第四章第四章 相似原理和量纲相似原理和量纲分析分析工程研究方法及其特点工程研究方法及其特点1.1.数学分析法：微分方程（组）数学分析法：微分方程（组）+ + 定解条件定解条件求解求解2.2.优点：优点：（1 1）理论完善）理论完善3.3. （2 2）物理概念清晰）物理概念清晰4.4. （3 3）能揭示过程的物理本质）能揭示过程的物理本质5.5. （4 4）指出影响因素的主次关系）指出影响因素的主次关系6.6. 缺点：缺点：（1 1）对对复复杂杂工工程程问问题题难难以以描描述述7.7. （2 2）求解难度大）求解难度大2.实验法实验法 直直接接实实验验法法：在在原原型型实实物物上上研研究究各各物物理理量量之之间间的的关系（只适用于简单变量关系）关系（只适用于简单变量关系）优点：优点：直接可靠直接可靠 缺点：缺点：工作量工作量 无无普普遍遍意意义义(只只能能用用于于与与实实验验条条件件完完全全相相同同的的现现象象中中); 某某些些情情况况难难以以进进行行(如如高高温温、高高压压、大大型型设备设备)以以相相似似理理论论为为基基础础的的模模型型试试验验法法（常规试验程序：小中生产规模） 优点：优点：易于控制、调节、节省投资；易于控制、调节、节省投资； 试验参数少，工作量小；试验参数少，工作量小； 实验充实数学分析，同时数学分析指导实验。实验充实数学分析，同时数学分析指导实验。为为了了实实验验流流场场与与真真实实流流场场具具有有一一定定的的对对应应关关系系（相相似似性性），实实验验中中的的各各物物理理参参数数应应该该如如何何确确定定？模模型型实实验验中中的的各各种种测测量量值值应应该该如何被换算为实物上的相应值？如何被换算为实物上的相应值？如如何何科科学学地地设设计计实实验验，正正确确有有效效地地反反映映出出相相关物理参数之间的实质性联系。关物理参数之间的实质性联系。目的目的例：圆管的压强损失与圆管的长度、流体的密度、粘例：圆管的压强损失与圆管的长度、流体的密度、粘度、平均速度和圆管直径、粗糙度有关。度、平均速度和圆管直径、粗糙度有关。主要内容主要内容4.1 流动的力学相似流动的力学相似4.2 动力相似准则动力相似准则4.3 流动相似的条件流动相似的条件4.4 近似模型试验近似模型试验4.5 量纲分析法量纲分析法几何相似几何相似同类现象同类现象相似现象相似现象4.1 流动的力学相似流动的力学相似流动相似流动相似形状相似形状相似尺度成比例尺度成比例遵循同一方程遵循同一方程物理量成比例物理量成比例尺度成比例尺度成比例速度成比例速度成比例力成比例力成比例几何相似几何相似运动相似运动相似动力相似动力相似一、几何相似：一、几何相似：长度比例尺：长度比例尺： 面积比例尺面积比例尺： 体积比例尺：体积比例尺： 模型与原型对应线性长度比例相等模型与原型对应线性长度比例相等（相似前提条件）（相似前提条件）。二、运动相似（速度场相似）二、运动相似（速度场相似）速度比例尺：速度比例尺： 时间比例尺时间比例尺： 模型与原型流场中所有对应点上、对应时刻的流速方模型与原型流场中所有对应点上、对应时刻的流速方向相同，大小成同一比例向相同，大小成同一比例（流动相似的表现）（流动相似的表现）。 长度与速度比例尺确定后，所有运动学量比例长度与速度比例尺确定后，所有运动学量比例尺就已确定：尺就已确定：加速度比例尺：加速度比例尺： 体积流量比例尺：体积流量比例尺： 运动粘度比例尺：运动粘度比例尺： 角速度比例尺：角速度比例尺： 三、动力相似：三、动力相似：力比例尺：力比例尺： 上述四种力分别代表总上述四种力分别代表总压力、切向力、重力和压力、切向力、重力和惯性力。惯性力。 密度比例尺：密度比例尺： 模型与原型流场中所有对应点流体微团上受到的各模型与原型流场中所有对应点流体微团上受到的各种力方向相同，大小成同一比例种力方向相同，大小成同一比例（流动相似的主导（流动相似的主导因素）因素）。若若以密度、尺寸、速度作为基本变量以密度、尺寸、速度作为基本变量，可推得动，可推得动力学比例尺：力学比例尺：力比例尺：力比例尺：力矩（功、能）比例尺：力矩（功、能）比例尺：压强压强( (应力应力) )比例尺：比例尺：功率比例尺：功率比例尺： 动力粘度比例尺：动力粘度比例尺： 要使模型流动和原型流动相似，需要两者在要使模型流动和原型流动相似，需要两者在时空相似的条件下受力相似。时空相似的条件下受力相似。 动力相似（受力相似）用相似准则（相动力相似（受力相似）用相似准则（相似准数）的形式来表示，即：要使模型流动似准数）的形式来表示，即：要使模型流动和原型流动动力相似，需要这两个流动在时和原型流动动力相似，需要这两个流动在时空相似的条件下各相似准则都相等。空相似的条件下各相似准则都相等。由力比例尺可得：由力比例尺可得： （牛顿数）（牛顿数） 模型与原型的流场动力相似，则模型与原型的流场动力相似，则（牛顿相似（牛顿相似准则）准则）作用力与惯性力之比作用力与惯性力之比 1.重力相似准则重力相似准则（弗劳德数）（弗劳德数） 各单项力作用下的相似准则：各单项力作用下的相似准则：惯性力与重力之比惯性力与重力之比 4.2 动力相似准则动力相似准则（牛顿第二定律（牛顿第二定律 ）2. 粘滞力相似准则粘滞力相似准则 （雷诺数）（雷诺数） 惯性力与粘滞力之比惯性力与粘滞力之比 3. 压力相似准则压力相似准则（欧拉数）（欧拉数） 总压力与惯性力之比总压力与惯性力之比欧拉数中的压强欧拉数中的压强p也可用压差也可用压差D Dp来代替，即来代替，即对于波动或振荡的非定常流，其频对于波动或振荡的非定常流，其频率为率为f，谐时数为：，谐时数为： 4. 非定常性相似准则（由时间比例尺可得）非定常性相似准则（由时间比例尺可得）对于非定常流的模型试验，必须使模型与原型的流动随时间的对于非定常流的模型试验，必须使模型与原型的流动随时间的变化相似。变化相似。（斯特劳哈尔（斯特劳哈尔数或谐时数）数或谐时数） 当地加速度引起的惯性力之比当地加速度引起的惯性力之比当地惯性力与迁移惯性力之比当地惯性力与迁移惯性力之比5. 弹性力相似准则弹性力相似准则 对于可压缩流的模型试验，要使流动相似，由压缩对于可压缩流的模型试验，要使流动相似，由压缩引起的弹性力场必须相似引起的弹性力场必须相似（柯西数）（柯西数） 惯性力与弹性力之比惯性力与弹性力之比体积模量比例尺体积模量比例尺（马赫数）（马赫数） 对于气体：对于气体：6. 表面力相似准则表面力相似准则 以上分析可知：物理现象中以上分析可知：物理现象中物理量不是单个起作用物理量不是单个起作用的的，而是由其组成的准则起作用的，而是由其组成的准则起作用的微分方程式的微分方程式的解应是准则方程式。解应是准则方程式。 （韦伯数）（韦伯数） 表面张力比例尺表面张力比例尺惯性力与张力的比值惯性力与张力的比值 同一类流动，为相同的微分方程组所描述。同一类流动，为相同的微分方程组所描述。单值条件相似，即几何条件、边界条件、单值条件相似，即几何条件、边界条件、时间条件（非定常流）、物性条件（密度、时间条件（非定常流）、物性条件（密度、粘性等）相似。粘性等）相似。同名相似准则数相等。同名相似准则数相等。 4.3 流动相似的条件流动相似的条件几个概念：几个概念：单值条件中的各物理量称为单值条件中的各物理量称为定性量定性量，如密度，如密度，特，特征长度征长度 ，流速流速 ，粘度，粘度 ，重力加速度，重力加速度 ；由定性量组成的相似准则数称为由定性量组成的相似准则数称为定性准则数定性准则数，如雷诺，如雷诺数数弗劳德数弗劳德数包含被决定量的相似准则数称为包含被决定量的相似准则数称为非定性准则数非定性准则数，如压强，如压强 与流速与流速 总是存在一定关系，那么欧拉数总是存在一定关系，那么欧拉数便是非定性准则数。便是非定性准则数。例例4-1 试通过模型试验确定出现漩涡的最小油面深度试通过模型试验确定出现漩涡的最小油面深度 。已知。已知 ： ， 为了保证为了保证流动相似，模型输出管的内径、模型内流体的流量和运动粘度等流动相似，模型输出管的内径、模型内流体的流量和运动粘度等于多少？试验测得于多少？试验测得 。解：油池最小油深解：油池最小油深试验条件：（试验条件：（几何相似）几何相似）模型输出模型输出管内径管内径（重力场相似）重力场相似）弗劳德数相等弗劳德数相等（粘性力相似）粘性力相似）雷诺数相等雷诺数相等如果采用同一状态流体，如果采用同一状态流体， 与重力场相与重力场相似矛盾，所以必须改变流体粘度。似矛盾，所以必须改变流体粘度。例例4-2 两种密度和动力粘度相等的液体从两种密度和动力粘度相等的液体从几何相似的喷嘴中喷出。一种液体的表面几何相似的喷嘴中喷出。一种液体的表面张力为，出口流束直径为，流速为，在离张力为，出口流束直径为，流速为，在离喷嘴喷嘴12m处破裂成雾滴；另一液体的表面处破裂成雾滴；另一液体的表面张力为。求在流动相似条件下另一液体的张力为。求在流动相似条件下另一液体的出口流束直径、流速、破裂成雾滴的距离。出口流束直径、流速、破裂成雾滴的距离。另一流束参数：另一流束参数：解：流体破裂是受粘性力和表面张力的共同作解：流体破裂是受粘性力和表面张力的共同作用，其流动相似的条件是雷诺数和韦伯数同时用，其流动相似的条件是雷诺数和韦伯数同时相等。相等。模化实验技术简介模化实验技术简介 试验计算过程：试验计算过程： 相似原理指导下的模型试验相似原理指导下的模型试验 准则方程（已定准测与待定准则之间的函数关系）准则方程（已定准测与待定准则之间的函数关系） 已知量已知量已定准则已定准则 待定准则待定准则待定量待定量 4.4 近似模型试验近似模型试验工程上常常忽略次要因素，进行近似模型试验。工程上常常忽略次要因素，进行近似模型试验。自模化状态：自模化状态：如在有压粘性管流中，当雷诺数大如在有压粘性管流中，当雷诺数大到一定数值时，继续提高雷诺数，管内流体的到一定数值时，继续提高雷诺数，管内流体的紊乱程度及速度剖面几乎不再变化，沿程能量紊乱程度及速度剖面几乎不再变化，沿程能量损失系数也不再变化，雷诺准则失去判别相似损失系数也不再变化，雷诺准则失去判别相似的作用，这种状态称为自模化状态。的作用，这种状态称为自模化状态。重力场相似（弗劳德数相等）重力场相似（弗劳德数相等）粘性力场相似（雷诺数相等）粘性力场相似（雷诺数相等）要同时满足要同时满足 （常常难以办到）（常常难以办到）关于自模化区实验关于自模化区实验 设计模型实验只要求流动处于同一自模化区，设计模型实验只要求流动处于同一自模化区， 而不必要求两个流动的动力相似参数严格相等。而不必要求两个流动的动力相似参数严格相等。 例：例：管道湍流进入平方阻力区，沿程损失系数管道湍流进入平方阻力区，沿程损失系数 与与Re无关；无关；尼古拉兹曲线尼古拉兹曲线圆柱绕流圆柱绕流例：例：圆柱绕流圆柱绕流Re=1033 105，CD几乎不随几乎不随Re变化。变化。例例4-3 弧形闸门如图，已知水深弧形闸门如图，已知水深6m，在，在1/20的的模型上试验，模型闸前水深应为多少？若测得模型上试验，模型闸前水深应为多少？若测得模型闸出口平均流速为模型闸出口平均流速为2m/s，流量，流量30 l/s，作用，作用在闸门上的力在闸门上的力92N，闸门轴力矩，试求原型闸，闸门轴力矩，试求原型闸门的对应参数。门的对应参数。解：模型闸前水深解：模型闸前水深流动相似，弗劳德数相等：流动相似，弗劳德数相等：例例4-4 用空气模拟试验求取水管参数，已知：用空气模拟试验求取水管参数，已知： 流动进入流动进入自模化区自模化区，取，取 测得：测得： 已知：已知：解：原型及模型中流动速度：解：原型及模型中流动速度：气流马赫数：气流马赫数：（可不考虑气体压缩性的影响）（可不考虑气体压缩性的影响）比例系数：比例系数：原型参数：原型参数：决定性相似准数的定义：决定性相似准数的定义： 对该性质的流动以该决定性相似准数来判断对该性质的流动以该决定性相似准数来判断是否满足了主要动力相似。是否满足了主要动力相似。 只要满足了决定性相似准数相等后，就满足只要满足了决定性相似准数相等后，就满足了主要动力相似，抓住了解决问题的实质。了主要动力相似，抓住了解决问题的实质。（注意：对于（注意：对于Eu准数而言，在其他相似准数作准数而言，在其他相似准数作为决定性相似准数满足相等时，为决定性相似准数满足相等时， Eu准数同准数同时可以满足）时可以满足） 例例4-5 有一轿车，高有一轿车，高hm，在公路上行驶，在公路上行驶，设计时速设计时速v=108km/h，拟通过风洞中模，拟通过风洞中模型实验来确定此轿车在公路上以此速行型实验来确定此轿车在公路上以此速行驶时的空气阻力。已知该风洞系低速全驶时的空气阻力。已知该风洞系低速全尺寸风洞尺寸风洞(kl=2/3)，并假定风洞试验段内，并假定风洞试验段内气流温度与轿车在公路上行驶时的温度气流温度与轿车在公路上行驶时的温度相同，试求：风洞实验时，风洞实验段相同，试求：风洞实验时，风洞实验段内的气流速度应安排多大？内的气流速度应安排多大？ vm=vpkv=1083/2=162km/h=45m/s解：首先根据流动性质确定决定性相似准数，这里选解：首先根据流动性质确定决定性相似准数，这里选取取Re作为决定性相似准数，作为决定性相似准数，即：即：再根据决定型相似准数相等，确定几个比例系数的再根据决定型相似准数相等，确定几个比例系数的相互约束关系，相互约束关系，这里这里k =1，所以，所以 kv=kl-1，由于，由于kl=2/3，那么那么 ， kv=1/kl=3/2最后得到风洞实验段内的气流速度应该是最后得到风洞实验段内的气流速度应该是解：在设计模型时，定下解：在设计模型时，定下 k =1 kl=2/3 kv=3/2 在相同的流体和相同的温度时，流体密度比例系数在相同的流体和相同的温度时，流体密度比例系数k =1，那么力比例系数那么力比例系数 kF= k kl2 kv2=1(2/3)2(3/2)2=1 因此，该轿车在公路上以因此，该轿车在公路上以108km/h的速度行驶所遇到的空气的速度行驶所遇到的空气阻力阻力 Fp=Fm/kF=1000/1=1000N 例例4-6 在上例中，通过风洞模型实验，获得模型轿车在上例中，通过风洞模型实验，获得模型轿车在风洞实验段中的风速为在风洞实验段中的风速为45m/s时，空气阻力为时，空气阻力为1000N，问：此轿车以，问：此轿车以108km/h的速度在公路上行驶时，所受的速度在公路上行驶时，所受的空气阻力有多大？的空气阻力有多大？4.5 量纲分析法（因次分析法）量纲分析法（因次分析法）量纲：物理量单位的种类量纲：物理量单位的种类基本量纲：基本物理量量纲，如：时间基本量纲：基本物理量量纲，如：时间T、长度、长度L、质量质量M导出量纲：由物理定义导出，由基本量纲组成，如：速导出量纲：由物理定义导出，由基本量纲组成，如：速度度LT-1 加速度加速度LT-2力力MLT-2压强压强ML-1T-2准则方程：用相似准则数表示的物理方程。准则方程：用相似准则数表示的物理方程。 常用的量纲分析法：瑞利法和常用的量纲分析法：瑞利法和 定理定理 量纲分析法主要用于分析物理现象中的未知规律，通过量纲分析法主要用于分析物理现象中的未知规律，通过对有关的物理量作量纲幂次分析，将它们组合成无量纲形式对有关的物理量作量纲幂次分析，将它们组合成无量纲形式的组合量，用的组合量，用无量纲参数无量纲参数之间的关系代替有量纲的物理量之之间的关系代替有量纲的物理量之间的关系，揭示物理量之间在量纲上的内在联系，降低变量间的关系，揭示物理量之间在量纲上的内在联系，降低变量数目，用于指导理论分析和实验研究。数目，用于指导理论分析和实验研究。 SI制中的基本量纲：制中的基本量纲：一、物理量的量纲一、物理量的量纲导出量纲：用基本量纲的幂次表示。导出量纲：用基本量纲的幂次表示。dim m = M , dim l = L , dim t = T 物理量物理量大小大小类别类别导出量纲导出量纲工程单位制工程单位制国际单位制国际单位制英英 制制单位制单位制量纲量纲基本量纲基本量纲量纲幂次式量纲幂次式应变率应变率 角速度，角加速度角速度，角加速度 其他量其他量粘度，运动粘度粘度，运动粘度压强，压力，弹性模量压强，压力，弹性模量力，力矩力，力矩密度，重度密度，重度体积流量，质量流量体积流量，质量流量 速度，加速度速度，加速度 常用量常用量 注：注： 为温度量纲为温度量纲比焓，比内能比焓，比内能比比熵熵 导热系数导热系数比定压（容）热容比定压（容）热容表面张力表面张力功率功率能量，功，热能量，功，热动量，动量矩动量，动量矩惯性矩，惯性积惯性矩，惯性积同一方程中各项的量纲必须相同。用基本量纲的幂次式表示时，同一方程中各项的量纲必须相同。用基本量纲的幂次式表示时，每个基本量纲的幂次应相等，称为每个基本量纲的幂次应相等，称为量纲一致性。量纲一致性。二、量纲一致性原理二、量纲一致性原理常数常数 （沿流线）（沿流线）单位体积流体伯努利方程单位体积流体伯努利方程例例4-7： 不可压缩粘性流体在粗糙管内定常流动时，沿不可压缩粘性流体在粗糙管内定常流动时，沿管道的压强降管道的压强降D Dp，与管道长度与管道长度 l、内径、内径d 、绝对粗糙度、绝对粗糙度e e 、平均流速平均流速v 、流体密度、流体密度 和动力粘度和动力粘度m m有关。用瑞利法有关。用瑞利法导出压强降的表达式。导出压强降的表达式。三、瑞利法：三、瑞利法： 用定性物理量用定性物理量 的某种幂次之积的函数来的某种幂次之积的函数来表示被决定的物理量表示被决定的物理量 ，即，即 ，根，根据量纲一致性原则求出待定指数，进而确定据量纲一致性原则求出待定指数，进而确定 。解：根据瑞利法可以写出用基本量纲表示上方程的物解：根据瑞利法可以写出用基本量纲表示上方程的物理量，则有理量，则有 管道长径比管道长径比 管道相对粗糙度管道相对粗糙度 相似准则数相似准则数 根据量纲一致性原则，有根据量纲一致性原则，有三个方程六个指数（选三个方程六个指数（选a1,a3,a6为待定指数）为待定指数） 沿程损失系数，由实验确定沿程损失系数，由实验确定单位重力流体沿程能量损失单位重力流体沿程能量损失沿管道的压强降沿管道的压强降这就是著名的达西这就是著名的达西- -魏斯巴赫公式（下一章讲解）魏斯巴赫公式（下一章讲解）四、四、 定理定理量纲分析的布金汉量纲分析的布金汉量纲分析的布金汉量纲分析的布金汉定理定理定理定理( ( ( ( 定理定理定理定理) ) ) )若某物理问题有若某物理问题有n个变量，满足函数关系个变量，满足函数关系 其中涉及其中涉及m个独立的基本量纲，个独立的基本量纲， 则则n个变量个变量可组成可组成n m个独立的无量纲数个独立的无量纲数这些无量纲数这些无量纲数存在函数关系存在函数关系1、几何相似要求有一个长度量纲、几何相似要求有一个长度量纲2、运动相似要求有一个速度量纲、运动相似要求有一个速度量纲3、加上一个包含质量的量纲、加上一个包含质量的量纲不可压流动有三不可压流动有三个独立的基本量纲（有多种选择）个独立的基本量纲（有多种选择）：x1 =f (x 2，x 3, , x n ) 1 = f ( 2, 3, , n-m ) 提议用量纲分析的是瑞利（提议用量纲分析的是瑞利（L.Reyleigh,1877),奠奠定理论基础的是布金汉（定理论基础的是布金汉（E.Buckingham,1914): 定理定理方方 法法充要条件充要条件n个物理量个物理量m个独立个独立基本量基本量n-m个导出量个导出量选选m个独立个独立基本量基本量组成组成n-m个个独立独立 数数量纲分析方法等量纲分析方法等一般步骤：以圆柱绕流为例一般步骤：以圆柱绕流为例第第1步步、列举所有相关的物理量。、列举所有相关的物理量。第第2步步、选择包含不同基本量纲的物理量为基本量（或、选择包含不同基本量纲的物理量为基本量（或 称为重复量，取称为重复量，取3个）。个）。 第第3步步、将其余的物理量作为导出量，分别与基本量、将其余的物理量作为导出量，分别与基本量 的幂次式组成的幂次式组成 表达式。表达式。 阻力阻力密度密度 速度速度直径直径粘度系数粘度系数选选 、v 、d导出量即导出量即 、 第第4步步、用量纲幂次式求解每个、用量纲幂次式求解每个 表达式中的指数，组表达式中的指数，组成成 数。数。 解得解得 a1 = -1 , b1 = -2 , c1= -2（CD 称为阻力系数）称为阻力系数） 解得解得: a 2 = -1, b 2 = -1, c 2 = -1 第第5步步、用、用 数组成新的方程。数组成新的方程。 p1 = f (p2 ) （Re为雷诺数）为雷诺数） 例例4-7： 不可压缩粘性流体在粗糙管内定常不可压缩粘性流体在粗糙管内定常流动时，用流动时，用定理导出压强降的表达式。定理导出压强降的表达式。解：物理方程解：物理方程7个物理量涉及个物理量涉及3个基本量纲，可以组成（个基本量纲，可以组成（7-3=）4个个无量纲量。选取无量纲量。选取 为基本量。为基本量。用基本量纲表示用基本量纲表示 中各物理量，得：中各物理量，得：由量纲一致性：由量纲一致性：解得：解得：用基本量纲表示用基本量纲表示 中各物理量，得：中各物理量，得：由量纲一致性：由量纲一致性：解得：解得：用基本量纲表示用基本量纲表示 中各物理量，得：中各物理量，得：由量纲一致性：由量纲一致性：解得：解得： 与与 具有相同量纲结构：具有相同量纲结构：准则方程可写为：准则方程可写为：量纲分析法求取准则数的特点：量纲分析法求取准则数的特点：优点优点：方法简单，不必列出微分方程，只要知道影：方法简单，不必列出微分方程，只要知道影 响因素。响因素。缺点缺点：不分析现象的物理本质，漏列因素将导致错误。：不分析现象的物理本质，漏列因素将导致错误。可见，结果与瑞利法完全一样，但该法推导时未出可见，结果与瑞利法完全一样，但该法推导时未出现待定指数选取问题。现待定指数选取问题。应用量纲分析法得到的物理方程是否符合客观规律，应用量纲分析法得到的物理方程是否符合客观规律，和所选入的物理量是否正确有关。而量纲分析法本和所选入的物理量是否正确有关。而量纲分析法本身对有关物理量的选取却不能提供任何指导和启示。身对有关物理量的选取却不能提供任何指导和启示。弥补量纲分析法的局限性，需要已有的理论分析和弥补量纲分析法的局限性，需要已有的理论分析和实验成果，要依靠研究者的经验和对流动现象的观实验成果，要依靠研究者的经验和对流动现象的观察认识。察认识。可以说，量纲分析法是沟通流体力学理论和实验之间可以说，量纲分析法是沟通流体力学理论和实验之间的桥梁。的桥梁。 例例例例4-84-8 实验发现，球形物体在粘性流体中运动所受实验发现，球形物体在粘性流体中运动所受阻力阻力FD与球体直径与球体直径d、球体运动速度、球体运动速度v、流体的密度、流体的密度和动力粘度和动力粘度有关，试用有关，试用定理量纲分析法建立定理量纲分析法建立FD的的公式结构。公式结构。选选、v、d解解: 第第1步步、列举所有相关的物理量列举所有相关的物理量:第第2步步、选择包含不同基本量纲的物理量为基本量选择包含不同基本量纲的物理量为基本量第第3步、将其余的物理量作为导出量，步、将其余的物理量作为导出量，即即 F D 、分别与基本量的幂次式组成分别与基本量的幂次式组成 表达式表达式由上述三元一次方程组得：由上述三元一次方程组得：因此因此同理：同理：式中式中CD 为绕流阻力系数，为绕流阻力系数，Re是雷诺数是雷诺数4列列 数方程数方程量纲分析的优点量纲分析的优点vd模型和原型的受力换算问题模型和原型的受力换算问题 在做模型实验时，往往很容易测得模型所受的在做模型实验时，往往很容易测得模型所受的升力和阻力，这就存在一个如何将由模型所受的力升力和阻力，这就存在一个如何将由模型所受的力推得真实物体所受的力问题。推得真实物体所受的力问题。模型模型原型原型Re 模模 Re 原原 找到基本比例尺找到基本比例尺kl ,kv,k之间的关系之间的关系 更一般的思路：更一般的思路：I. 通过模型实验先找出阻力系数与通过模型实验先找出阻力系数与Re的关系的关系 II.真实物体的阻力真实物体的阻力Re 模模1 Re 原原1 Re 模模2 Re 原原2 Re 模模3 Re 原原3CD f (Re) CD f (Re) . .上述量纲分析方法的缺点是很难完全掌握影上述量纲分析方法的缺点是很难完全掌握影响因素，如果遗漏了重要影响因素，那有关准则响因素，如果遗漏了重要影响因素，那有关准则关系式的方程就不对了。关系式的方程就不对了。. .很难给出准则数上的因次的物理意义，为很难给出准则数上的因次的物理意义，为什么是此数？而不是他数？如果条件变化了，什么是此数？而不是他数？如果条件变化了，比如气流的圆球阻力问题，圆球的数目不再是比如气流的圆球阻力问题，圆球的数目不再是一个，仍可获得无因次关系式，但是因次却变一个，仍可获得无因次关系式，但是因次却变化了。这如何去解释？化了。这如何去解释？量纲分析方法的缺点量纲分析方法的缺点不可压缩流体在重力作用下从三角堰中定常泄流，求泄流量不可压缩流体在重力作用下从三角堰中定常泄流，求泄流量的表达式。的表达式。 三角堰泄流量三角堰泄流量2选择基本量：选择基本量：、g、h 3 3列列 表达式求解表达式求解 数数1 1列举物理量。列举物理量。qV ,，g ，h ， 共共5个个 M 0 L 0 T 0 = ( M L 3 ) a ( L T 2 ) b L c ( L 3 T 1 ) 解得：解得：a = 0, b = - 1 / 2, c = - 5 / 24列列 数方程数方程 1= f ( 2) （弧度，无量纲）（弧度，无量纲） 或或 讨论：讨论：结果表明结果表明qV与与无关，与无关，与h成成5/25/2次方关系。与解析式一致，解次方关系。与解析式一致，解析式为析式为 对一孔口角已确定的三角堰，对一孔口角已确定的三角堰，(c )式已明确地表达了式已明确地表达了qV与与h的理论关的理论关系，在这里量纲分析结果与解析解起同样的作用。系，在这里量纲分析结果与解析解起同样的作用。 由实验确定由实验确定( c) 作业：作业：4-7， 4-9， 4-10，4-14，4-15， 4-16