第二章 插值与拟合2.5 离散数据的曲离散数据的曲线拟合合 总结总结2.5.3 正交多项式拟合正交多项式拟合2.5.2 多项式的拟合多项式的拟合2.5.1 最小二乘拟合最小二乘拟合第二章 插值与拟合2.5 离散数据的曲线拟合离散数据的曲线拟合学习目的：学习目的：了解曲线拟合最小二乘法的意义。掌握线了解曲线拟合最小二乘法的意义。掌握线性拟合和二次多项式拟合的方法。性拟合和二次多项式拟合的方法。第二章 插值与拟合2.5 离散数据的曲线拟合离散数据的曲线拟合2.5.1 最小二乘拟合最小二乘拟合对于知的对于知的m+1的离散数据的离散数据 和权数和权数 ，记，记 在延续函数空间在延续函数空间Ca,b中选定中选定n+1个线性无关的基函数个线性无关的基函数 ，并记由它们生成的子空间并记由它们生成的子空间 。假设。假设存在存在使得使得(2.5.1)那么称那么称 为离散数据为离散数据 在子空间中带权在子空间中带权 的最小二乘拟合。的最小二乘拟合。函数函数 在离散点处的值为在离散点处的值为第二章 插值与拟合因此，因此，2.5.1右边的和式是参数右边的和式是参数 的函数，记作的函数，记作2.5.2 这样，求极小值问题这样，求极小值问题2.5.1的解的解 ,就是求多元二次函数就是求多元二次函数的极小点的极小点 使得使得由求多元函数极值的必要条件有由求多元函数极值的必要条件有按内积的定义，上式可写为按内积的定义，上式可写为2.5.3第二章 插值与拟合可以证明，这样得到的可以证明，这样得到的 ，对于任何，对于任何 ，都有，都有这方程称为法方程这方程称为法方程(或正规方程或正规方程)。这里，。这里， 由于由于 线性无关，故线性无关，故2.5.3的系数矩阵非奇特，方程组的系数矩阵非奇特，方程组2.5.3存在独一的解存在独一的解 从而得从而得.)()(0*F F = = = =xaxknkkj jj j故故 是所求的最小二乘拟合。记是所求的最小二乘拟合。记 ，显然，平方误差，显然，平方误差 或或 均方误差均方误差 越小，拟合的效果越好。平方误差有与越小，拟合的效果越好。平方误差有与2.4.15一样方式一样方式的表达式。的表达式。第二章 插值与拟合2.5.2 多多项式的式的拟合合 例例 2.13 用多项式拟合表用多项式拟合表2-7中的离散数据。中的离散数据。 yi 0.10 0.35 0.81 1.09 1.96 xi 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 i 0 1 2 3 4表表2-7即在多项是空间即在多项是空间 中作曲线拟合，称为多项式拟合。中作曲线拟合，称为多项式拟合。这是一种特定的线性模型，因此可用上面讨论的方法求解。子空间这是一种特定的线性模型，因此可用上面讨论的方法求解。子空间 得基得基函数为函数为 前面讨论了子空间前面讨论了子空间 中的最小二乘拟合。这是一种线性拟合模型。在离中的最小二乘拟合。这是一种线性拟合模型。在离散说据散说据 的最小二乘拟合中，最简单、最常用的数学模型是多项式的最小二乘拟合中，最简单、最常用的数学模型是多项式第二章 插值与拟合解解 作数据点的图形如图作数据点的图形如图2-2，从图形看出用二次多项式拟合比较适宜。这，从图形看出用二次多项式拟合比较适宜。这时时n=2，子空间，子空间 的基函数的基函数 。数据中没有给。数据中没有给出权数，无妨都取为出权数，无妨都取为1，即，即 。o y 1.961 x*图图2-2按按2.5.3有有 解此方程组得解此方程组得 。从而，拟。从而，拟合多项式为合多项式为第二章 插值与拟合其平方误差其平方误差 。拟合曲线。拟合曲线 的图形见图的图形见图2-2。 在许多实践问题中，变量之间的关系不一定能用多项式很好的拟合。如何找到更符合实践情况的数据拟合，一方面要根据专业知识和阅历来确定拟合曲线的方式，另一方面要根据数据点的图形性状及特点来选择适当的曲线拟合这些数据。 例例 2.14 知函数知函数y=f(x)的数据如表的数据如表2-8。试选择适当的数学模型进展拟合。试选择适当的数学模型进展拟合。yi 4.00 6.41 8.01 8.79 9.53 9.86 10.33 10.42 10.53 10.61xi 1 2 3 4 6 8 10 12 14 16 i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 表表2-8第二章 插值与拟合 解 (1)察看数据点的图形(见图2-3),选择二次多项式作为拟合模型。取一切权数为1，按2.5.3有解得解得 ，从而拟合函数为，从而拟合函数为平方差平方差 的图形见图的图形见图2-3。有平方误差和。有平方误差和 的的图形可见，拟合的效果不佳。因此，不宜直接选用多项式作拟合。图形可见，拟合的效果不佳。因此，不宜直接选用多项式作拟合。y113o116 T*第二章 插值与拟合(2)从数据的图形看，可以选用指数函数进展拟合。设从数据的图形看，可以选用指数函数进展拟合。设 ，其中其中 。这是一个非线性模型，。这是一个非线性模型， 不能直接用上面讨论的方法求解。不能直接用上面讨论的方法求解。对于普通的非线性最小二乘问题对于普通的非线性最小二乘问题.，用常规方法求解的难度较大。这里的非，用常规方法求解的难度较大。这里的非线性模型比较简单，可以把它转化成线性模型，然后用上面讨论的方法求解。线性模型比较简单，可以把它转化成线性模型，然后用上面讨论的方法求解。对说函数函数 的两的两边取之然取之然对数，得数，得 。假假设令，那么有令，那么有z=A+t。这是一个是一个线性性模型。将此模型。将此题离散数据作相离散数据作相应的的转换，见表表2-9。ti 1.0000 0.5000 0.33333 0.2500 0.1667 0.1250 0.1000 0.0833 0.0714 0.0625 zi 1.3863 1.8575 2.0807 2.1736 2.2544 2.2885 2.3351 2.3437 2.3542 2.3681 i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 表表2-9第二章 插值与拟合对表表2-9种的数据，作种的数据，作线性性拟合，合，这时n=1，子空，子空间的基函数的基函数为 。易得。易得发方程方程解得解得A=2.4284,=-1.0579,从而从而 。于是，所求的。于是，所求的拟合函数合函数为平方误差为平方误差为 。它比如法。它比如法1的的 小得多，拟小得多，拟合效果较好。合效果较好。第二章 插值与拟合2.5.3 正交多正交多项式式拟合合 普通地，用最小二乘法得到的方程组2.5.3，其系数矩阵是病态的。适用的曲线拟合方法是采用正交函数作的基。 假设点集 中至少有n+1个互异，那么可用三项递推公式(2.4.4)和(2.4.5)求出正交多项式序列 ,它们可以作为子空间=span 的一组基。求出多项式序列 后，可以建立拟合模型此时，对应的法方程为此时，对应的法方程为( () )( () )( () ) ( () )( () )( () )( () ) ( () )有有由于按法方程由于按法方程。它的解为它的解为。aynkyankyajnkjkkjkkkkkkkk, 3 . 5 . 2 , 1 , 0, 1 , 0, 0LLLL= = = = = = = = =j jj jj jj jj jj jj jj jj jj jj j第二章 插值与拟合 按上述求离散数据按上述求离散数据 的拟合多项式的拟合多项式 的方法，称为正交多项式的方法，称为正交多项式拟合。根据独一性，所得结果与用前面的方法所得的结果一样，但数值计算比拟合。根据独一性，所得结果与用前面的方法所得的结果一样，但数值计算比前者稳定。前者稳定。( () )。因此平方误差为。因此平方误差为即即njyj, 1 , 0, 0,LL= = =- -j jj j解解 知离散数据知离散数据为例例 2.15 用正交化方法求例用正交化方法求例2.13中的离散数据的二次多中的离散数据的二次多项式式拟合。合。第二章 插值与拟合最后得拟合多项式最后得拟合多项式。211428571. 1a 784. 1a ,862. 0a 210= = = =( () )( () )( () ),06625. 0, ,115. 1, ,31. 4y, 210= = = =yyj jj jj j进而有而有 对权数对权数 ,在例在例2.10中已求出了点集中已求出了点集 上的正上的正交多项式交多项式并且有并且有所得结果与例所得结果与例2.13一样一样.