3.2 3.2 图形的全等图形的全等第三章第三章 三角形三角形 通过观察我们发现，这些图形中通过观察我们发现，这些图形中有些是完全一样的，如果把它们叠在有些是完全一样的，如果把它们叠在一起，它们就能重合一起，它们就能重合. .能够完全重合的两个图形称为全等图形能够完全重合的两个图形称为全等图形. .大小大小不同不同 观察下面两组图形，它们是不是全等图观察下面两组图形，它们是不是全等图形？为什么？形？为什么？形状形状不同不同 如果两个图形全等，它们的形状和大小一如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相同定都相同.找出下列图形中的全等图形找出下列图形中的全等图形 沿图形中的虚线，分别把下面图形划分为两个沿图形中的虚线，分别把下面图形划分为两个全等图形全等图形. . 沿图形中的虚线，分别把下面图形划分为两个沿图形中的虚线，分别把下面图形划分为两个全等图形全等图形. .与图与图1 1所示图形全等的图形是所示图形全等的图形是图1ABCD将图将图2 2绕绕A A点顺时针转点顺时针转9090所得到的图形是所得到的图形是图2DABCABC我们把能完全重合的三角形叫做全等三角形我们把能完全重合的三角形叫做全等三角形. . 你能找到图中的对应边你能找到图中的对应边和对应角吗？和对应角吗？A AB BC CD DE EF F对应边：对应边：ABAB与与DE,ACDE,AC与与DF,BCDF,BC与与EFEF对应角：对应角：A A 与与D, D, BB与与E ,E ,CC与与F F三角形全等的表示方法三角形全等的表示方法: : ABCDEFABCDEFA AB BC CD DE EF F注意：注意：要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等, ,对应角相等对应角相等你能将一个等边三角形分你能将一个等边三角形分成两个全等三角形吗？成两个全等三角形吗？能把它分成三个能把它分成三个, ,四个四个全等三角形吗？全等三角形吗？你能将一个等边三角形分你能将一个等边三角形分成两个全等三角形吗？成两个全等三角形吗？能把它分成三个能把它分成三个, ,四个四个全等三角形吗？全等三角形吗？你能将一个等边三角形分你能将一个等边三角形分成两个全等三角形吗？成两个全等三角形吗？能把它分成三个能把它分成三个, ,四个四个全等三角形吗？全等三角形吗？已知：已知：ABCADCABCADC与与BCBC对应的线段：对应的线段：_与与ADAD对应的线段：对应的线段：_与与ACAC对应的线段对应的线段:_:_与与ACBACB对应的角对应的角:_:_与与B B对应的角：对应的角：_与与 BACBAC对应的角对应的角:_:_D DC CB BA ADCDCABABACACACDACDDDDACDAC已知：已知：ACEDFBACEDFB则：则：对应角有对应角有: :_ 对应边有对应边有:_:_A AC CB BD DE EF FACAC与与DF,AEDF,AE与与DB,CEDB,CE与与FBFBA A 与与D, CD, C与与F, AECF, AEC与与DBFDBF如图如图:AODBOC,:AODBOC,写出其中相等的角写出其中相等的角A AD DC CB BO O解：解：A=BA=B D=C D=C DOA=COB DOA=COB 如图，已知如图，已知ABDACEABDACE，B=CB=C，ADB=AECADB=AEC，请用等式表示其它的对应边和，请用等式表示其它的对应边和对应角对应角. .A AB BC CD DE EAB=ACAB=ACAD=AEAD=AEBD=CEBD=CEBAD=CAEBAD=CAE 若若 ABEACDABEACD，B=CB=C，ADC=AEBADC=AEB，请用等式表示其它的对应边和对应角请用等式表示其它的对应边和对应角. . A AB BC CD DE EAB=ACAB=ACAE=ADAE=ADBE=CDBE=CDBAE=CADBAE=CAD如图如图:ABCAEC, B=30:ABCAEC, B=30, ACB=85, ACB=85, ,求出求出AECAEC各内角的度数各内角的度数. .A AB BC CE E解：解：因为因为AECABCAECABC 所以所以E=B=30E=B=30 ACE=ACB=85 ACE=ACB=85 EAC=BAC=180 EAC=BAC=180-30-30-85-85=65=65如图如图,ABCDEF,C=25,ABCDEF,C=25,BC=6cm,AC=4cm ,BC=6cm,AC=4cm , ,你能得出你能得出DEFDEF中哪些角的大小中哪些角的大小, ,哪些边的长度哪些边的长度? ?A AB BC CD DE EF F 因为因为DEFABCDEFABC 所以所以F=C=25F=C=25 EF=BC=6cm EF=BC=6cm DF=AC=4cm DF=AC=4cm解：解：如图如图,ABCDEF,ABCDEF,求证求证:AD=BE:AD=BE B BA AE EF FC CD D因为因为ABCDEFABCDEF所以所以AB=DEAB=DEAB-BD=DE-BDAB-BD=DE-BD即即AD=BEAD=BE证明：证明： 如图如图,ABCEBD,ABCEBD,问问1 1与与2 2相等吗相等吗? ?若若相等请证明相等请证明, ,若不相等说出为什么若不相等说出为什么? ? B BA AE E2 21 1F FC CD DO O分析：分析： 1 1与与2 2分别在分别在AOFAOF与与EOBEOB中，显而中，显而易见易见AOFAOF与与EOBEOB是是对顶角，而对顶角，而A A与与E E是是ABCABC与与EBDEBD的对应的对应角，可由三角形内角和得到角，可由三角形内角和得到1 1与与2 2相等相等. . 如图如图,ABCEBD,ABCEBD,问问1 1与与2 2相等吗相等吗? ?若若相等请证明相等请证明, ,若不相等说出为什么若不相等说出为什么? ? B BA AE E2 21 1F FC CD DO O解：解：因为因为EBDABCEBDABC 所以所以A=EA=E 在在AOFAOF与与EOBEOB中，中， AOF=EOBAOF=EOB 根据三角形内角和为根据三角形内角和为180180 所以所以 1=21=2 如图如图, ,若若ABCEFC,ABCEFC,点点B B、C C、E E在同一条直线在同一条直线上，且上，且CF=3cm, CF=3cm, CE=7cm,CE=7cm, EFC=64EFC=64, ,则则BC=_cm, BC=_cm, AC=_cm,AC=_cm, B=_.B=_. B BA AE EF FC C3 36464 你还能求出哪些边的长度你还能求出哪些边的长度, ,哪些角的度数哪些角的度数? ?7 7AF=4cmAF=4cmACB=ECF= 90ACB=ECF= 90A= A= E=26E=26 已知：已知：MNPABCMNPABC，MN=ABMN=AB，MP=ACMP=AC，MPN=35MPN=35，CAB=40CAB=40, ,则则ABC=_ABC=_，M=_.M=_.分析：分析：本题没有图，可以从两个角度出本题没有图，可以从两个角度出 发，一个是根据题意作图，另一个就是发，一个是根据题意作图，另一个就是找到对应顶点找到对应顶点. . 已知：已知：MNPABCMNPABC，MN=ABMN=AB，MP=ACMP=AC，MPN=35MPN=35，CAB=40CAB=40, ,则则ABC=_ABC=_，M=_.M=_.思路：思路：由已知由已知MN=ABMN=AB，MP=ACMP=AC，可以得到对应顶点，可以得到对应顶点分别是分别是M M与与A A，N N与与B,PB,P与与C.C. 由此可得：由此可得： M=CAB=40M=CAB=40,ACB=MPN=35,ACB=MPN=35所以所以ABC=180ABC=180-CAB-ACB=105-CAB-ACB=1051051054040如图：如图：ADCBFEADCBFE，E=CE=C，AB=7AB=7，DF=3DF=3，求，求AFAF的长？的长？A AB BC CE EF FD DA AB BC CE EF FD D解：解：ADCBFEADCBFE，E=CE=CAD=BFAD=BFAD-DF=BF-DFAD-DF=BF-DF即即AF=BDAF=BD又又 AF+BD=AB-DF=7-3=4(cm)AF+BD=AB-DF=7-3=4(cm)AF=BDAF=BD2cm2cm 如图，如图， ABEDCFABEDCF ，A=DA=D，BF=7cmBF=7cm，CF=3cmCF=3cm，求，求EFEF的长的长. .A AB BE EF FD DC C解：解： ABEDCFABEDCF ，A=DA=DBE=CF=3cmBE=CF=3cmEF=BF-BE=4cmEF=BF-BE=4cm 如图如图ABFDCEABFDCE ，在三角形对应边，在三角形对应边和对应角以外，你还能得到什么结论？和对应角以外，你还能得到什么结论？AE=DFAE=DF分析：分析：ABFDCEABFDCEAF=DEAF=DEAF-EF=DE-EFAF-EF=DE-EF即即AE=DFAE=DF 如图如图ABFDCEABFDCE ，在三角形对应边，在三角形对应边和对应角以外，你还能得到什么结论？和对应角以外，你还能得到什么结论？分析：分析：ABFDCEABFDCE AFB=DECAFB=DEC AEC=DFBAEC=DFB( (等角的补角相等等角的补角相等) )AEC=DFBAEC=DFB 如图如图ABFDCEABFDCE ，在三角形对应边，在三角形对应边和对应角以外，你还能得到什么结论？和对应角以外，你还能得到什么结论？分析：分析：ABFDCEABFDCEA=DA=D，AFB=DECAFB=DEC ABCDABCD， BFCEBFCE（内错角相等，两直线平行）（内错角相等，两直线平行）ABCDABCDBFCEBFCE一你能把下面的这个平行四边形一你能把下面的这个平行四边形 1 1分成两个全等的图形吗？分成两个全等的图形吗？一你能把下面的这个平行四边形一你能把下面的这个平行四边形分成四个全等的图形吗？分成四个全等的图形吗？一你能把下面的这个平行四边形一你能把下面的这个平行四边形分成三个全等的图形吗？分成三个全等的图形吗？1.1.图形的全等概念图形的全等概念2.2.三角形全等的性质三角形全等的性质能够完全重合的两个图形称为全等图形能够完全重合的两个图形称为全等图形. .我们把能完全重合的三角形叫做全等三角形我们把能完全重合的三角形叫做全等三角形. .全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等, ,对应角相等对应角相等. .