二、数字积分法插补数字积分法又称数字微分分析器（Digital Differential Analyzer,简称DDA)。采用该方法进行插补，具有运算速度快，逻辑功能强，脉冲分配均匀等特点，且只输入很少的数据，就能加工出直线、圆弧等较复杂的曲线轨迹，精度也能满足要求。因此，该方法在数控系统中得到广泛的应用。（一）数字积分的基本原理如图：从时刻t=0到t，函数Y=f(t)曲线所包围的面积可表示为：S= f(t)dt若将0t的时间划分成时间间隔为t的有限区间，当t足够小时，可得公式：S= f(t)dt = Yi t即积分运算可用一系列微小矩形面积累加求和来近似。TOYY=f(t)tYo t t00 ti=0n-1若t取最小基本单位“1”，则上式可简化为：S= Yi (累加求和公式或矩形公式）这种累加求和运算，即积分运算可用数字积分器来实现，n-1i=0被积函数寄存器+累加器（余数寄存器）t Y存放Y值若求曲线与坐标轴所包围的面积，求解过程如下：被积函数寄存器用以存放Y值，每当t 出现一次，被积函数寄存器中的Y值就与累加器中的数值相加一次，并将累加结果存于累加器中，如果累加器的容量为一个单位面积，则在累加过程中，每超过一个单位面积，累加器就有溢出。当累加次数达到累加器的容量时，所产生的溢出总数就是要求的总面积，即积分值。被积函数寄存器+累加器（余数寄存器）t Y存放Y值被积函数寄存器与累加器相加的计算方法：例：被积函数寄存器与累加器均为3位寄存器，被积函数为5，求累加过程。 101 101 101 101+）000 +）101 +）010 +）111 101 010 111 100 101 101 101 101+） 100 +）001 +）110 +） 011 001 110 011 000经过2 = 8次累加完成积分运算，因为有5次溢出，所以积分值等于5。3(二)数字积分直线插补如图:直线段OA，起点位于原点，终点为A(Xe,Ye)，东电沿X、Y坐标移动的速度为Vx、Vy，则动点沿X、Y坐标移动的微小增量为： X=Vxt Y=Vyt若动点沿OA匀速移动， V、Vx、Vy均为常数，则有： V Vx Vy OA Xe Ye成立。XOYA(Xe,Ye)VxVyV= =K因而可以得到坐标微小位移增量为： X=Vxt=KXet Y=Vyt =KYet所以，可以把动点从原点走向终点的过程看作X、Y坐标每经过一个单位时间间隔以K Xe、 K Ye进行累加的过程，则可得直线积分插补近似表达式为：X= (K Xe)tY= (K Ye)tXOYA(Xe,Ye)VxVyVi=1mi=1m由此可以得到直线插补的数字积分插补器：J Vx(K Xe)(被积函数寄存器)+J Rx(累加器)J Ry(累加器)J Vy(K Ye)(被积函数寄存器)+tXX轴溢出脉冲Y轴溢出脉冲Y设经过m次累加，X、Y坐标分别达到终点，则有：X= (K Xe)t =KmXe =XeY= (K Ye)t = KmYe = Ye由该式可知：mK = 1,即 m= 1/K这样，经过m次累加后，X、Y坐标分别到达终点，而溢出脉冲总数即为：X=Xe Y=YeXOYA(Xe,Ye)VxVyVmmi=1i=1确定K的取值：根据每次增量X、Y不大于1，以保证每次分配的进给脉冲不超过1，即需满足： X=K Xe1 Y=K Ye1其中Xe、Ye的最大允许值受被积函数寄存器容量的限制。假定寄存器有n位，则Xe、Ye的最大允许值为2 1。若取K=1/2 、则必定满足： K Xe = 2 1 / 2 1 K Ye = 2 1 / 2 1由此可定，动点从原点到达终点的累加次数为： m = 1 / K = 2nnnnnnn例：插补第一象限直线OA，起点为O( 0 , 0 ) ，终点为A ( 5 , 3 )。取被积函数寄存器分别为JVx， JVy，余数寄存器分别为JRx 、JRy ，终点计数器为 JE，且都是三位二进制寄存器。试写出插补计算过程并绘制轨迹。XOY12345123A( 5 , 3 )插补计算过程如下累加次数(t）X积分器 JVxJRx 溢出XY积分器 JVyJRy溢出Y终点计数器 JE备注012345678101 000011000初始状态101 101000101101101101101101101011011011011011011011011011111第一次累加010 1110JRx有进位， X溢出1101110011101 JRy有进位， Y溢出1001100100X溢出001 1111011X溢出1100101010Y溢出011 1101001X溢出00010001000X,Y同时溢出JE=0，插补结束加工轨迹如下：XOY12345123A( 5 , 3 )作业：插补第一象限直线OA，起点为O( 0 , 0 ) ，终点为A ( 2 , 6 )。取被积函数寄存器分别为JVx， JVy，余数寄存器分别为JRx 、JRy ，终点计数器为 JE，且都是三位二进制寄存器。试写出插补计算过程并绘制轨迹。XOY12345A( 2 , 6 )612l插补计算过程如下：累加次数(t）X积分器 JVxJRx 溢出XY积分器 JVyJRy溢出Y终点计数器 JE备注012345678010 000110000初始状态010 010000010010010010010010010110110110110110110110110110111第一次累加100100JRy有进位， Y溢出1101100101101 JRy有进位， Y溢出0001000100X,Y同时溢出010110011X,Y同时无溢出1001001010Y溢出110010001Y溢出00010001000X,Y同时溢出JE=0，插补结束111加工轨迹如下：XOY12345A( 2 , 6 )612(三)数字积分圆弧插补如图所示，设加工半径为R的第一象限逆时针圆弧AB，坐标原点定在圆心上，A(Xo,Yo)为圆弧起点，B(Xe,Ye)为圆弧终点，Pi(Xi,Yi)为加工动点。XOYA(Xo,Yo)B(Xe,Ye)Pi(Xi,Yi) 如图所示，可以得到：V Vx Vy R Yi Xi 即Vx=K Yi，Vy=K Xi 因而可以得到坐标微小位移增量为： X=Vxt=KYit Y=Vyt =KXit 设t=1，K=1/2 则有： XOYA(Xo,Yo)B(Xe,Ye)Pi(Xi,Yi)RVVxVy= = KnX = 1/2i=1mYiY = 1/2i=1mXinn由可看出，用DDA法进行圆弧插补时，是对加工 动点的坐标Xi和Yi的值分别进行累加，若积分累加器有溢出，则相应坐标轴进给一步，则圆弧积分插补器如图所示：X = 1/2i=1mYiY = 1/2i=1mXinn圆弧积分插补器：J Vx(Y)(被积函数寄存器)+J Ry(累加器)J Rx(累加器)J Vy(X)(被积函数寄存器)+tXX轴溢出脉冲Y轴溢出脉冲Y例：设圆弧AB为第一象限逆圆弧，起点A（，0）,终点为B（0,），用DDA法加工圆弧AB。XOY1234512345l插补计算过程如下：累加次数(t）X积分器 JVx（Yi)JRy 溢出XY积分器 Jvy (Xi)JRx溢出YX终点计数器 备注012345000 000101101初始状态000 000000000001001001010010011101101101101101101101第一次累加000010Y溢出,修正Yi100001101111100X,Y无溢出010100011Y溢出修正Yi100001010Y溢出修正Yi11Y终点计数器 1011011011011101插补计算过程如下：累加次数(t）X积分器 JVx（Yi)JRy 溢出XY积分器 Jvy (Xi)JRx溢出YX终点计数器 备注67911011 111101010无溢出011 010110100100100101101101010101100100011011011001XY同时溢出,修正Xi,Yi010011011000XY同时溢出,Y到终点停止迭代100X溢出修正XiY终点计数器 101100010118110100 100 111无溢出1110111011 0111l插补计算过程如下：累加次数(t）X积分器 JVx（Yi)JRy 溢出XY积分器 Jvy (Xi)JRx溢出YX终点计数器 备注12 101 001010X溢出修正Xi101101001000Y终点计数器 00114011000 001113110001 001无溢出1X溢出修正XiX到达终点。结束插补。