升会上升至至u PA，出现这种情况的概，出现这种情况的概率是率是q；如果市场下降，；如果市场下降，PA会下降至会下降至d PA，出现这种情况，出现这种情况的概率是的概率是1-q。也就是说，。也就是说，1年后，证券年后，证券A可能会出现这样可能会出现这样两种状态价格：两种状态价格：u记无风险利率记无风险利率为为rf，则总无风险收益率，则总无风险收益率 =1+rfu现在来定义一类与状态相对应的假想证券，称为基本证券。现在来定义一类与状态相对应的假想证券，称为基本证券。基本证券基本证券1在在1年后，如果市场上升，其市场价值为年后，如果市场上升，其市场价值为1元，如元，如果市场下降，其价值为果市场下降，其价值为0。基本证券。基本证券2则相反，则相反，1年后，如果年后，如果市场上升，其价值为市场上升，其价值为0，如果市场下降，其价值为，如果市场下降，其价值为1元。记基元。记基本证券本证券1当前的价格为当前的价格为，基本证券基本证券2当前的价格为当前的价格为d，则，则有：有：u现在可以用基本证券来现在可以用基本证券来复制复制出出上述上述的有风险证券的有风险证券A。怎样。怎样复制呢？购买复制呢？购买uPA 份基本证券份基本证券1和和dPA份基本证券份基本证券2，构成一个，构成一个证券证券组合组合，1年年后，不管市场发生后，不管市场发生何种何种状态，该组合都会产状态，该组合都会产生生和证券和证券A相同相同的的现金现金流，所以，该组合是流，所以，该组合是证券证券A的复制品。的复制品。由无套利均衡由无套利均衡分析可知，该组合与证券分析可知，该组合与证券A现在的价格应该相现在的价格应该相等，则有：等，则有： PA=uuPA+d dPA 化简为：化简为：uu+d d=1 （1）u与此同时，通过购买与此同时，通过购买1份基本证券份基本证券1和和1份基本证券份基本证券2构成的构成的证券组合，证券组合，1年年后，无论后，无论市场出现何种状态，该证券组合市场出现何种状态，该证券组合的的价格都会是价格都会是1元。而且，这元。而且，这是一项无风险的投资，由无套利是一项无风险的投资，由无套利均衡分析可知，其收益率均衡分析可知，其收益率应该等于无应该等于无风险收益率风险收益率rf，我们可，我们可以得到：以得到：u（u+d ） =1 （2）联立（联立（1）（）（2）两个方程式，得到关于）两个方程式，得到关于u、d的方程组：的方程组：由由该方程方程组，可以解出基本，可以解出基本证券券1、2的价格：的价格：然然后后，将将该该基基本本证证券券作作为为定定价价工工具具，可可以以复复制制任任何何证证券券，以以及为任何证券定价。这如何理解呢？及为任何证券定价。这如何理解呢？这这是是因因为为：基基本本证证券券1、2构构成成了了1年年后后市市场场可可能能出出现现的的2种种基基本本状状态态的的“基基”，这这组组“基基”之之间间相相互互独独立立，可可以以表表示示任任何何证证券券在在1年年后后的的状状态态价价格格。这这就就意意味味着着，基基本本证证券券可可以以起起到到定定价价工工具具的的作作用用，用用来来复复制制任任何何证证券券和和为为其其定定价价。就就像像是是数数学学上的上的N维基本向量组可以线性表示任何一个维基本向量组可以线性表示任何一个N维向量一样。维向量一样。【例例3】假如证券假如证券A现在的市价为现在的市价为PA=100元，元，rf=2%，它在，它在1年后的市场价格如图，另有一个证券年后的市场价格如图，另有一个证券B，它在，它在1年后的状态年后的状态价格如图。请问证券价格如图。请问证券B的价格应该是多少？的价格应该是多少？购买购买uPB =103份基本证券份基本证券1和和dPB份基本证券份基本证券2构成一个投资组构成一个投资组合合I，该组合，该组合1年后产生的现金流将和证券年后产生的现金流将和证券B完全相同，所以该完全相同，所以该组合是证券组合是证券B的复制品。的复制品。复制品现在的市价为：复制品现在的市价为：PIuPB ud PB d 元元由无套利均衡分析可知，证券由无套利均衡分析可知，证券B与其复制品投资组合与其复制品投资组合I现在的现在的市场价格应该相等，市场价格应该相等， PBPI，于是证券于是证券B现在的市场价格现在的市场价格 应该应该为：为：PB元元所以，证券所以，证券B现在的价格应该为元。现在的价格应该为元。四、四、风险中性定价原理中性定价原理1、风险中性定价原理中性定价原理u风险中性（风险中性（risk-neutral）定价原理，是指在对衍生证券进）定价原理，是指在对衍生证券进行定价时，可以做出一个有助于大大简化工作的简单假设行定价时，可以做出一个有助于大大简化工作的简单假设：假设假设假设假设投资者对待风险的态度是中性的，所有证券的预期收益投资者对待风险的态度是中性的，所有证券的预期收益投资者对待风险的态度是中性的，所有证券的预期收益投资者对待风险的态度是中性的，所有证券的预期收益率都应当是无风险利率。风险中性的投资者不需要额外的收率都应当是无风险利率。风险中性的投资者不需要额外的收率都应当是无风险利率。风险中性的投资者不需要额外的收率都应当是无风险利率。风险中性的投资者不需要额外的收益来补偿其所承担的风险。在风险中性的世界里，将期望值益来补偿其所承担的风险。在风险中性的世界里，将期望值益来补偿其所承担的风险。在风险中性的世界里，将期望值益来补偿其所承担的风险。在风险中性的世界里，将期望值用无风险利率折现，可以获得现金流量的现值用无风险利率折现，可以获得现金流量的现值用无风险利率折现，可以获得现金流量的现值用无风险利率折现，可以获得现金流量的现值。u风险中性定价在本质上与无套利具有内在一致性。另外，风险中性定价在本质上与无套利具有内在一致性。另外，应该注意的是，风险中性假定仅仅是一个纯技术假定，但通应该注意的是，风险中性假定仅仅是一个纯技术假定，但通过这种假定获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也过这种假定获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况适用于投资者厌恶风险的所有情况。假设假设S0表示当前股票价格，表示当前股票价格， Su表示上升后的股价，表示上升后的股价， Sd表示下降后的股价，表示下降后的股价， u为股价上行乘数，为股价上行乘数， d为股价下行乘数，为股价下行乘数， p表示上升概率，则表示上升概率，则1p为下降概率。为下降概率。 X表示期权的执行价格，表示期权的执行价格， C0表示当前期权价格表示当前期权价格， C C表示股价上升后的期权价值，表示股价上升后的期权价值， C C表示股价下降后的期权价值，表示股价下降后的期权价值， Ce 表示期权到期日的价值。表示期权到期日的价值。 时间为时间为t，无风险年利率为，无风险年利率为r。 则具体步骤为：则具体步骤为：2、根据、根据风险中性原理中性原理计算期算期权价价值的步的步骤3、举例例说明明【例例3】假假设ABC公司的股票公司的股票现在的市价在的市价为50元。有元。有1股以股以该股票股票为标的的资产的看的看涨期期权，执行价格行价格为元，到期元，到期时间是是6个月。个月。6个月后股价有两种可能：上升个月后股价有两种可能：上升33.33%，或者降低，或者降低25%。无。无风险利率利率为每年每年4%，以，以单利利计息，息，试确定确定该看看涨期期权的价格？的价格？解：设解：设S S0 0表示当前股票价格，表示当前股票价格，S Su u表示上升后的股价，表示上升后的股价，S Sd d表示表示下降后的股价，下降后的股价，u u为股价上行乘数，为股价上行乘数，d d为股价下行乘数，为股价下行乘数，p p表表示上升概率，则示上升概率，则1 1p p为下降概率，为下降概率，X X为标的资产的价格，为标的资产的价格，r r为为无风险利率，无风险利率，t t为时间。为时间。（1 1）先）先确定确定6 6个月后股票的可能价格个月后股票的可能价格画出股票到期日的价格分布图：画出股票到期日的价格分布图：（2 2）然后确定看涨期权的到期日价值）然后确定看涨期权的到期日价值画出看涨期权到期日的价格分布图：画出看涨期权到期日的价格分布图：1、积木定价法、回木定价法、回报图与与损益益图u积木定价法，又称木定价法，又称积木分析法，也叫模木分析法，也叫模块分析法，分析法，是一种将各种基本金融工具是一种将各种基本金融工具进行搭配、行搭配、组合或分解，合或分解，形成一种新的形成一种新的结构，以解决相构，以解决相应的金融和的金融和财务问题的的分析方法。分析方法。u积木分析法中，一个重要工具是金融木分析法中，一个重要工具是金融产品回品回报图和和金融金融产品品损益益图。所。所谓回回报图（payoff）是指横）是指横轴为到期日到期日标的的资产价格，价格，纵轴为衍生金融衍生金融产品不考品不考虑成成本本时的的回回报。所所谓损益益图（gain or loss）又称）又称为盈盈亏图，其与回，其与回报图的区的区别在于在于纵轴是考是考虑了成本之后了成本之后的衍生金融的衍生金融产品的盈品的盈亏。u金融工程金融工程师们通通过创造性思造性思维活活动，将任意两个或，将任意两个或多个多个积木木进行自由分解和行自由分解和组合，形成更复合，形成更复杂或更或更简单的金融工具，以达到某种特定的目的。的金融工具，以达到某种特定的目的。u积木分析法中的木分析法中的积木包括股票、木包括股票、债券等原生金融工券等原生金融工具以及具以及远期、期期、期货、期、期权、互、互换等衍生工具。等衍生工具。u基本的基本的积木有木有6类，即：，即：资产多多头、资产空空头、看、看涨期期权多多头、看、看涨期期权空空头、看跌期、看跌期权多多头、以及看、以及看跌期跌期权空空头。五、五、积木定价法木定价法2、金融工具的分解和、金融工具的分解和组合合= =+ += =+ +3、六种基本的金融、六种基本的金融积木木4、金融工具之、金融工具之间几种典型的几种典型的组合分解关系合分解关系