第六章第六章 微分学基本定理及其应用微分学基本定理及其应用6.1 中值定理中值定理一、罗尔定理一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理三、柯西中值定理一、罗尔一、罗尔(Rolle)(Rolle)定理定理费马引理费马引理 设函数设函数f( (x) )在点在点 的某领域的某领域 内有定义，并且内有定义，并且在在 处可导，如果对任意的处可导，如果对任意的 ，有，有那么那么证证 不妨设不妨设 时，时， （如果（如果可类似的证明）可类似的证明）. . 于是，对于于是，对于 ，有，有从而当从而当 时，时，当当 时时根据函数根据函数f ( (x) )在在 可导的条件极限的保号性，便得到可导的条件极限的保号性，便得到所以所以几何解释几何解释: :例如例如, ,证证例例例例上例说明罗尔定理的条件是结论成立的充分条件上例说明罗尔定理的条件是结论成立的充分条件, 但不但不是必要条件是必要条件.2) 罗尔定理的结论中罗尔定理的结论中 不是唯一的不是唯一的. .1) 罗尔定理的三个条件对于结论的成立都是重要的罗尔定理的三个条件对于结论的成立都是重要的.关于罗尔定理的几点说明关于罗尔定理的几点说明3) 将将罗尔定理的条件罗尔定理的条件1.2.1.2.换为换为 a, ,b b 上可导上可导, ,结论仍成立结论仍成立. .例例1 1证证由介值定理由介值定理即为方程的小于即为方程的小于1的正实根的正实根.矛盾矛盾,二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)(Lagrange)中值定理中值定理几何解释几何解释: :证证 分析分析: :弦弦AB方程为方程为作辅助函数作辅助函数注意注意: :拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系数在这区间内某点处的导数之间的关系. .拉格朗日中值定理又称拉格朗日中值定理又称有限增量定理有限增量定理. .拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式. .拉格朗日中值公式的几种表达形式拉格朗日中值公式的几种表达形式推论推论例例2 2证证例例3 3证证由上式得由上式得三、柯西三、柯西(Cauchy)(Cauchy)中值定理中值定理几何解释几何解释: :证证作辅助函数作辅助函数例例4 4证证分析分析: : 结论可变形为结论可变形为定义定义6.2 6.2 洛必达法则洛必达法则定理定理定义定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. .证证 定义辅助函数定义辅助函数则有则有注注：例例1 1解解例例2 2解解例例3 3解解例例4 4解解例例5 5解解注意：注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好求极限方法结合使用，效果更好. .例例6 6解解例例7 7解解关键关键: :将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型 . .步骤步骤: :例例8 8解解步骤步骤: :步骤步骤: :例例9 9 求求解解 设设 取对数得取对数得例例1010解解例例1111解解例例1212解解洛必达法则失效洛必达法则失效.注意：注意：洛必达法则的使用条件洛必达法则的使用条件泰勒公式泰勒公式主要是用多项式近似代替函数主要是用多项式近似代替函数, ,且误差可由公式表且误差可由公式表示出来示出来. .这样对精确度要求较高且需要估计误差的情形就可这样对精确度要求较高且需要估计误差的情形就可用高次多项式来近似表示函数用高次多项式来近似表示函数, ,同时给出误差公式同时给出误差公式. .6.3 6.3 泰勒公式泰勒公式在利用微分作近似计算时在利用微分作近似计算时(当当 时时)不足不足: :问题问题: :1 1、精确度不高；、精确度不高； 2 2、误差不能估计、误差不能估计. .问题的提出问题的提出将求得的系数将求得的系数 a0, ,a1, ,a2,an代入代入(1)(1)式式, ,有有(2)来来近近似似表表达达f( (x),),要要求求Pn n( (x) )与与f( (x) )之之差差是是比比( (x- -x0 0) )n高高阶阶的的无无穷小穷小, ,并给出误差并给出误差| |f( (x)- )- Pn n( (x)|)|的具体表达式的具体表达式. .设函数设函数f( (x) )在含有在含有x0 0的开区间内具有直到的开区间内具有直到(n+1)(n+1)阶导数阶导数, ,试找出试找出一个关于一个关于( (x- -x0 0) )的的n n次多项式次多项式(1)假设假设Pn n( (x) )与与f( (x) )在点在点x0 0的函数值及它的直到的函数值及它的直到n n阶导数都相等得阶导数都相等得证明证明: :()则由上式得则由上式得拉格朗日形式的余项拉格朗日形式的余项注注: : 1)1)在不需要余项的精确表达式时，在不需要余项的精确表达式时，n n 阶泰勒公式也可阶泰勒公式也可 写成写成(5)(5)麦克劳林麦克劳林( (Maclaurin) )公式公式解解代入公式代入公式, ,得得由公式可知由公式可知估计误差估计误差其误差其误差 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式解解原式原式例例3 3 利用带有佩亚若型余项的麦克劳林公式，求极限利用带有佩亚若型余项的麦克劳林公式，求极限 解解 由于分式的分母由于分式的分母所以，用带有佩亚若型余项的三阶麦克劳林公式，即所以，用带有佩亚若型余项的三阶麦克劳林公式，即6.4 导数在研究函数上的应用导数在研究函数上的应用一、函数单调性的判定法一、函数单调性的判定法二、曲线的凹凸性与拐点二、曲线的凹凸性与拐点定理定理1 1一、函数单调性的判定法一、函数单调性的判定法证证应用拉氏定理应用拉氏定理,得得 例例1 1解：解：例例2 2解解注意注意: :函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性来判别一个区间上的单调性问题问题: :如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调个部分区间上单调定义定义: :若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的区间称为函数的单调区间单调区间. .导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点方法方法: :例例3 3解解单调区间为单调区间为例例4 4解解单调区间为单调区间为例例5 5证证注意注意: :区间内个别点导数为零区间内个别点导数为零, ,不影响区间的单调性不影响区间的单调性. .例如例如, ,例例6 6 证明：当证明：当x11时时，证证 令令 则则问题问题: :如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向? ?图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方图形上任意弧段位图形上任意弧段位 于所张弦的下方于所张弦的下方二、曲线的凹凸性与拐点二、曲线的凹凸性与拐点定义定义定理定理2 2例例7 7解解注意到注意到, ,注意注意: :拐点处的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. .拐点的求法拐点的求法证证拐点的概念拐点的概念方法方法1:1:例例8 8解解凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点方法方法2:2:例例9 9解解注意注意: :例例1010解解 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值一、函数的极值及其求法一、函数的极值及其求法二、最大值最小值问题二、最大值最小值问题一、函数极值及其求法一、函数极值及其求法定义定义定理定理1 1( (必要条件必要条件) )定义定义注意注意: :函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值, ,使函数取得极值的使函数取得极值的点称为点称为极值点极值点. .定理定理2 2( (第一充分条件第一充分条件) )(是极值点情形是极值点情形)求极值的步骤求极值的步骤: :( (不是极值点情形不是极值点情形) )例例1 1解解列表讨论列表讨论极极大大值值极极小小值值定理定理3 3( (第二充分条件第二充分条件) )证证同理可证同理可证(2).(2).例例2 2解解注意注意: :函数的不可导点函数的不可导点, ,也可能是函数的极值点也可能是函数的极值点. .二、最大值最小值问题二、最大值最小值问题步骤步骤: :1.1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点; ;注意注意: :如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值则这个极值就是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)2 2 设设f(x)在在(a,b)内的驻点为内的驻点为 x1, x2, xn, 则比较则比较f(a), f(x1), , f(xn), f(b)的的大小大小, ,其中最大的便是其中最大的便是f(x)在在a,b上的上的最大值最大值, 最小的便是最小的便是f(x)在在a,b上的最小值上的最小值例例3 3解解计算计算比较得比较得例例4 4 把一根直径为把一根直径为dh和宽和宽b应如何选择才能使梁的应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大抗弯截面模量最大. .解解 由力学分析知道：矩形梁的抗弯截面模量为问题由力学分析知道：矩形梁的抗弯截面模量为问题由图看出，由图看出，b b与与h h有下面的关系：有下面的关系：因而因而解得解得由于梁的最大抗弯截面模量一定存在，而且在（由于梁的最大抗弯截面模量一定存在，而且在（0 0，d）内部取得；现在，内部取得；现在， 在（在（0 0，d) )内只有一个根内只有一个根当当 时，时，w的值最大，这时，的值最大，这时，实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意: :(1)(1)建立目标函数建立目标函数; ;(2)(2)求最值求最值; ;利用函数特性描绘函数图形利用函数特性描绘函数图形. .第一步第一步第二步第二步 函数图形的描绘函数图形的描绘第三步第三步第四步第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势及其他变化趋势; ;第五步第五步例例1 1解解非奇非偶函数非奇非偶函数,且无对称性且无对称性.列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间, ,凹凸区间及极值点和拐点凹凸区间及极值点和拐点: :不存在不存在拐点拐点极值点极值点间间断断点点作图作图例例2 2解解偶函数偶函数, ,图形关于图形关于y轴对称轴对称. .拐点拐点极大值极大值列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间, ,凹凸区间及极值点与拐点凹凸区间及极值点与拐点: :拐点拐点例例3 3解解无奇偶性及周期性无奇偶性及周期性. .列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间, , 凹凸区间及极值点凹凸区间及极值点与拐点与拐点: :拐点拐点极大值极大值极小值极小值