第二节第二节 微积学基本定理微积学基本定理一、变上限积分与对积分一、变上限积分与对积分上限变量求导数上限变量求导数二、二、微积分基本定理微积分基本定理 如果物体运动的速度函数为v=v(t),那么在时间区间a,b内物体的走过的路程s可以用定积分表示为另一方面,如果已知该变速直线运动的路程函数为s=s(t),则在时间区间a,b内物体的位移为s(b)s(a), 所以又有 由于 ,即s(t)是v(t)的原函数,这就是说,定积分 等于被积函数v(t)的原函数s(t)在区间a,b上的增量s(b)s(a).一、变上限积分与对积分上限变量求导数 设函数f(x)在区间a,b上连续,则对于任意的x( ),积分 存在,且对于给定的x( ),就有一个积分值与之对应,所以上限为变量的积分 是上限x的函数.注意：积分上限x与被积表达式f(x)dx中的积分变量x是两个不同的概念,在求积时(或说积分过程中)上限x是固定不变的,而积分变量x是在下限与上限之间变化的,根据定积分与积分变量记号无关,用字母t表示积分变量,于是变上限记号为(x)因此常记为定理5.3 如果函数f(x)在区间a,b上连续,则变上限的积分所确定的函数在a,b上可导,且证明由积分中值定理有结论：变上限积分所确定的函数 对积分上限x的导数等于被积函数f(t)在积分上限x处的值f(x).定理5.4(原函数存在定理) 原函数存在定理一方面说明连续函数必有原函数,另一方面又揭示了连续函数定积分(这里是指变上限定积分)与不定积分的关系,并由此可以得到利用原函数计算定积分的公式(称为微积分基本定理).定理5.5(微积学基本定理) 设函数f(x)在区间上连续,且F(x)是f(x)在a,b上的任一原函数二、微积分基本定理证明或记作 上式称为牛顿-莱布尼茨公式,也称为微积分基本定理.则 即有令x=b得令x=a,得 牛顿莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便的基本方法,即求定积分的值,只要求出被积函数 f(x)的一个原函数F(x),然后计算原函数在区间a,b上的增量F(b)F(a)即可.该公式把计算定积分归结为求原函数的问题,揭示了定积分与不定积分之间的内在联系.例1 求 解例2 求 解例3 求 解 根据定理6.3有例4 求 解