5-35-3角动量守恒角动量守恒物理学物理学第五版第五版1m一一 质点对轴的角动量质点对轴的角动量 质点对定点的角动量质点对定点的角动量OO 质点对定轴的角动量质点对定轴的角动量.5-35-3角动量守恒角动量守恒物理学物理学第五版第五版2 质点对定轴的角动质点对定轴的角动量是质点对该轴上量是质点对该轴上任意一点角动量在任意一点角动量在轴方向的分量轴方向的分量mOOmOO 的方向符合右手法则的方向符合右手法则力对定轴的力矩力对定轴的力矩.5-35-3角动量守恒角动量守恒物理学物理学第五版第五版3 质点质点i以以 作半径为作半径为 的圆周运动，相对圆心的圆周运动，相对圆心二二 刚体对定轴的角动量刚体对定轴的角动量 刚体定轴转动的角动量：各质点对各自刚体定轴转动的角动量：各质点对各自转动中心的角动量之和。转动中心的角动量之和。.5-35-3角动量守恒角动量守恒物理学物理学第五版第五版4三三 定轴转动的角动量定理定轴转动的角动量定理 质点系质点系对定点对定点质点系质点系对定轴对定轴刚体对定轴刚体对定轴 当转轴给定时，当转轴给定时，作用在物体上的合外作用在物体上的合外力冲量矩等于角动量力冲量矩等于角动量的增量的增量定轴转定轴转动的角动量定理动的角动量定理.5-35-3角动量守恒角动量守恒物理学物理学第五版第五版5四四 定轴转动的角动量守恒定律定轴转动的角动量守恒定律，那，那么么假假设设=常量常量 如果物体所受的合外力矩等于零，或如果物体所受的合外力矩等于零，或者不受外力矩的作用，物体的角动量保持者不受外力矩的作用，物体的角动量保持不变不变角动量守恒定律角动量守恒定律 定律中涉及的外力矩、转动惯量和角动定律中涉及的外力矩、转动惯量和角动量都是对同一转轴而言的。量都是对同一转轴而言的。讨论讨论 可适用于任意质点系可适用于任意质点系.5-35-3角动量守恒角动量守恒物理学物理学第五版第五版6 守恒条件守恒条件假设假设 不变，不变， 不变；不变；假设假设 变，变， 也变，但也变，但 不变不变.J J 大大小小,J ,J 小小 大。大。 许多现象都可以许多现象都可以用角动量守恒来说明用角动量守恒来说明.花样滑冰花样滑冰跳水运动员跳水跳水运动员跳水.5-35-3角动量守恒角动量守恒物理学物理学第五版第五版7 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律角动量守恒定律是自然界的一个基本定律. 内力矩不改变系统的角动量内力矩不改变系统的角动量. 在冲击等问题中在冲击等问题中 常量常量适用范围适用范围: :惯性系惯性系, ,宏观、微观都适用。宏观、微观都适用。.5-35-3角动量守恒角动量守恒物理学物理学第五版第五版8解：取人和转台为系统，则解：取人和转台为系统，则人走动时，系统角动量守恒人走动时，系统角动量守恒为什么？）为什么？）例例1 1 静止水平转台边缘上一质量为静止水平转台边缘上一质量为m m的人，当的人，当人沿边缘以速率人沿边缘以速率v v行走时，问转台的角速度为多行走时，问转台的角速度为多大？设转台绕通过转台中心的铅直轴转动，转大？设转台绕通过转台中心的铅直轴转动，转动惯量为动惯量为J0J0，半径为，半径为R R.5-35-3角动量守恒角动量守恒物理学物理学第五版第五版9 设平台角速度为设平台角速度为，人相对转轴角速度为，人相对转轴角速度为其中其中（负号意义）（负号意义）.5-35-3角动量守恒角动量守恒物理学物理学第五版第五版10例例2 2 一静止的均匀细棒长为一静止的均匀细棒长为l l ，质量为，质量为m m，可，可绕通过棒的端点且垂直于棒长的光滑固定轴在绕通过棒的端点且垂直于棒长的光滑固定轴在水平面内转动，转动惯量为水平面内转动，转动惯量为 ，一质量为，一质量为m m，速度为速度为v的子弹在水平的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向面内沿与棒垂直的方向射入杆另一端后，穿出射入杆另一端后，穿出的速率为的速率为 ，则此时，则此时棒的角速度应为（棒的角速度应为（ ）.5-35-3角动量守恒角动量守恒物理学物理学第五版第五版11解解1 1）：）：子弹与棒组成的系统角动量子弹与棒组成的系统角动量( (对对o o轴轴) )守恒守恒动量守恒？动量守恒？ 子弹射入细杆子弹射入细杆, ,使使细杆获得初速度。因这一细杆获得初速度。因这一过程进行得很快过程进行得很快, ,细杆发生细杆发生偏转极小偏转极小, ,可认为杆仍处于可认为杆仍处于原位置，没有移动。原位置，没有移动。.5-35-3角动量守恒角动量守恒物理学物理学第五版第五版12求：任意位置时，轴给细棒的作用力求：任意位置时，轴给细棒的作用力设任意位置时，细棒角速度为设任意位置时，细棒角速度为，角加速度为，角加速度为，设轴给细棒的作用力为设轴给细棒的作用力为 Fn Fn， Ft Ft解：解：.5-35-3角动量守恒角动量守恒物理学物理学第五版第五版13在碰撞过程中，细棒既具有在碰撞过程中，细棒既具有极大的加速度，同时角速度极大的加速度，同时角速度也不为零，所以受到轴施加也不为零，所以受到轴施加法向和切向两个作用力，动法向和切向两个作用力，动量不守恒。量不守恒。子弹射入竖直面内杆时，根子弹射入竖直面内杆时，根据相似的分析，动量不守恒据相似的分析，动量不守恒子子弹弹击击入入杆杆.5-35-3角动量守恒角动量守恒物理学物理学第五版第五版14解解2 2）：子弹为研究对象）：子弹为研究对象以棒为研究对象以棒为研究对象解得解得.5-35-3角动量守恒角动量守恒物理学物理学第五版第五版15 例例3 质量很小长度为质量很小长度为l 的均匀细杆，可的均匀细杆，可绕过其中心绕过其中心 O并与纸面垂直的轴在竖直平面并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动当细杆静止于水平位置时，有一只内转动当细杆静止于水平位置时，有一只小虫以速率小虫以速率 垂直落在距点垂直落在距点O为为 l/4 处，并背处，并背离点离点O 向细杆的端点向细杆的端点A 爬行设小虫与细杆爬行设小虫与细杆的质量均为的质量均为m问：欲使细杆以恒定的角速问：欲使细杆以恒定的角速度转动，小虫应以多大速率向细杆端点爬行度转动，小虫应以多大速率向细杆端点爬行?l/4O.5-35-3角动量守恒角动量守恒物理学物理学第五版第五版16解虫与杆的解虫与杆的碰撞前后，系统角碰撞前后，系统角动量守恒动量守恒.5-35-3角动量守恒角动量守恒物理学物理学第五版第五版17由角动量定理由角动量定理考虑到考虑到得得此即小虫需具有的爬行速率此即小虫需具有的爬行速率.5-35-3角动量守恒角动量守恒物理学物理学第五版第五版18 判断下列分析是否正确判断下列分析是否正确1、细杆和小虫组成的系统，受、细杆和小虫组成的系统，受到小虫的重力矩根据转动定律到小虫的重力矩根据转动定律:O2、细杆受到小虫的正、细杆受到小虫的正压力矩，根据转动定律压力矩，根据转动定律细杆不可能以恒定的角细杆不可能以恒定的角速度转动。速度转动。O系统不可能以恒定的角速度转动。系统不可能以恒定的角速度转动。.5-35-3角动量守恒角动量守恒物理学物理学第五版第五版19O小虫在运动中，垂直于杆的分速度的大小小虫在运动中，垂直于杆的分速度的大小和方向都在改变，因此存在垂直于杆的加和方向都在改变，因此存在垂直于杆的加速度，详细的计算表明速度，详细的计算表明N=0.5-35-3角动量守恒角动量守恒物理学物理学第五版第五版20小结：刚体定轴转动中几个应注意的问题。小结：刚体定轴转动中几个应注意的问题。（1 1刚体运动规律区别于质点运动规律，刚体运动规律区别于质点运动规律，切莫混为一谈！切莫混为一谈！（3 3注意注意“转轴转轴”（4 4系统中质点、刚体同时存在，应分别讨论系统中质点、刚体同时存在，应分别讨论（2 2动量守恒区别于角动量守恒规律，切动量守恒区别于角动量守恒规律，切莫混为一谈！莫混为一谈！.5-35-3角动量守恒角动量守恒物理学物理学第五版第五版21 例例4一杂技演员一杂技演员M由距水平跷板高为由距水平跷板高为h 处自由下落到跷板的一端处自由下落到跷板的一端A，并把跷板另一，并把跷板另一端的演员端的演员N弹了起来问演员弹了起来问演员N可弹起多高可弹起多高?ll/2CABMNh.5-35-3角动量守恒角动量守恒物理学物理学第五版第五版22设跷板是匀质的，长度为设跷板是匀质的，长度为l，质量为，质量为 ，跷板可绕中部支撑点跷板可绕中部支撑点C 在竖直平面内转动，在竖直平面内转动，演员的质量均为演员的质量均为m假定演员假定演员M落在跷板上，落在跷板上，与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞解碰撞前解碰撞前M落在落在 A点的速度点的速度碰撞后的瞬间，碰撞后的瞬间，M、N具有相同的线速度具有相同的线速度.5-35-3角动量守恒角动量守恒物理学物理学第五版第五版23M、N和跷板组成的系统，角动量守恒ll/2CABMNh.5-35-3角动量守恒角动量守恒物理学物理学第五版第五版24解得解得演员演员N以以u起跳，达到的高度：起跳，达到的高度：.5-45-4转动中的功和能转动中的功和能物理学物理学第五版第五版25一力矩作功一力矩作功 比较比较角量表示的力角量表示的力作功的形式作功的形式.5-45-4转动中的功和能转动中的功和能物理学物理学第五版第五版26二力矩的功率二力矩的功率比较比较三转动动能三转动动能刚体转动动能，应该是刚体的所有质点刚体转动动能，应该是刚体的所有质点的转动能能之和的转动能能之和.5-45-4转动中的功和能转动中的功和能物理学物理学第五版第五版27四刚体绕定轴转动的动能定理四刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理A内力矩内力矩？合外力矩对刚体所作的功，合外力矩对刚体所作的功， 等于刚体转动动等于刚体转动动能的增量。能的增量。对于刚体来说，因质点间无相对位移，任何对于刚体来说，因质点间无相对位移，任何一对内力作功为零一对内力作功为零.5-45-4转动中的功和能转动中的功和能物理学物理学第五版第五版28刚刚体体的的重重力力势势能能是是组组成成刚刚体体的各个质点的重力势能之和的各个质点的重力势能之和质心高度质心高度一个不太大刚体的重力势能，相当于它的全一个不太大刚体的重力势能，相当于它的全部质量都集中在质心时所具有的势能。部质量都集中在质心时所具有的势能。五五. . 刚体的重力势能刚体的重力势能刚体的机械能刚体的机械能.5-45-4转动中的功和能转动中的功和能物理学物理学第五版第五版29六、机械能守恒六、机械能守恒功功能能原原理理、机机械械能能守守恒恒定定律律在在刚刚体体运运动动的的情情况下仍然适用。况下仍然适用。对于含有刚体的系统对于含有刚体的系统, ,如果在运动过程中只有如果在运动过程中只有保守内力作功保守内力作功, ,则此系统的机械能守恒。则此系统的机械能守恒。刚体的势能刚体的势能其他质点系统的势能其他质点系统的势能刚体的动能刚体的动能其他质点系统的动能其他质点系统的动能.5-45-4转动中的功和能转动中的功和能物理学物理学第五版第五版30以子弹和沙袋为系统以子弹和沙袋为系统动量守恒；动量守恒；角动量守恒；角动量守恒；机械能不守恒机械能不守恒 .讨讨 论动量，角动量，机械能是否守恒论动量，角动量，机械能是否守恒子子弹弹击击入入沙沙袋袋细细绳绳质质量量不不计计.5-45-4转动中的功和能转动中的功和能物理学物理学第五版第五版31子子弹弹击击入入杆杆以子弹和杆为系统以子弹和杆为系统机械能不守恒机械能不守恒角动量守恒；角动量守恒；动量不守恒；动量不守恒；.5-45-4转动中的功和能转动中的功和能物理学物理学第五版第五版32圆圆锥锥摆摆圆锥摆系统圆锥摆系统动量不守恒；动量不守恒；角动量守恒；角动量守恒；机械能守恒机械能守恒.5-45-4转动中的功和能转动中的功和能物理学物理学第五版第五版33 例例1 一长为一长为 l , 质量为质量为m 的竿可绕支点的竿可绕支点O自由转动一自由转动一质量为质量为m、速率为、速率为v 的子弹的子弹射入竿内距支点为射入竿内距支点为a 处，使竿处，使竿的偏转角为的偏转角为30o . 问子弹的初问子弹的初速率为多少速率为多少?解子弹、竿组成一系统，应用角动量守恒解子弹、竿组成一系统，应用角动量守恒.5-45-4转动中的功和能转动中的功和能物理学物理学第五版第五版34 射入竿后，以子弹、细射入竿后，以子弹、细杆和地球为系统，杆和地球为系统，E =E =常量常量解得：解得：.5-45-4转动中的功和能转动中的功和能物理学物理学第五版第五版35（1滑轮的角速度；滑轮的角速度；（2滑轮的角速度为零时，物体上升的高度；滑轮的角速度为零时，物体上升的高度；（3物体回到原来的位置时，定滑轮的角速度。物体回到原来的位置时，定滑轮的角速度。mMR 例例2一轴承光滑的定滑轮，质量为一轴承光滑的定滑轮，质量为M=2kg、半径为、半径为R=0.1m,一不能伸一不能伸长的轻绳，一端固定在滑轮边上，长的轻绳，一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量定滑轮的为另一端挂一质量定滑轮的为m=5kg的物体。已知转动惯量为的物体。已知转动惯量为 ；其初角速度为其初角速度为0=10rad/s,方向垂方向垂直纸面向里。求：直纸面向里。求：.5-45-4转动中的功和能转动中的功和能物理学物理学第五版第五版36解解（1 1）mMR .5-45-4转动中的功和能转动中的功和能物理学物理学第五版第五版37mMR （2）（3）.5-45-4转动中的功和能转动中的功和能物理学物理学第五版第五版38又解又解2 2）：据机械能守恒定律：）：据机械能守恒定律：解得解得.5-45-4转动中的功和能转动中的功和能物理学物理学第五版第五版441.刚体角动量守恒的充分而必要的条件是刚体角动量守恒的充分而必要的条件是（A刚体不受外力矩的作用。刚体不受外力矩的作用。（B刚体所受合外力矩为零。刚体所受合外力矩为零。（C刚体所受的合外力和合外力矩均为零。刚体所受的合外力和合外力矩均为零。（D刚体的转动惯量和角速度均保持不变。刚体的转动惯量和角速度均保持不变。 .5-45-4转动中的功和能转动中的功和能物理学物理学第五版第五版452. 一个人站在有光滑固定转轴的转动平台上，一个人站在有光滑固定转轴的转动平台上，双臂水平地举二哑铃。在该人把此二哑铃水双臂水平地举二哑铃。在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中，人、哑铃与转动平平收缩到胸前的过程中，人、哑铃与转动平台组成的系统的台组成的系统的（A机械能守恒，角动量守恒机械能守恒，角动量守恒（B机械能守恒，角动量不守恒。机械能守恒，角动量不守恒。（C机械能不守恒，角动量守恒。机械能不守恒，角动量守恒。（D机械能不守恒，角动量也不守恒机械能不守恒，角动量也不守恒 .5-45-4转动中的功和能转动中的功和能物理学物理学第五版第五版46练习练习 一根长为一根长为l l、质量为、质量为m m的均匀细直棒，其的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆此下摆角时的角加速度和中点角时的角加速度和中点C C和端点和端点A A的速的速度角速度。度角速度。O CA以下解法对吗？以下解法对吗？求出求出作业：作业：1011冬季学期大学物理一刚冬季学期大学物理一刚体定轴转动习题体定轴转动习题 5，8，9，10.5-45-4转动中的功和能转动中的功和能物理学物理学第五版第五版47XO 解：棒下摆为加速过程，解：棒下摆为加速过程，外力矩为重力对外力矩为重力对O O的力的力矩。当棒处在下摆矩。当棒处在下摆角角时，重力矩为：时，重力矩为：.5-45-4转动中的功和能转动中的功和能物理学物理学第五版第五版48XO .物理学物理学第五版第五版49直线运动与定轴转动规律对照直线运动与定轴转动规律对照质点的直线运动质点的直线运动刚体的定轴转动刚体的定轴转动定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律.