第一篇第一篇 复复 变变 函函 数数 论论复变函数复变函数微分和积分微分和积分泰勒展开和洛朗展开泰勒展开和洛朗展开留数定理留数定理傅立叶变换傅立叶变换拉普拉斯变换拉普拉斯变换1zyx11O第一章 复变函数复变函数代数表示代数表示: x ,y 为实数，i 为单位虚数，则且 x 为其实部，y 为虚部，记1.1. 复数复数为复数2且和主值复共轭又称为模模其它概念其它概念x 轴为实轴，y 轴为虚轴，构成复数平面复数 z 为此平面上的一点几何表示几何表示从几何上看，复数又是此平面上的一个矢量为矢量长度为幅角记3复数的运算复数的运算加法减法乘法除法幂（n整数）根逼近4测地投影和无限远点测地投影和无限远点如左图，一球的南极与复数平面的原点相切，平面上任意点 A 与球的北极由一条直线相连，直线与球相交于 A 。由此，每一有限的复数 投影到球上一点 。这个投影叫测地投影测地投影，这个球叫复数球复数球。所有的无穷大复数（平面上无限远点无限远点）投影到唯一的北极 N。故我们为方便，将无穷远点看作一个点。其模无穷大，幅角无意义。复数 z 是两个独立变量两个独立变量 (x, y) 的集合的集合。它在数值计算中是一个整体整体，服从通常的四则运算规则四则运算规则和虚单位虚单位的特殊规则；它可以看作具有两个独立分量两个独立分量的量来表示（矢量矢量）和计算。小结小结51.2. 复变函数复变函数比较与实变函数相对应的定义实函数：实函数：xx定义域、值域y=f(x)y=f(x)6复函数定义域值域7定义定义 在复平面上一点集 E 中每一点，都有一个或几个复数 与之对应，称 为 z 的函数，E 为定义域，记 定义域值域E8实函数：实函数：定义: 对于实数域中一区域 B 中的每一实数 x ，都有唯一的一个实数 y 与之对应。则称 y 为 x 的函数。 B为此函数的定义域，记 。连续，可微： n 次可微无限可微9邻域邻域区域区域 B 的内点的内点外点外点境界点境界点 境界线境界线区域区域内点组成的连通集合闭区域闭区域区域和境界线的全体全体境界点的集合不是内点，也不是外点的点。z 和它的邻域都不属于 B， 则 z 为 B 的外点。z 和它的邻域都属于 B， 则 z 为 B 的内点。复平面上圆 内点的集合 几个概念几个概念zzr区域10例多项式多项式有理分式有理分式根式根式指数函数指数函数三角函数三角函数双曲函数双曲函数对数函数对数函数幂函数幂函数11连续连续：或：视 z 为矢量这是平面上的矢量场可以设矢量函数121.3.1.3. 导数导数定义定义运算规则运算规则13复函数是一个二元函数（实部和虚部），复数空间又是个二元空间，故复函数类似于一个矢量场，其导数一般应与方向有关。可导：对任何方向的可导：对任何方向的 ，极限都，极限都存在存在并并唯一唯一。14可导：对任何方向的可导：对任何方向的 ，极限都，极限都存在存在并并唯一唯一。xyz复数0x实数因此，复函数的可导性是比实函数的可导性强的多的条件。15柯西柯西黎曼方程黎曼方程沿实轴沿虚轴可导可导，要求二者相等必要条件必要条件柯西柯西黎曼方程黎曼方程16必要条件必要条件可导的充分条件充分条件:的存在，连续且满足柯西柯西黎曼方程。黎曼方程。171.4.1.4. 解析函数解析函数在点点 解析解析，即在这点可导。为在区域 B 中解析函数，即在区域的点点解析。性质性质曲线族相互正交。即由柯西柯西黎曼方程黎曼方程两族曲线的梯度正交两族曲线正交(1)18已知 U 求 V当它们是某解析函数的实部和虚部可由 (1) 曲线积分 (2) 凑全微分显式 (3) 不定积分 求出满足拉普拉斯方程拉普拉斯方程由柯西柯西黎曼方程黎曼方程调和函数(2)19例例求解解: u 是调和函数;(1)二元函数的线积分，将来在热力学热力学中出现。全微分的积分与路径无关20(2)(3)视 x 为参量参量，对 y 积分求 满足的方程21小结 复变函数的导数的定义是实函数导数定义的自然推广。 复变函数的可导性是很强的要求，必要条件是柯西黎曼方程。充分条件是函数的实部与虚部的导数存在，连续并满足柯西黎曼方程。 解析函数是调和函数。22