第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何D D 在三棱锥在三棱锥O OABCABC中，点中，点M M是是ABCABC的重心，的重心，求证：求证： . .O OA AB BC CM M1. 1. 空间空间向量共线定理向量共线定理若若 ，则，则点点P P、A A、B B共线共线的充要条件是的充要条件是x xy y1 1。 2. 2. 空间空间向量共面定理向量共面定理对空间任一点对空间任一点O O和不共线三点和不共线三点A A、B B、C C，若若 ，则点，则点P P在在平面平面ABCABC内的充要条件是内的充要条件是 x xy yz z1 1. .若向量若向量 不共线，则向量不共线，则向量 与与 共共面的充要条件是：存在惟一的有序实数面的充要条件是：存在惟一的有序实数对对(x(x，y)y)，使，使 . .3.3.利用空间向量共线定理和共面定利用空间向量共线定理和共面定 理，可以解决立体几何中的共点、理，可以解决立体几何中的共点、 共线、共面和平行等问题，这是共线、共面和平行等问题，这是 一种向量方法一种向量方法. .1.数量积的定义：数量积的定义：规定：规定： （1）两向量的数量积是一个数量，）两向量的数量积是一个数量，注注意意（2） a b不能写成不能写成ab ，不不能省能省. 已已知知两两个个非非零零向向量量a 和和b,b,它它们们的的夹夹角角为为 , ,我我们们把把数数量量 叫叫做做a与与b b 的的数量积数量积( (或内积或内积),),记作记作ab b ，即，即数量积的几何意义：数量积的几何意义：b ba ab ba ab ba a数量积数量积a ab b等于等于a a的模与的模与b b在在a a方向上方向上的投影的投影b bcoscos的乘积，的乘积，或等于或等于 b b的模与的模与a a在在b b方向上的投影方向上的投影a acoscos的乘积的乘积.(=) .(=) 已知向量已知向量a、b、c和实数和实数 ，则，则:数量积的运算律数量积的运算律交换律交换律结合律结合律分配律分配律数量积的性质：数量积的性质：（3） 设设a，b都是都是非零向量非零向量，则：，则：（1 1）ab a b=0（2 2）当当a 与与b b 同向时，同向时，a b = 当当a 与与b 反向时，反向时， | a | | b |，a b =| a | | b |判断垂直的又一条件判断垂直的又一条件求模的方法求模的方法特别地特别地:求角的方法求角的方法例题讲解例题讲解例例1 1 用向量方法证明三垂线定理：平面用向量方法证明三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直垂直. .P PO OA Al例例2 2：用向量方法证明直线和平面垂直的：用向量方法证明直线和平面垂直的判定定理：判定定理：lmng已知已知m，n是平面是平面内的两条相交直线，内的两条相交直线，直线直线lm，ln，求证：，求证：l 课堂练习课堂练习C CD DF FB BE EA A解解：3.3.已知线段已知线段ABAB、BDBD在平面在平面 内内,BDAB,BDAB,线段线段AC AC , , 如果如果ABABa a,BD,BDb b,AC,ACc c, ,求求C C、D D间的距离间的距离. .第第4题题:第第3题题:妙妙!6.6.已知线段已知线段 、在平面、在平面 内，线段内，线段 如果，求、之间的距离如果，求、之间的距离. .解：解：小结作业小结作业1.1.由于空间任意两个向量都可以转化为由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间向量的数量积运算共面向量，所以空间向量的数量积运算与平面向量的数量积运算的理论体系完与平面向量的数量积运算的理论体系完全一样全一样. .2.2.对于空间线线垂直，线面垂直问题可对于空间线线垂直，线面垂直问题可以转化为向量的数量积为零来处理，同以转化为向量的数量积为零来处理，同时，利用向量的数量积还可以计算夹角时，利用向量的数量积还可以计算夹角和距离和距离. .作业：作业：P P9898-P-P9999 A A 3. 3. 4.(4)(5)(6) 4.(4)(5)(6) B B 1 1