第三章第三章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析拉普拉斯变换拉普拉斯变换以傅氏变换为基础的频域分析法，将时域的卷积运算转应；另外，其反变换的积分计算也不易。初始状态在变换式中无法体现，只能求系统的零状态响项处理不方便；尤其用傅氏变换分析系统响应时，系统件的常用信号如等，虽然其傅氏变换存在，但带有冲激际问题时有其独到之处。不过对一些不满足绝对可积条谐波分量、系统的频率响应、系统带宽、波形失真等实变为频域的代数运算，简化了运算；特别是在分析信号而拉普拉斯变换的优点一是对信号要求不高,一般指数阶氏变换(英文缩写为LT)。续LTI系统的重要数学工具。 拉普拉斯变换也简称为拉相对简单的反变换方法。所以拉普拉斯变换也是分析连求系統的零输入响应（初始条件“自动”引入）；三是有转变为代数运算，而且既能求系统的零状态响应，也能信号的变换存在且简单；二是不但能将时域的卷积运算3.1拉普拉斯变换拉普拉斯变换果信号的拉氏变换。因果信号的拉氏变换也称单边拉氏变3.1 .1、单边拉氏变换、单边拉氏变换1、单边拉氏变换定义、单边拉氏变换定义考虑到一般实际应用的信号多为因果信号，我们先讨论因换。因果信号的傅氏正、反变换为傅氏变换对于一些指数阶的函数处理不方便,主要原因是式中一个收敛速度足够快的函数。即有这类函数不收敛,例如阶跃函数。为了使函数收敛，在进行变换时让原函数乘以，使得是件。为收敛（衰减）因子，使满足绝对可积条令的傅氏反变换为则， 等式两边同乘可表示为不是，里，由此得到的函数，可放入积分号（3-2）代入上式且积分上、下限也做相应已知，选定改变，则可写作为常量，所以，（3-5）因为的作用，(3-2)与 (3-5)式是适合指数阶函数的变换。称“单边”变换。将两式重新表示在一起，单边拉氏变换式中又由于(3-2)式中的是时为零的因果信号，故定义为 称为复频率，为象函数，原函数。为L或可以用直角坐标的复平面（s平面）表示，如图3-1所示。象函数与原函数的关系还可以表示为 L 0比较傅氏变换、拉氏变换的推导，可知傅氏变换的基本虽然单边拉普拉斯变换存在条件比傅氏变换宽，但对具体的拉氏变换；拉氏变换是傅氏变换在s平面的推广。傅氏变换与拉氏变换的关系：傅氏变换是在虚轴上，拉氏变换的基本信号元是。不难表明信号元是由单边拉氏变换收敛区可以解决这些问题。函数也有变换是否存在及在什么范围内变换存在的问题，2、单边拉氏变换收敛区、单边拉氏变换收敛区在一定条件下收敛，即有收敛区是使满足可积的取值范围，或是使取值范围。的单边拉氏变换存在的由拉氏变换式的推导可见，因为的作用，使得（3-8）（3-8）变换的收敛区就确定了式中叫做收敛坐标，是实轴上的一个点。穿过并与虚轴平行的直线叫做收敛边界。收敛轴的右边为收敛区，收敛区不包括收敛轴。一旦确定，借助指数函数衰减可以被压下去。指数阶函数的单边拉确定。的取值与有关，具体数值由(3-8)式计算。满足(3-8)式的函数，称为指数阶函数。这类函数若发散，氏变换一定存在，其收敛区由收敛坐标拉氏以随时间变化的趋势，给出收敛区的大致范围：是随时间衰减的，例如单边指数信号的，其拉氏变换的收敛区如图3-2(a)所示；0收敛区收敛区(a)区如图3-2 (c)所示。是随时间不变的，例如、，其拉氏变换的收敛区如图3-2 (b)所示；幅度是随时间增长的，例如其拉氏变换的收敛0收敛区收敛区(b)0收敛区收敛区(c)图3-2 收敛区示意图存在，但有冲激项。因为指数阶函数的单边拉氏变换一定存在，所以一般当时，收敛区包含虚轴，函数的傅氏变换当时收敛区不包含虚轴，函数的傅氏变换当时，收敛区不包含虚轴，函数的傅氏变换可以不标明收敛区。不存在；存在；二、常用函数的单边拉氏变换二、常用函数的单边拉氏变换通过求常用函数的象函数，掌握单边拉氏变换的基本方1、当拉氏变换的收敛区包括法。的函数，仅将轴，可由直接得到，即换为的收敛域如图3-2(a)所示，包括例例3.1-1 已知的拉氏变换。以及 ，求 解 轴，所以 2、利用以上结果，可以推出以下常用信号的拉氏变换。例3-2、的指数函数（ 为任意常数） 例3-3、例3-4、例3-5例3-6、 3、 的正幂函数的正幂函数LLL即依次类推：LLLL 特别地：表3-1列出了常用函数的拉氏变换。 除了因果信号，一些非因果双边信号也存在拉氏变换，三、双边拉氏变换三、双边拉氏变换1定义因子，则简称双边拉氏变换。下面讨论双边信号的拉氏变换。先讨论作用。当一定时，若时为收敛时为发散因子，有 但是，如果有函数在上式无限区间积分为有限值,我们说函数的双边L变换给定的范围内,使得存在。并记为或2、双边拉氏变换的收敛区、双边拉氏变换的收敛区双边拉氏变换收敛区的定义是使通过实例讨论双边拉氏变换存在的条件，即双边拉氏L L范围。满足可积的取值范围，或是使的双边拉氏变换存在的取值变换的收敛区。例例3.1-8已知函数解解：将积分分为两项对第项，只有时积分收敛，收敛区如图3-3b所示。边L变换的收敛区，试确定双敛区如图3-3a所示。，即时积分收敛；收对第项，只有两项的公共收敛区为。010变换存在，因此只有当时，双边拉氏换为波形与收敛区如图3-4所示。其双边L变1双边拉氏变换不存在。通常，双边拉氏变换有两个收敛边界，一个取决于的函数，是左边界用表示；另一个取决于的函数，是右边界以表示。若时，则与的变换有公共收敛区, 双边L变换存在；所以，双如图3-5所示。边拉氏变换的收敛区是s平面上的带状区，若0例例3.1-9已知；c. ，求所有可能的。解解:的收敛区有三种情况，对应的a.；b.为从上例分析可见，双边拉氏变换的收敛区必须标明，否则不能正确确定时域信号。3.2 拉氏变换的基本性质拉氏变换的基本性质本节讨论单边拉氏变换的基本性质。1、线性、线性若则，为任意常数。、例例证L2、时延（移位）特性、时延（移位）特性若证，代入上式得则令，时延（移位）特性表明，波形在时间轴上向右平移的不同。，其拉氏变换应乘以移位因子。适用时延特性的时延函数是，而不是。要注意区分、例例3-4如图3-6所示，求象函数。1102-1解解：已知其中（利用线性） 则 图3.2-13.2-1 （时延） 3、频率平移、频率平移（域）则证为复常数 若例例3.2-2 已知解 方法1，求象函数。 方法2 4、尺度变换、尺度变换若证其中L，则 令L代入上式得已知解 方法1先频移后尺度，求方法2 先尺度再频移的象函数。例3-6例例3-7 求解解的象函数。、 5、时域微分时域微分若，则在可以将上式推广到高阶导数时的值。 式中是时的值。 式中以及分别为时以及时的值。式中以及分别为时以及证明 L，则同理 令 L特别地，当则时域微分式可分别化简为式中LL为有始函数，即，我们有，为微分因子。依此类推，可以得到高阶导数的L变换6、时域积分、时域积分表示积分运算，若，则 式中 证明证明：其中利用任意函数与阶跃卷积将(3.2-9) (3.2-10)代入(3.2-8)，得 特别的，如果为积分因子。为因果信号，则时域积分性质为式中存在，则*7、初值定理、初值定理初值定理只适用证明证明：由时域微分性质我们有LL、设有、，且在原点处没有冲激的函数。 得交换积分与取极限次序两边取极限 比较等式左、右两边*8、终值定理、终值定理的终值左半面(存在，则LL、设有、，且终值定理适用的条件是的所有极点在平面的可有在原点处的单极点)证明证明：利用初值定理的结果两边取相限交换积分与取极限次序令 例例3.2-5 已知解=L验证：求，。、 9.时域卷积定理时域卷积定理若则L交换积分次序证：因为为有始函数，所以、表3-2给出了单边拉氏变换主要性质。利用延时特性L