第二章2.4抛物线2.4.1抛物线及其标准方程学习目标1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导.3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一抛物线的定义思考1平面内，到两定点距离相等的点的轨迹是什么？连接两定点所得线段的垂直平分线.答案思考2平面内，到两个确定平行直线l1，l2距离相等的点的轨迹是什么？一条直线.答案思考3到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是什么？抛物线.答案梳理梳理(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离 的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的 .(2)定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(即点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于11).准线相等焦点知识点二抛物线的标准方程思考抛物线的标准方程有何特点？(1)以方程的解为坐标的点在抛物线上；(2)对称轴为坐标轴；(3)p为大于0的常数，其几何意义表示焦点到准线的距离；(4)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称；(5)焦点、准线到原点的距离都等于 .答案梳理梳理由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：y22px(p0)，y22px(p0)，x22py(p0)，x22py(p0).现将这四种抛物线对应的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下：图形标准方程焦点坐标准线方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)题型探究类型一抛物线的定义及理解设动点M(x，y)，上式可看作动点M到原点的距离等于动点M到直线3x4y120的距离，所以动点M的轨迹是以原点为焦点，以直线3x4y120为准线的抛物线.A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.以上都不对答案解析设动点Q(x，y)，则有xxy，yxy，又有x2y21，即(xy)22xy1，所以x22y1，故Q(xy，xy)的轨迹所在的曲线是抛物线.(2)已知点P(x，y)在以原点为圆心的单位圆x2y21上运动，则点Q(xy，xy)的轨迹所在的曲线是_.(在圆、抛物线、椭圆、双曲线中选择一个作答)答案解析抛物线抛物线的判断方法(1)可以看动点是否符合抛物线的定义，即到定点的距离等于到定直线(直线不过定点)的距离.(2)求出动点的轨迹方程，看方程是否符合抛物线的方程.反思与感悟跟跟踪踪训训练练1平面上动点P到定点F(1，0)的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程.解答类型二抛物线标准方程及求解命题角度命题角度1抛物线的焦点坐标或准线方程的求解抛物线的焦点坐标或准线方程的求解答案解析根据抛物线方程求准线方程或焦点坐标时，应先把抛物线的方程化为标准方程，即等式左端是二次项且系数是1，等式右端是一次项，这样才能准确写出抛物线的准线方程.反思与感悟因为抛物线的焦点坐标为(1，0)，跟跟踪踪训训练练2(1)若抛物线y22px的焦点坐标为(1，0)，则p_；准线方程为_.2x1答案解析焦点坐标为(10，0)，准线方程为x10.(2)求下列抛物线的焦点坐标和准线方程.y240x；解答4x2y；解答3y25x；解答6y211x0.解答左顶点为(3，0)，p6，抛物线的方程为y212x.命题角度命题角度2求解抛物线的标准方程求解抛物线的标准方程例例3根据下列条件分别求抛物线的标准方程.(1)抛物线的焦点是双曲线16x29y2144的左顶点；解答设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y22px(p0)，A(m，3)，又(3)22pm，p1或p9，故所求抛物线方程为y22x或y218x.(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y3与抛物线交于点A，|AF|5.解答抛物线标准方程的求法(1)定义法：建立适当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p，最后写出标准方程.(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值.反思与感悟设抛物线方程为y22px(p0)，抛物线的焦点坐标为(2，0)，准线方程为x2.跟跟踪踪训训练练3已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M(3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程.解答类型三抛物线在实际生活中的应用例例4河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m、高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？解答反思与感悟涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解.跟跟踪踪训训练练4喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最高点B高5 m，且与OA所在的直线相距4 m，水流落在以O为圆心，半径为9 m的圆上，则管柱OA的长是多少？解答如图所示，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x22py(p0)，因为点C(5，5)在抛物线上，所以252p(5)，因此2p5，所以抛物线的方程为x25y，点A(4，y0)在抛物线上，所以管柱OA的长为1.8 m.当堂训练答案解析A.y1 B.y2 C.x1 D.x222334455112.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，2)到焦点的距离为4，则m的值为A.4 B.2 C.4或4 D.12或2由题可设抛物线的标准方程为 x2 2py(p0)，由定义知点 P到准线的距离 为 4， 故 24，p4，x2 8y.将 点 P的坐标代入 x2 8y，得m4.答案解析22334455112233445511因为抛物线上的动点到焦点的距离为动点到准线的距离，所以抛物线上的动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即 1，p2.3.若抛物线y22px(p0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p_.2答案解析4.若抛物线y22px(p0)的准线经过双曲线x2y21的一个焦点，则p_.2233445511答案解析5.已知M为抛物线y24x上一动点，F为抛物线的焦点，定点N(2，3)，则|MN|MF|的最小值为_.答案解析2233445511规律与方法3.对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题.