美美 丽丽 的的 校校 园园1新余四中高二数学组新余四中高二数学组 彭晨艳彭晨艳10.4 二二 项项 式式 定定 理理二项式系数的性质二项式系数的性质12111111111113324465510 102复习回顾复习回顾: :二项式定理及展开式二项式定理及展开式: :nnnrrnrnnnnnnnnbaCbaCbaCbaCbaCba022211100+=+-LL）（二项式系数二项式系数通通 项项133(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6二项式系数的性质二项式系数的性质二项式系数表二项式系数表111211331146411510 10511615 20 15614详详解解九九章章算算法法记记载载的的表表杨辉杨辉 三角三角杨杨辉辉 以上二项式系数表以上二项式系数表,早在我早在我 国南宋数学家国南宋数学家杨辉杨辉1261年所著的年所著的详解九章详解九章算法算法一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角。一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角。在在详解九章算法详解九章算法一书里，还说明了表里一书里，还说明了表里“一一”以外的以外的每一个数都等于它肩上两个数的每一个数都等于它肩上两个数的和和，杨辉指出这个方法出于，杨辉指出这个方法出于释锁释锁算书，且我国北宋数学家贾宪（约算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。世纪。在欧在欧洲，这个表被认为是法国数学家洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡帕斯卡（1623-1662）首先发现的，他们）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百早五百年左右年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。5a).表中每行两端都是表中每行两端都是1。b).除除1外的每一个数都等外的每一个数都等 于它肩上两个数的和于它肩上两个数的和。4+6=102+1=3例如：例如：cr ncr-1n+crn+1=当当n n不大时，可用该表来求二项式系数不大时，可用该表来求二项式系数。C23C22C12+= 3C25C24C14+= 10因为：因为：二项式系数的性质二项式系数的性质1112113311464115101051161520156121346106第第1行行第第2行行第第6行行-第第5行行-第第4行行第第3行行-111211331146411510 10511615 20 1561二项式系数的性质二项式系数的性质先增后减先增后减对称对称7函数定义：函数定义：如果如果A、B都是非空数集都是非空数集，那那A到到B的映射的映射f ：AB就叫做就叫做A到到B的函数的函数。可看成是可看成是集合集合0，1，n 到到二项式系数的集合二项式系数的集合的映射。的映射。 对于二项式系数对于二项式系数，r与与 之间也有对应关之间也有对应关系，系，即：即：r 0 1 2 r n二项式系数与函数二项式系数与函数8 从映射、函数的观点看，从映射、函数的观点看，二项式系数二项式系数可可以看作是一个定义域为以看作是一个定义域为 0，1，2，n的函数当自变量从小到大依次取值时的函数当自变量从小到大依次取值时对应的对应的一列函数值。一列函数值。 即：即：r是自变量是自变量，r自变量自变量二项式系数二项式系数是函数值，是函数值，组合数公式组合数公式就是相应函数的解析式。就是相应函数的解析式。123二二项项式式函数值函数值二项式系数与函数二项式系数与函数9当当n=6时，二项式系数时，二项式系数 （0r6）用图象表示：）用图象表示：7个个孤孤立立的的点点13n12322nOr f ( r )6361420 与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两个二项式系数相等的两个二项式系数相等1 1：对称性：对称性2 2：增减性与最大：增减性与最大值值先增后减先增后减关于r= 3对称r=3时取得最大值时取得最大值10f（r）n为奇数；为奇数；如如n=7f（r）rnO6152013n为偶数；为偶数；如如n=620103035On743关于关于r=n/2对称对称r=3和和r=4时取得最大值时取得最大值11二项式系数的性质二项式系数的性质 与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两个二项式系数相等的两个二项式系数相等性质性质1 1：对称性：对称性性质性质2 2：增减性与最大：增减性与最大值值先增后减先增后减u当当n是偶数时，中间的一项是偶数时，中间的一项 的二项式系数的二项式系数 取得取得 最大值最大值 ；u当当n是奇数时，中间的两项是奇数时，中间的两项 二项式系数二项式系数 和和 相等，且相等，且 同时取得最大值。同时取得最大值。 即即和12当当 时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知它的时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知它的后半部是逐渐减小的，且在中间取得最大值。后半部是逐渐减小的，且在中间取得最大值。 当当n是是偶数偶数时，时，中间的一项中间的一项 取得取得最大最大时时 ；当当n是是奇数奇数时，时，中间的两项中间的两项 ， 相等，且相等，且同时同时取得取得最大最大值。值。由于由于Ckn=n(n-1)(n-2)(n-3)(n-k+1)k (k-1) =Ck-1nkn k + 1Ck-1nkn k + 1Ckn所以所以相对于相对于的增减情况由的增减情况由决定决定由于由于kn k + 11kn + 12因而因而2.增减性与最大值增减性与最大值13性质性质3 3：各二项式系数的和：各二项式系数的和二项式系数的性质二项式系数的性质2n + + + +令令x=1；赋值法赋值法令令x=-1；0+ + +0nCC 2 n- -+ + +1nC3nC)()0 = + + +0nCC 2 n+ + +1nC3nC = 也就是说也就是说, (1+x), (1+x)n n的展开式中的各个的展开式中的各个二项式系数的和为二项式系数的和为 ，且奇数项的二且奇数项的二项式系数和等于偶数的二项式系数和项式系数和等于偶数的二项式系数和2n141 1、在、在(a(ab)b)2020展开式中，与第五项二项式系数相同展开式中，与第五项二项式系数相同的项是的项是( ).( ).C课堂练习课堂练习: :A.A.第第6 6项项 B.B.第第7 7项项C.C.第第6 6项和第项和第7 7项项 D.D.第第5 5项和第项和第7 7项项CA.A.第第1515项项 B.B.第第1616项项 C.C.第第1717项项 D.D.第第1818项项2 2、在、在(a(ab)b)1111展开式中，二项式系数最大的项展开式中，二项式系数最大的项( ).( ).4，化简 + + + +=3 3， 已知已知 展开式中只有第展开式中只有第1010项二项式系数最大，则项二项式系数最大，则n=_n=_。 1815例例1、证明、证明 的展开式中，奇数项的二项式系数的和的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。等于偶数项的二项式系数的和。ban)( + +证明证明：1a10- -CCn+ +rnan1- -bban+ + + + += =bCCnnrnrnnban)( + +在展开式在展开式中中1+ += =1n)( - -Cnnn )(- -1 10nC1nCC 2 n3nC- - -+ + +b = -1，令令a = 1，则得则得+ + +0nCC 2 n- -+ + +1nC3nC)()0 = + + +0nCC 2 n+ + +1nC3nC = 就是就是即在即在ban)( + +的展开式中，奇数项的二项式系数的和的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项系数的和。证毕。等于偶数项系数的和。证毕。上述证明过程中用到了什么方法？上述证明过程中用到了什么方法？赋值法例题讲解例题讲解1616变式练习变式练习：+7210)(+=-72721xaxaxaax已知则=+6420aaaa71a=+2aa7=+531aaaa简解简解:令令x=1,则则令令x= -1,7a+5a6a102+aaa+=+3a4a(=)-7211-17a=a1a0+a2+-+5a3a6a4a-)+(7211 =37121由由 得得71a=+2aa-212- -)( 2由由 得得12+ +)( 2由由 得得-2-109410937=+531aaaa-1094=+6420aaaa1093( x=0 时,a0=1 )1717123n123 求解二项式系数和时，求解二项式系数和时，灵活运用赋值法可以使问灵活运用赋值法可以使问题简单化。通常选取赋值题简单化。通常选取赋值时取时取1 1，1 1，0 0。1818小结小结: : （2 2） 数学思想：函数思想数学思想：函数思想a a 图象、图表；图象、图表； b b 单调性；单调性；c c 最值。最值。（3 3） 数学方法数学方法 ： 赋值法赋值法 （1 1）二项式系数的三个性质）二项式系数的三个性质对称性对称性增减性与最大值增减性与最大值各二项式系数和各二项式系数和19 作业：作业： 习题习题10.410.4 9,10。123n12320