电力拖动自动控制系统第六章（第六章（3）主讲教师：解小华学时：主讲教师：解小华学时：64646-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 本节提要本节提要问题的提出问题的提出异步电动机动态数学模型的性质异步电动机动态数学模型的性质三相异步电动机的多变量非线性数学模型三相异步电动机的多变量非线性数学模型坐标变换和变换矩阵坐标变换和变换矩阵三相异步电动机在两相坐标系上的数学模型三相异步电动机在两相坐标系上的数学模型三相异步电动机在两相坐标系上的状态方程三相异步电动机在两相坐标系上的状态方程问题的提出问题的提出 前节论述的基于稳态数学模型的异步电前节论述的基于稳态数学模型的异步电机调速系统虽然能够在一定范围内实现平机调速系统虽然能够在一定范围内实现平滑调速，但是，如果遇到轧钢机、数控机滑调速，但是，如果遇到轧钢机、数控机床、机器人、载客电梯等需要高动态性能床、机器人、载客电梯等需要高动态性能的调速系统或伺服系统，就不能完全适应的调速系统或伺服系统，就不能完全适应了。要实现高动态性能的系统，必须首先了。要实现高动态性能的系统，必须首先认真研究异步电机的动态数学模型。认真研究异步电机的动态数学模型。 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换一、异步电动机动态数学模型的性质一、异步电动机动态数学模型的性质1. 1. 直流电机数学模型的性质直流电机数学模型的性质 直流电机的磁通由励磁绕组产生，可以在直流电机的磁通由励磁绕组产生，可以在电枢合上电源以前建立起来而不参与系统的电枢合上电源以前建立起来而不参与系统的动态过程（弱磁调速时除外），因此它的动动态过程（弱磁调速时除外），因此它的动态数学模型只是一个单输入和单输出系统态数学模型只是一个单输入和单输出系统。直流电机直流电机模型模型Udn 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换l 直流电机模型变量和参数直流电机模型变量和参数输入变量输入变量电枢电压电枢电压 Ud ；输出变量输出变量转速转速 n ；控制对象参数：控制对象参数：p机电时间常数机电时间常数 Tm ；p电枢回路电磁时间常数电枢回路电磁时间常数 Tl ；p电力电子装置的滞后时间常数电力电子装置的滞后时间常数 Ts 。 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换l 控制理论和方法控制理论和方法 在工程上能够允许的一些假定条件下，可在工程上能够允许的一些假定条件下，可以描述成单变量（单输入单输出）的三阶以描述成单变量（单输入单输出）的三阶线性系统，完全可以应用经典的线性控制线性系统，完全可以应用经典的线性控制理论和由它发展出来的工程设计方法进行理论和由它发展出来的工程设计方法进行分析与设计。分析与设计。 但是，同样的理论和方法用来分析与设但是，同样的理论和方法用来分析与设计交流调速系统时，就不那么方便了，因计交流调速系统时，就不那么方便了，因为交流电机的数学模型和直流电机模型相为交流电机的数学模型和直流电机模型相比有着本质上的区别。比有着本质上的区别。 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 2. 2. 交流电机数学模型的性质交流电机数学模型的性质 （1 1）异异步步电电机机变变压压变变频频调调速速时时需需要要进进行行电电压压（或或电电流流）和和频频率率的的协协调调控控制制，有有电电压压（电电流流）和和频频率率两两种种独独立立的的输输入入变变量量。在在输输出出变变量量中中，除除转转速速外外，磁磁通通也也得得算算一一个个独独立立的的输输出出变变量量。因因为为电电机机只只有有一一个个三三相相输输入入电电源源，磁磁通通的的建建立立和和转转速速的的变变化化是是同同时时进进行行的的，为为了了获获得得良良好好的的动动态态性性能能，也也希希望望对对磁磁通通施施加加某某种种控控制制，使使它它在在动动态态过过程程中中尽尽量量保保持持恒恒定定，才才能能产产生生较较大大的的动动态态转矩。转矩。 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换l多变量、强耦合的模型结构多变量、强耦合的模型结构 由于这些原因，由于这些原因，异步电机是一个异步电机是一个多多变量变量（多输入多输（多输入多输出）系统，而电压出）系统，而电压（电流）、频率、（电流）、频率、磁通、转速之间又磁通、转速之间又互相都有影响，所互相都有影响，所以是以是强耦合强耦合的多变的多变量系统，可以先用量系统，可以先用右图来定性地表示。右图来定性地表示。A1A2Us1(Is)图6-43 异步电机的多变量、强耦合模型结构 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换l 模型的非线性模型的非线性 （2 2）在在异异步步电电机机中中，电电流流乘乘磁磁通通产产生生转转矩矩，转转速速乘乘磁磁通通得得到到感感应应电电动动势势，由由于于它它们们都都是是同同时时变变化化的的，在在数数学学模模型型中中就就含含有有两两个个变变量量的的乘乘积积项项。这这样样一一来来，即即使使不不考考虑虑磁磁饱饱和和等等因因素素，数数学学模模型型也也是是非线性的。非线性的。 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换l 模型的高阶性模型的高阶性 （3 3）三三相相异异步步电电机机定定子子有有三三个个绕绕组组，转转子子也也可可等等效效为为三三个个绕绕组组，每每个个绕绕组组产产生生磁磁通通时时都都有有自自己己的的电电磁磁惯惯性性，再再算算上上运运动动系系统统的的机机电电惯惯性性，和和转转速速与与转转角角的的积积分分关关系系，即即使使不不考考虑虑变变频频装装置置的的滞滞后后因因素素，也也是是一一个八阶系统。个八阶系统。 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 总总起起来来说说，异异步步电电机机的的动动态态数数学学模模型型是是一一个个高高阶阶、非非线线性性、强强耦耦合合的多变量系统的多变量系统。二、三相异步电动机的多变量非线性数学模型二、三相异步电动机的多变量非线性数学模型 假设条件假设条件：（1 1）忽忽略略空空间间谐谐波波，设设三三相相绕绕组组对对称称，在在空空间间互互差差120电电角角度度，所所产产生生的的磁磁动动势势沿气隙周围按正弦规律分布；沿气隙周围按正弦规律分布；（2 2）忽忽略略磁磁路路饱饱和和，各各绕绕组组的的自自感感和和互互感感都是恒定的；都是恒定的；（3 3）忽略铁心损耗；）忽略铁心损耗；（4 4）不不考考虑虑频频率率变变化化和和温温度度变变化化对对绕绕组组电电阻的影响。阻的影响。 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换物理模型物理模型 无论电机转子是绕线型还是笼型的，无论电机转子是绕线型还是笼型的，都将它等效成三相绕线转子，并折算到都将它等效成三相绕线转子，并折算到定子侧，折算后的定子和转子绕组匝数定子侧，折算后的定子和转子绕组匝数都相等。这样，实际电机绕组就等效成都相等。这样，实际电机绕组就等效成下图所示的三相异步电机的物理模型。下图所示的三相异步电机的物理模型。 三相异步电动机的物理模型三相异步电动机的物理模型ABCuAuBuC1uaubucabc图6-44 三相异步电动机的物理模型 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 图中，定子三相绕组轴线图中，定子三相绕组轴线 A、B、C 在在空间是固定的，以空间是固定的，以 A A 轴为参考坐标轴；转轴为参考坐标轴；转子绕组轴线子绕组轴线 a、b、c 随转子旋转，转子随转子旋转，转子 a 轴和定子轴和定子A 轴间的电角度轴间的电角度 为空间角位移为空间角位移变量。变量。 规定各绕组电压、电流、磁链的正方向规定各绕组电压、电流、磁链的正方向符合电动机惯例和右手螺旋定则。这时，符合电动机惯例和右手螺旋定则。这时，异步电机的数学模型由下述电压方程、磁异步电机的数学模型由下述电压方程、磁链方程、转矩方程和运动方程组成。链方程、转矩方程和运动方程组成。1. 1. 电压方程电压方程三相定子绕组的电压平衡方程为三相定子绕组的电压平衡方程为 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换电压方程（续）电压方程（续） 与此相应，三相转子绕组折算到定子侧后与此相应，三相转子绕组折算到定子侧后的电压方程为的电压方程为 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 上述各量都已折算到定子侧，为了简单起见，上述各量都已折算到定子侧，为了简单起见，表示折算的上角标表示折算的上角标“ ”“ ”均省略，以下同此。均省略，以下同此。 式中式中Rs, Rr定子和转子绕组电阻。定子和转子绕组电阻。A, B, C, a, b, c 各相绕组的全磁链；各相绕组的全磁链；iA, iB, iC, ia, ib, ic 定子和转子相电流的瞬时值；定子和转子相电流的瞬时值；uA, uB, uC, ua, ub, uc 定子和转子相电压的瞬时值；定子和转子相电压的瞬时值； 电压方程的矩阵形式电压方程的矩阵形式 将电压方程写成矩阵形式，并以微分算子将电压方程写成矩阵形式，并以微分算子 p 代代替微分符号替微分符号 d /dt（6-67a） 或写成或写成 （6-67b） 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 2. 2. 磁链方程磁链方程 每个绕组的磁链是它本身的自感磁链和其它绕组每个绕组的磁链是它本身的自感磁链和其它绕组对它的互感磁链之和，因此，六个绕组的磁链可表对它的互感磁链之和，因此，六个绕组的磁链可表达为达为 （6-68a） 或写成或写成 （6-68b） 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换l 电感矩阵电感矩阵式中，式中，L 是是6666电感矩阵，其中对角线元素电感矩阵，其中对角线元素 LAA， LBB， LCC，Laa，Lbb，Lcc 是各有关绕是各有关绕组的自感，其余各项则是绕组间的互感。组的自感，其余各项则是绕组间的互感。 实际上，与电机绕组交链的磁通主要只有实际上，与电机绕组交链的磁通主要只有两类：一类是穿过气隙的相间互感磁通，另两类：一类是穿过气隙的相间互感磁通，另一类是只与一相绕组交链而不穿过气隙的漏一类是只与一相绕组交链而不穿过气隙的漏磁通，前者是主要的。磁通，前者是主要的。 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换l 电感的种类和计电感的种类和计算算定子漏感定子漏感 Lls 定子各相漏磁通所对应的电感，定子各相漏磁通所对应的电感，由于绕组的对称性，各相漏感值均相等；由于绕组的对称性，各相漏感值均相等；转子漏感转子漏感 Llr 转子各相漏磁通所对应的电感。转子各相漏磁通所对应的电感。定子互感定子互感 Lms与定子一相绕组交链的最大互感与定子一相绕组交链的最大互感磁通；磁通；转子互感转子互感 Lmr与转子一相绕组交链的最大互感与转子一相绕组交链的最大互感磁通。磁通。 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 由于折算后定、转子绕组匝数相等，且由于折算后定、转子绕组匝数相等，且各绕组间互感磁通都通过气隙，磁阻相各绕组间互感磁通都通过气隙，磁阻相同，故可认为同，故可认为 Lms = Lmr 自感表达式自感表达式 对于每一相绕组来说，它所交链的磁通对于每一相绕组来说，它所交链的磁通是互感磁通与漏感磁通之和，因此，定是互感磁通与漏感磁通之和，因此，定子各相自感为子各相自感为 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换（6-69） 转子各相自感为转子各相自感为 （6-70） 互感表达式互感表达式 两相绕组之间只有互感。互感又分为两类：两相绕组之间只有互感。互感又分为两类：（1 1）定子三相彼此之间和转子三相彼此）定子三相彼此之间和转子三相彼此之间位置都是固定的，故互感为常值；之间位置都是固定的，故互感为常值； （2 2）定子任一相与转子任一相之间的位）定子任一相与转子任一相之间的位置是变化的，互感是角位移置是变化的，互感是角位移 的函数。的函数。 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换p 第一类固定位置绕组的互感第一类固定位置绕组的互感 三相绕组轴线彼此在空间的相位差是三相绕组轴线彼此在空间的相位差是120，在假定气隙磁通为正弦分布的条件，在假定气隙磁通为正弦分布的条件下，互感值应为，下，互感值应为， 于是于是 （6-71） （6-72） 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换p 第二类变化位置绕组的互感第二类变化位置绕组的互感 定、转子绕组间的互感，由于相互间位置的变定、转子绕组间的互感，由于相互间位置的变化（化（见图见图6-446-44），可分别表示为），可分别表示为 当定、转子两相绕组轴线一致时，两者之间当定、转子两相绕组轴线一致时，两者之间的互感值最大，就是每相最大互感的互感值最大，就是每相最大互感 Lms 。 （6-73）（6-74）（6-75） 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 三相异步电动机的物理模型三相异步电动机的物理模型ABCuAuBuC1uaubucabc图6-44 三相异步电动机的物理模型 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换转子 a 轴和定子A 轴间的电角度 为空间角位移变量l 磁链方程磁链方程 将式（将式（6-696-69） 式（式（6-756-75）都代入式（）都代入式（6-68a6-68a），即），即得完整的磁链方程，显然这个矩阵方程是比较复杂得完整的磁链方程，显然这个矩阵方程是比较复杂的，为了方便起见，可以将它写成分块矩阵的形式的，为了方便起见，可以将它写成分块矩阵的形式 （6-76） 式中式中 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换（6-77） （6-78） 值得注意的是值得注意的是， 和和 两个分块矩阵互为两个分块矩阵互为转置，且均与转子位置转置，且均与转子位置 有关，它们的元有关，它们的元素都是变参数，这是素都是变参数，这是 系统非线性的一个根系统非线性的一个根源源。为了把变参数转换成常参数须利用坐标。为了把变参数转换成常参数须利用坐标变换，后面将详细讨论这个问题。变换，后面将详细讨论这个问题。 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换（6-79） l 电压方程的展开形式电压方程的展开形式 如果把磁链方程（如果把磁链方程（6-68b6-68b）代入电压方程（）代入电压方程（6-67b6-67b）中，即得展开后的电压方程中，即得展开后的电压方程 （6-80） 式中，式中，Ldi /dt 项属于电磁感应电动势中的脉变项属于电磁感应电动势中的脉变电动势（或称变压器电动势），电动势（或称变压器电动势），(dL / d)i 项属项属于电磁感应电动势中与转速成正比的旋转电动势。于电磁感应电动势中与转速成正比的旋转电动势。 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换3. 3. 转矩方程转矩方程 根据机电能量转换原理，在多绕组电机根据机电能量转换原理，在多绕组电机中，在线性电感的条件下，磁场的储能和中，在线性电感的条件下，磁场的储能和磁共能为磁共能为 （6-81） 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换（6-82） 而电磁转矩等于机械角位移变化时磁共能而电磁转矩等于机械角位移变化时磁共能的变化率的变化率 （电流约束为常值），且机械（电流约束为常值），且机械角位移角位移 m = / np ，于是，于是 转矩方程的矩阵形式转矩方程的矩阵形式 将将式式（6-816-81）代代入入式式（6-826-82），并并考考虑虑到到电电感感的的分块矩阵关系式（分块矩阵关系式（6-776-77） （6-796-79），得），得（6-83） 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换又由于又由于 代入式（代入式（6-836-83）得）得 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换（6-84） 转矩方程的三相坐标系形式转矩方程的三相坐标系形式 以式（以式（6-796-79）代入式（）代入式（6-846-84）并展开后，）并展开后，舍去负号，意即电磁转矩的正方向为使舍去负号，意即电磁转矩的正方向为使 减减小的方向，则小的方向，则 （6-85） 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 应该指出，上述公式是在线性磁路、磁应该指出，上述公式是在线性磁路、磁动势在空间按正弦分布的假定条件下得出动势在空间按正弦分布的假定条件下得出来的，但对定、转子电流对时间的波形未来的，但对定、转子电流对时间的波形未作任何假定，式中的作任何假定，式中的 i i 都是瞬时值。都是瞬时值。 因此，上述电磁转矩公式完全适用于变压因此，上述电磁转矩公式完全适用于变压变频器供电的含有电流谐波的三相异步电变频器供电的含有电流谐波的三相异步电机调速系统。机调速系统。4. 4. 电力拖动系统运动方程电力拖动系统运动方程 在一般情况下，电力拖动系统的运动方在一般情况下，电力拖动系统的运动方程式是程式是 （6-86） TL 负载阻转矩；负载阻转矩； J 机组的转动惯量；机组的转动惯量；D 与转速成正比的阻转矩阻尼系数；与转速成正比的阻转矩阻尼系数；K 扭转弹性转矩系数。扭转弹性转矩系数。 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 运动方程的简化形式运动方程的简化形式对于恒转矩负载，对于恒转矩负载，D = 0 ， K = 0 ，则则（6-87） 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换5. 5. 三相异步电机的数学模型三相异步电机的数学模型 将式（将式（6-766-76），式（），式（6-806-80），式（），式（6-856-85）和）和式（式（6-876-87）综合起来，再加上）综合起来，再加上 （6-88） 便构成在恒转矩负载下三相异步电机的多变便构成在恒转矩负载下三相异步电机的多变量非线性数学模型，用结构图表示出来如下量非线性数学模型，用结构图表示出来如下图所示图所示 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 异步电机的多变量非线性动态结构图异步电机的多变量非线性动态结构图 (R+Lp)-1L1( )2( )1eruiTeTL np Jp 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 它是图它是图6-436-43模型结构的具体体现，表明异模型结构的具体体现，表明异步电机数学模型的下列具体性质：步电机数学模型的下列具体性质： （1 1）异步电机可以看作一个双输入双输出）异步电机可以看作一个双输入双输出的系统，输入量是电压向量和定子输入角的系统，输入量是电压向量和定子输入角频率，输出量是磁链向量和转子角速度。频率，输出量是磁链向量和转子角速度。电流向量可以看作是状态变量，它和磁链电流向量可以看作是状态变量，它和磁链矢量之间有由式（矢量之间有由式（6-766-76）确定的关系。）确定的关系。 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 （2 2）非线性因素存在于）非线性因素存在于1（）和和2（） 中，即存在于产生旋转电动势中，即存在于产生旋转电动势 er 和电磁转矩和电磁转矩 Te 两个环节上，还包含在电感矩阵两个环节上，还包含在电感矩阵 L 中，中，旋转电动势和电磁转矩的非线性关系和直流旋转电动势和电磁转矩的非线性关系和直流电机弱磁控制的情况相似，只是关系更复杂电机弱磁控制的情况相似，只是关系更复杂一些。一些。 （3 3）多变量之间的耦合关系主要也体现在）多变量之间的耦合关系主要也体现在 1（）和和2（） 两个环节上，特别是产生两个环节上，特别是产生旋转电动势的旋转电动势的1对系统内部的影响最大。对系统内部的影响最大。 三、坐标变换和变换矩阵三、坐标变换和变换矩阵 上节中虽已推导出异步电机的动态数学上节中虽已推导出异步电机的动态数学模型，但是，要分析和求解这组非线性方模型，但是，要分析和求解这组非线性方程显然是十分困难的。在实际应用中必须程显然是十分困难的。在实际应用中必须设法予以简化，简化的基本方法是设法予以简化，简化的基本方法是坐标变坐标变换。换。 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换1. 1. 坐标变换的基本思路坐标变换的基本思路 从上节分析异步电机数学模型的过程中从上节分析异步电机数学模型的过程中可以看出，这个数学模型之所以复杂，关可以看出，这个数学模型之所以复杂，关键是因为有一个复杂的键是因为有一个复杂的 6 6 6 6 电感矩阵，它电感矩阵，它体现了影响磁链和受磁链影响的复杂关系。体现了影响磁链和受磁链影响的复杂关系。因此，要简化数学模型，须从简化磁链关因此，要简化数学模型，须从简化磁链关系入手。系入手。 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 直流电机的物理模型直流电机的物理模型 直流电机的数学模型比较简单，先分析直流电机的数学模型比较简单，先分析一下直流电机的磁链关系。图一下直流电机的磁链关系。图6-466-46中绘出中绘出了二极直流电机的物理模型，图中了二极直流电机的物理模型，图中 F为励为励磁绕组，磁绕组，A 为电枢绕组，为电枢绕组，C 为补偿绕组。为补偿绕组。 F 和和 C 都在定子上，只有都在定子上，只有 A 是在转子上。是在转子上。 把把 F 的轴线称作直轴或的轴线称作直轴或 d 轴（轴（direct direct axisaxis），主磁通），主磁通的方向就是沿着的方向就是沿着 d 轴的；轴的；A和和C的轴线则称为交轴或的轴线则称为交轴或q 轴（轴（quadrature quadrature axisaxis）。）。 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换图6-46 二极直流电机的物理模型dqFACifiaic励磁绕组电枢绕组补偿绕组 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 虽然电枢本身是旋转的，但其绕组通过换虽然电枢本身是旋转的，但其绕组通过换向器电刷使电流方向总是相同的，因此，电向器电刷使电流方向总是相同的，因此，电枢磁动势的轴线始终被电刷限定在枢磁动势的轴线始终被电刷限定在 q q 轴位置轴位置上，其效果好象一个在上，其效果好象一个在 q q 轴上静止的绕组一轴上静止的绕组一样。样。 但它实际上是旋转的，会切割但它实际上是旋转的，会切割 d d 轴的磁通轴的磁通而产生旋转电动势，这又和真正静止的绕组而产生旋转电动势，这又和真正静止的绕组不同，通常把这种等效的静止绕组称作不同，通常把这种等效的静止绕组称作“伪伪静止绕组静止绕组”（pseudo - stationary coilspseudo - stationary coils）。）。 分析结果分析结果 电枢磁动势的作用可以用补偿绕组磁电枢磁动势的作用可以用补偿绕组磁动势抵消，或者由于其作用方向与动势抵消，或者由于其作用方向与 d d 轴轴垂直而对主磁通影响甚微，所以直流电垂直而对主磁通影响甚微，所以直流电机的主磁通基本上唯一地由励磁绕组的机的主磁通基本上唯一地由励磁绕组的励磁电流决定，这是直流电机的数学模励磁电流决定，这是直流电机的数学模型及其控制系统比较简单的根本原因型及其控制系统比较简单的根本原因。 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 交流电机的物理模型交流电机的物理模型 如果能将交流电机的物理模型（见下图）如果能将交流电机的物理模型（见下图）等效地变换成类似直流电机的模式，分析和等效地变换成类似直流电机的模式，分析和控制就可以大大简化。坐标变换正是按照这控制就可以大大简化。坐标变换正是按照这条思路进行的。条思路进行的。 在这里，不同电机模型彼此在这里，不同电机模型彼此等效的原则等效的原则是：是：在不同坐标下所产生的磁动势完全一致在不同坐标下所产生的磁动势完全一致。 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 众所周知，交流电机三相对称的静止众所周知，交流电机三相对称的静止绕组绕组 A A 、B B 、C C ，通以三相平衡的正弦，通以三相平衡的正弦电流时，所产生的合成磁动势是旋转磁电流时，所产生的合成磁动势是旋转磁动势动势F F，它在空间呈正弦分布，以同步，它在空间呈正弦分布，以同步转速转速 1 （即电流的角频率）顺着（即电流的角频率）顺着 A-B-A-B-C C 的相序旋转。这样的物理模型绘于下的相序旋转。这样的物理模型绘于下图图a a中。中。 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 （1 1）交流电机绕组的等效物理模型）交流电机绕组的等效物理模型ABCABCiAiBiCF1a）三相交流绕组 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 旋转磁动势的产生旋转磁动势的产生 然而，旋转磁动势并不一定非要三然而，旋转磁动势并不一定非要三相不可，除单相以外，二相、三相、相不可，除单相以外，二相、三相、四相、四相、 等任意对称的多相绕组，等任意对称的多相绕组，通以平衡的多相电流，都能产生旋转通以平衡的多相电流，都能产生旋转磁动势，当然以两相最为简单。磁动势，当然以两相最为简单。 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 （2 2）等效的两相交流电机绕组）等效的两相交流电机绕组Fii1b）两相交流绕组 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 图图b b中绘出了两相静止绕组中绘出了两相静止绕组 和和 ，它们它们在空间互差在空间互差90，通以时间上互差，通以时间上互差90的两相的两相平衡交流电流，也产生旋转磁动势平衡交流电流，也产生旋转磁动势 F 。 当图当图a a和和b b的两个旋转磁动势大小和转速都的两个旋转磁动势大小和转速都相等时，即认为图相等时，即认为图b b的两相绕组与图的两相绕组与图a a的三相的三相绕组等效。绕组等效。 （3 3）旋转的直流绕组与等效直流电机模型）旋转的直流绕组与等效直流电机模型1FMTimitMTc）旋转的直流绕组 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 再看图再看图c c中的两个匝数相等且互相垂直的中的两个匝数相等且互相垂直的绕组绕组 M M 和和 T T，其中分别通以直流电流，其中分别通以直流电流 im 和和it，产生合成磁动势产生合成磁动势 F ，其位置相对于绕组，其位置相对于绕组来说是固定的。来说是固定的。 如果让包含两个绕组在内的整个铁心以如果让包含两个绕组在内的整个铁心以同步转速旋转，则磁动势同步转速旋转，则磁动势 F 自然也随之旋自然也随之旋转起来，成为旋转磁动势。转起来，成为旋转磁动势。6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 把这个旋转磁动势的大小和转速也控制把这个旋转磁动势的大小和转速也控制成与图成与图 a a 和图和图 b b 中的磁动势一样，那么这中的磁动势一样，那么这套旋转的直流绕组也就和前面两套固定的套旋转的直流绕组也就和前面两套固定的交流绕组都等效了。当观察者也站到铁心交流绕组都等效了。当观察者也站到铁心上和绕组一起旋转时，在他看来，上和绕组一起旋转时，在他看来，M 和和 T 是两个通以直流而相互垂直的静止绕组。是两个通以直流而相互垂直的静止绕组。 如果控制磁通的位置在如果控制磁通的位置在 M 轴上，就和轴上，就和直流电机物理模型没有本质上的区别了。直流电机物理模型没有本质上的区别了。这时，绕组这时，绕组M相当于励磁绕组，相当于励磁绕组，T 相当于伪相当于伪静止的电枢绕组。静止的电枢绕组。 等效的概念等效的概念 由此可见，以产生同样的旋转磁动势为准由此可见，以产生同样的旋转磁动势为准则，图则，图a a的三相交流绕组、图的三相交流绕组、图b b的两相交流绕的两相交流绕组和图组和图c c中整体旋转的直流绕组彼此等效。或中整体旋转的直流绕组彼此等效。或者说，在三相坐标系下的者说，在三相坐标系下的 iA、iB 、iC，在两，在两相坐标系下的相坐标系下的 i、i 和在旋转两相坐标系下和在旋转两相坐标系下的直流的直流 im、it 是等效的，它们能产生相同的是等效的，它们能产生相同的旋转磁动势。旋转磁动势。 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 有意思的是：就图有意思的是：就图c c 的的 M、T 两个绕组而两个绕组而言，当观察者站在地面看上去，它们是与言，当观察者站在地面看上去，它们是与三相交流绕组等效的旋转直流绕组；如果三相交流绕组等效的旋转直流绕组；如果跳到旋转着的铁心上看，它们就的的确确跳到旋转着的铁心上看，它们就的的确确是一个直流电机模型了。这样，通过坐标是一个直流电机模型了。这样，通过坐标系的变换，可以找到与交流三相绕组等效系的变换，可以找到与交流三相绕组等效的直流电机模型。的直流电机模型。6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 现在的问题是，如何求出现在的问题是，如何求出iA、iB 、iC 与与 i、i 和和 im、it 之间准确的等效关系，这之间准确的等效关系，这就是坐标变换的任务。就是坐标变换的任务。 矢量控制系统原理结构图矢量控制系统原理结构图 控制器控制器VR-12/3电流控制电流控制变频器变频器3/2VR等效直流等效直流电机模型电机模型+i*m1i*t1 1i*1i*1i*Ai*Bi*CiAiBiCi1i1im1it1反馈信号异步电动机给定信号 图6-53 矢量控制系统原理结构图 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换2. 2. 三相三相- -两相变换（两相变换（3/23/2变换）变换） 现在先考虑上述的第一种坐标变换现在先考虑上述的第一种坐标变换在三相静止绕组在三相静止绕组A、B、C和两相静和两相静止绕组止绕组、 之间的变换，或称三相静止之间的变换，或称三相静止坐标系和两相静止坐标系间的变换，简坐标系和两相静止坐标系间的变换，简称称 3/2 3/2 变换。变换。 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 下图中绘出了下图中绘出了 A、B、C 和和 、 两个坐两个坐标系，为方便起见，取标系，为方便起见，取 A 轴和轴和 轴重合。轴重合。设三相绕组每相有效匝数为设三相绕组每相有效匝数为N3，两相绕组，两相绕组每相有效匝数为每相有效匝数为N2，各相磁动势为有效匝，各相磁动势为有效匝数与电流的乘积，其空间矢量均位于有关数与电流的乘积，其空间矢量均位于有关相的坐标轴上。由于交流磁动势的大小随相的坐标轴上。由于交流磁动势的大小随时间在变化着，图中磁动势矢量的长度是时间在变化着，图中磁动势矢量的长度是随意的。随意的。 三相和两相坐标系与绕组磁动势的空间矢量三相和两相坐标系与绕组磁动势的空间矢量 AN2iN3iAN3iCN3iBN2i60o60oCB 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 设磁动势波形是正弦分布的，当三相总磁设磁动势波形是正弦分布的，当三相总磁动势与二相总磁动势相等时，两套绕组瞬时动势与二相总磁动势相等时，两套绕组瞬时磁动势在磁动势在 、 轴上的投影都应相等，轴上的投影都应相等， 写成矩阵形式，得写成矩阵形式，得（6-89） 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 考考虑虑变变换换前前后后总总功功率率不不变变，在在此此前前提提下下，可以证明匝数比应为可以证明匝数比应为（6-90） 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换功率不变时坐标变换阵的性质功率不变时坐标变换阵的性质设某坐标下电压和电流的向量为设某坐标下电压和电流的向量为u,i,新的坐新的坐标系下为标系下为变换前后功率不变变换前后功率不变 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 带入具体的表达式有带入具体的表达式有 E为单位阵。上式为功率不变条件下的坐为单位阵。上式为功率不变条件下的坐标变换关系，一般情况下电压和电流的变标变换关系，一般情况下电压和电流的变换阵为同一矩阵，这样的坐标变换属于正换阵为同一矩阵，这样的坐标变换属于正交变换交变换6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换为求两项到三项的变换阵将三项到两项的变为求两项到三项的变换阵将三项到两项的变换阵增广成可逆的方阵，其物理意义在两项换阵增广成可逆的方阵，其物理意义在两项系统上人为加入零轴磁动势系统上人为加入零轴磁动势 并定义并定义6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 满足功率不变的条件满足功率不变的条件可以求得如下关系可以求得如下关系这表明保持坐标变换前后的功率不变，又要维持这表明保持坐标变换前后的功率不变，又要维持磁链相同，变换磁链相同，变换 前后两项绕组每相匝数应为原三前后两项绕组每相匝数应为原三项绕组匝数的项绕组匝数的 倍于此同时倍于此同时利用上述关系得三项利用上述关系得三项/ /两项变换方阵两项变换方阵 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换如要从两相坐标系变换到三相坐标系如要从两相坐标系变换到三相坐标系2/32/3变换变换可求反变换可求反变换 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换代入式（代入式（6-896-89），得），得（6-91） 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 令令 C3/2 表示从三相坐标系变换到两相坐标系的表示从三相坐标系变换到两相坐标系的变换矩阵，则变换矩阵，则 （6-92） 三相三相两相坐标系的变换矩阵两相坐标系的变换矩阵 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 如果三相绕组是如果三相绕组是Y Y形联结不带零线，形联结不带零线，则有则有 iA + iB + iC = 0，或，或 iC = iA iB 。代入式（代入式（6-926-92）和（）和（6-936-93）并整理后得）并整理后得（6-94） 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换（6-95） 按照所采用的条件，电流变换阵也就是按照所采用的条件，电流变换阵也就是电压变换阵，同时还可证明，它们也是磁电压变换阵，同时还可证明，它们也是磁链的变换阵。链的变换阵。 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换3. 3. 两相两相两相旋转变换（两相旋转变换（2s/2r变换）变换） 从上图等效的交流电机绕组和直流电机绕从上图等效的交流电机绕组和直流电机绕组物理模型的图组物理模型的图 b b 和图和图 c c 中，从两相静止坐中，从两相静止坐标系到两相旋转坐标系标系到两相旋转坐标系 M、T 变换称作两相变换称作两相两相旋转变换，简称两相旋转变换，简称 2s/2r 变换，其中变换，其中 s 表表示静止，示静止，r 表示旋转。表示旋转。 把两个坐标系画在一起，即得下图。把两个坐标系画在一起，即得下图。 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换l 两相静止和旋转坐标系与磁动势（电流）空间矢量两相静止和旋转坐标系与磁动势（电流）空间矢量 it siniFs1imcosimimsinitcosiitMT 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 图中，两相交流电流图中，两相交流电流 i、i 和两个直流和两个直流电流电流 im、it 产生同样的以同步转速产生同样的以同步转速1旋转旋转的合成磁动势的合成磁动势 Fs 。由于各绕组匝数都相。由于各绕组匝数都相等，可以消去磁动势中的匝数，直接用电等，可以消去磁动势中的匝数，直接用电流表示，例如流表示，例如 Fs 可以直接标成可以直接标成 is 。但必。但必须注意，这里的电流都是空间矢量，而不须注意，这里的电流都是空间矢量，而不是时间相量。是时间相量。6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 M，T 轴和矢量轴和矢量 Fs（ is ）都以转速都以转速 1 旋旋转，分量转，分量 im、it 的长短不变，相当于的长短不变，相当于M，T绕组的直流磁动势。绕组的直流磁动势。 但但 、 轴是静止的，轴是静止的， 轴与轴与 M 轴的夹轴的夹角角 随时间而变化，因此随时间而变化，因此 is 在在 、 轴上轴上的分量的长短也随时间变化，相当于绕组的分量的长短也随时间变化，相当于绕组交流磁动势的瞬时值。由图可见，交流磁动势的瞬时值。由图可见， i、 i 和和 im、it 之间存在下列关系之间存在下列关系 2s/2r变换公式变换公式 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换写成矩阵形式，得写成矩阵形式，得 （6-96） （6-97） 是两相旋转坐标系变换到两相静止坐标系是两相旋转坐标系变换到两相静止坐标系的变换阵。的变换阵。 式中 两相旋转两相旋转两相静止坐标系的变换矩阵两相静止坐标系的变换矩阵 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 对式（对式（6-966-96）两边都左乘以变换阵的逆）两边都左乘以变换阵的逆矩阵，即得矩阵，即得 (6-98) 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 (6-99) 则两相静止坐标系变换到两相旋转坐标系则两相静止坐标系变换到两相旋转坐标系的变换阵是的变换阵是 电压和磁链的旋转变换阵也与电流（磁动势）电压和磁链的旋转变换阵也与电流（磁动势）旋转变换阵相同。旋转变换阵相同。 两相静止两相静止两相旋转坐标系的变换矩阵两相旋转坐标系的变换矩阵 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换is (Fs)1simitMT 令矢量令矢量 is 和和M轴的夹角为轴的夹角为 s ，已知已知 im、it ，求，求 is 和和 s ，就是直角，就是直角坐标坐标/ /极坐标变换，极坐标变换，简称简称K/P变换。变换。4. 4. 直角坐标直角坐标/ /极坐标变换（极坐标变换（K/P变换）变换） 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换显然，其变换式应为显然，其变换式应为 （6-100）（6-101）6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 当当 s 在在 0 90之间变化时，之间变化时，tans 的变的变化范围是化范围是 0 ，这个变化幅度太大，很难，这个变化幅度太大，很难在实际变换器中实现，因此常改用下列方在实际变换器中实现，因此常改用下列方式来表示式来表示 s 值值 （6-102） 式（式（6-1026-102）可用来代替式（）可用来代替式（6-1016-101），作为），作为 s 的变换式。的变换式。 这样这样 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换四、三相异步电动机在两相坐标系上的四、三相异步电动机在两相坐标系上的 数学模型数学模型 前已指出，异步电机的数学模型比较前已指出，异步电机的数学模型比较复杂，坐标变换的目的就是要简化数学模复杂，坐标变换的目的就是要简化数学模型。第二个问题中异步电机数学模型是建型。第二个问题中异步电机数学模型是建立在三相静止的立在三相静止的ABCABC坐标系上的，如果把坐标系上的，如果把它变换到两相坐标系上，由于两相坐标轴它变换到两相坐标系上，由于两相坐标轴互相垂直，两相绕组之间没有磁的耦合，互相垂直，两相绕组之间没有磁的耦合，仅此一点，就会使数学模型简单了许多。仅此一点，就会使数学模型简单了许多。 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换1. 1. 异步电机在两相任意旋转坐标系（异步电机在两相任意旋转坐标系（dqdq坐坐 标系）上的数学模型标系）上的数学模型 两相坐标系可以是静止的，也可以是旋两相坐标系可以是静止的，也可以是旋转的，其中以任意转速旋转的坐标系为最转的，其中以任意转速旋转的坐标系为最一般的情况，有了这种情况下的数学模型，一般的情况，有了这种情况下的数学模型，要求出某一具体两相坐标系上的模型就比要求出某一具体两相坐标系上的模型就比较容易了。较容易了。 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 变换关系变换关系 设两相坐标设两相坐标 d 轴轴与三相坐标与三相坐标 A 轴轴的夹角为的夹角为 s ， 而而 ps = dqs 为为 d q 坐标系相对于坐标系相对于定子定子的角转速，的角转速，dqr 为为 dq 坐标系相对于坐标系相对于转子转子的角转速。的角转速。ABCFsdqssdq 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 要把三相静止坐标系上的电压方程要把三相静止坐标系上的电压方程（6-67a6-67a）、磁链方程（）、磁链方程（6-68a6-68a）和转矩方）和转矩方程程 （6-856-85） 都变换到两相旋转坐标系上都变换到两相旋转坐标系上来，可以先利用来，可以先利用 3/2 3/2 变换将方程式中定子变换将方程式中定子和转子的电压、电流、磁链和转矩都变和转子的电压、电流、磁链和转矩都变换到两相静止坐标系换到两相静止坐标系 、 上，然后再用上，然后再用旋转变换阵旋转变换阵 C2s/2r 将这些变量变换到两相将这些变量变换到两相旋转坐标系旋转坐标系 dq 上。上。 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 变换过程变换过程 具体的变换运算比较复杂，具体的变换运算比较复杂，ABC坐标系坐标系 坐标系坐标系dq坐标系坐标系3/2变换C2s/2r 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换根据式（根据式（6-986-98）另）另0轴为假想轴，轴为假想轴，d轴和轴和A轴轴夹角为夹角为 可得可得 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换写成矩阵形式写成矩阵形式合并以上两个方程式得三相静止合并以上两个方程式得三相静止ABC坐标系到坐标系到两项旋转两项旋转dq0坐标系的变换式坐标系的变换式式A 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 （1 1）磁链方程）磁链方程 利用变换将定子的三项磁链和转子的三项磁利用变换将定子的三项磁链和转子的三项磁链变换到链变换到dqo坐标系中去，定子磁链的变换坐标系中去，定子磁链的变换阵是阵是 其中其中d轴与轴与A轴的夹角为轴的夹角为 ，转子磁，转子磁链的变换阵是链的变换阵是 是旋转三相坐标系变换到不是旋转三相坐标系变换到不同转速的旋转两相坐标系。其中同转速的旋转两相坐标系。其中d轴与轴与 轴轴的夹角为的夹角为 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换则磁链的变换式为则磁链的变换式为 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换把定子和转子的磁链表达成电感阵和电流向量把定子和转子的磁链表达成电感阵和电流向量乘积，再用乘积，再用 和和 的反变换阵把电流变换的反变换阵把电流变换到到dq0坐标上坐标上 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换代入相应的数据并进行运算有如下结果代入相应的数据并进行运算有如下结果 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换最后在最后在dq0坐标系下的磁链方程为坐标系下的磁链方程为 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换磁链的零轴分量为磁链的零轴分量为它们各自独立，对它们各自独立，对dq轴磁链没有影响，轴磁链没有影响，可以不考虑则可以简化可以不考虑则可以简化 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换（1 1）磁链方程磁链方程 上式去掉零轴则上式去掉零轴则dq坐标系磁链方程为坐标系磁链方程为 或写成或写成 （6-103a） （6-103b） 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换dqdq坐标系转子等效两相绕组的自感。坐标系转子等效两相绕组的自感。 式中式中 dq坐标系定子与转子同轴等效绕组间的互感；坐标系定子与转子同轴等效绕组间的互感； dq坐标系定子等效两相绕组的自感；坐标系定子等效两相绕组的自感； 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换注意：注意： 两相绕组互感两相绕组互感 是原三相绕组中任意两相间最是原三相绕组中任意两相间最大互感（当轴线重合时）的大互感（当轴线重合时）的3/2倍，这是因为用倍，这是因为用两相绕组等效地取代了三相绕组的缘故。异步电两相绕组等效地取代了三相绕组的缘故。异步电机变换到机变换到dq坐标系上的物理模型示于下图，这时坐标系上的物理模型示于下图，这时，定子和转子的等效绕组都落在同样的两根轴，定子和转子的等效绕组都落在同样的两根轴d和和q上，而且两轴互相垂直，它们之间没有耦合上，而且两轴互相垂直，它们之间没有耦合关系，互感磁链只在同轴绕组间存在，所以式中关系，互感磁链只在同轴绕组间存在，所以式中每个磁链分量只剩下两项，电感矩阵比每个磁链分量只剩下两项，电感矩阵比ABC坐坐标系的标系的 6 6 6 6 矩阵简单多了。矩阵简单多了。 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 异步电机在两相旋转坐标系异步电机在两相旋转坐标系dq上的物理模型上的物理模型 dqsdqdrirdisdirqusddsqrqsurdurqusqisq图6-50 异步电动机在两相旋转坐标系dq上的物理模型 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换（2 2）电压方程）电压方程利用上式利用上式A得定子电压变换的关系为得定子电压变换的关系为先讨论先讨论A A相的关系相的关系同理同理 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换在在ABC坐标系下坐标系下A相的电压方程，相的电压方程，代入得为为dq0dq0旋转坐标系对于定子的角速度旋转坐标系对于定子的角速度由于由于 为任意值因此下式三式成立为任意值因此下式三式成立同理转子电压方程为同理转子电压方程为式中式中 为为dq0dq0旋转坐标旋转坐标系相对于转子的角速度系相对于转子的角速度同理利用同理利用B B相和相和C C相的电压方程求出的结果与上相的电压方程求出的结果与上面一致。面一致。6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换（2 2）电压方程）电压方程 （6-104） 上面的方程整理有定子和转子的电压方程上面的方程整理有定子和转子的电压方程 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 将磁链方程式（将磁链方程式（6-103b6-103b）代入式（）代入式（6-1046-104）中，得到中，得到 dq 坐标系上的电压坐标系上的电压电流方程式电流方程式如下如下 （6-105） 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 对比式（对比式（6-1056-105）和式（）和式（6-67a6-67a）可知，）可知，两相坐标系上的电压方程是两相坐标系上的电压方程是4 4维的，它比维的，它比三相坐标系上的三相坐标系上的6 6维电压方程降低了维电压方程降低了2 2维。维。 在电压方程式（在电压方程式（6-1056-105）等号右侧的系）等号右侧的系数矩阵中，含数矩阵中，含 R 项表示电阻压降，含项表示电阻压降，含 Lp 项表示电感压降，即脉变电动势，含项表示电感压降，即脉变电动势，含 项表示旋转电动势。为了使物理概念更清项表示旋转电动势。为了使物理概念更清楚，可以把它们分开写楚，可以把它们分开写即得即得 （6-106a） 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换令令 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换旋转电动势向量旋转电动势向量 则式（则式（6-106a6-106a）变成）变成 （6-106b） 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 这就是异步电机非线性动态电压方程这就是异步电机非线性动态电压方程式。与第节中式。与第节中ABCABC坐标系方程不同的是：坐标系方程不同的是：此处电感矩阵此处电感矩阵 L 变成变成 4 4 常参数线性常参数线性矩阵，而整个电压方程也降低为矩阵，而整个电压方程也降低为4维方维方程。程。（3 3）转矩和运动方程）转矩和运动方程 把把ABC坐标系中的定子和转子电流利用坐标系中的定子和转子电流利用dqo坐标系中的电流来表示，并代入到转矩表达坐标系中的电流来表示，并代入到转矩表达式（式（6-856-85）中，注意定子和转子的相对位置）中，注意定子和转子的相对位置得到如下转矩方程，化简中零轴电流完全得到如下转矩方程，化简中零轴电流完全抵消了，抵消了，dq0旋转坐标简称旋转坐标简称dq坐标坐标 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换其中其中 电机转子角速度。电机转子角速度。 （3 3）转矩和运动方程）转矩和运动方程dq坐标系上的转矩方程为坐标系上的转矩方程为 （6-107） 运动方程与坐标变换无关，仍为运动方程与坐标变换无关，仍为 （6-87） 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 式式（6-103a6-103a）、式式（6-1046-104）或或式式（6- 6-105105），式式（6-1076-107）和和式式（6-876-87）构构成成异异步步电电机机在在两两相相以以任任意意转转速速旋旋转转的的dq坐坐标标系系上上的的数数学学模模型型。它它比比ABC坐坐标标系系上上的的数数学学模模型型简简单单得得多多，阶阶次次也也降降低低了了，但但其其非非线线性性、多多变变量量、强强耦耦合合的的性性质质并并未未改变。改变。 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 将式（将式（6-1046-104）或（）或（6-1056-105）的）的 dq 轴电压轴电压方程绘成动态等效电路，如图方程绘成动态等效电路，如图6-516-51所示，所示，其中，图其中，图6-51a6-51a是是 d轴电路，图轴电路，图6-51b6-51b是是 q轴轴电路，它们之间靠电路，它们之间靠4 4个旋转电动势互相耦合。个旋转电动势互相耦合。图中所有表示电压或电动势的箭头都是按图中所有表示电压或电动势的箭头都是按电压降的方向画的。电压降的方向画的。 异步电机在异步电机在dqdq坐标系上的动态等效电路坐标系上的动态等效电路a）d轴电路 b）q轴电路 dqssqisdusdRsirdLlsLlrLmurdpsdprddqrrqRrdqssdisqusqRsirqLlsLlrLmurqpsqprqdqrrdRr 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换2. 2. 异步电机在异步电机在 坐标系上的数学模型坐标系上的数学模型 在静止坐标系在静止坐标系 、 上的数学模型是任意旋转上的数学模型是任意旋转坐标系数学模型当坐标转速等于零时的特例。当坐标系数学模型当坐标转速等于零时的特例。当 dqs= 0时，时， dqr= - ，即转子角转速的负值，并，即转子角转速的负值，并将下角标将下角标 d，q 改成改成 、 ，则式（，则式（6-1056-105）的电）的电压矩阵方程变成压矩阵方程变成 （6-108） 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换（6-109） 而式（而式（6-103a6-103a）的磁链方程改为）的磁链方程改为 利用两相旋转变换阵利用两相旋转变换阵 C2s/2r ，可得，可得 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 式（式（6-1086-108） 式（式（6-1106-110）再加上运动方）再加上运动方程式便成为程式便成为 、 坐标系上的异步电机数坐标系上的异步电机数学模型。这种在两相静止坐标系上的数学学模型。这种在两相静止坐标系上的数学模型又称作模型又称作Kron的异步电机方程式或双轴的异步电机方程式或双轴原型电机（原型电机（Two Axis Primitive Machine）基）基本方程式。本方程式。 （6-110） 代入式（代入式（6-1076-107）并整理后，即得到）并整理后，即得到、 坐坐标上的电磁转矩标上的电磁转矩 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换3. 3. 异步电机在两相同步旋转坐标系上的数学模型异步电机在两相同步旋转坐标系上的数学模型 另一种很有用的坐标系是两相同步旋转坐另一种很有用的坐标系是两相同步旋转坐标系，其坐标轴仍用标系，其坐标轴仍用d，q表示，只是坐标轴表示，只是坐标轴的旋转速度的旋转速度 dqs 等于定子频率的同步角转速等于定子频率的同步角转速 1 。而转子的转速为。而转子的转速为 ，因此，因此 dq 轴相对于轴相对于转子的角转速转子的角转速 dqr = 1 - = s ，即转差。代即转差。代入式（入式（6-1056-105），即得同步旋转坐标系上的电），即得同步旋转坐标系上的电压方程压方程 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 在二相同步旋转坐标系上的电压方程在二相同步旋转坐标系上的电压方程 （6-111） 磁链方程、转矩方程和运动方程均不变。磁链方程、转矩方程和运动方程均不变。 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 两相同步旋转坐标系的突出特点是，当两相同步旋转坐标系的突出特点是，当三相三相ABC坐标系中的电压和电流是交流正坐标系中的电压和电流是交流正弦波时，变换到弦波时，变换到dq坐标系上就成为直流。坐标系上就成为直流。 4 4、按转子磁场定向下的数学模型、按转子磁场定向下的数学模型 在在dq坐标系放在同步旋转磁场下使坐标系放在同步旋转磁场下使d d轴与转子磁场轴与转子磁场的方向重合，此时转子的的方向重合，此时转子的d轴的磁通分量为轴的磁通分量为0，既有既有下式。带入式（下式。带入式（6-1116-111）三四行出现零元素，减少了耦合，简化了模型三四行出现零元素，减少了耦合，简化了模型 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换上式中解得上式中解得 ，带入，带入dq坐标系中的转矩方坐标系中的转矩方程有如下结果，程有如下结果，这个关系和直流电机的转矩方程非常接近这个关系和直流电机的转矩方程非常接近了，了，如果是鼠笼电机结果会更加简单。如果是鼠笼电机结果会更加简单。五、三相异步电动机在两相坐标系上的五、三相异步电动机在两相坐标系上的 状态方程状态方程 作为异步电机控制系统研究和分析基础作为异步电机控制系统研究和分析基础的数学模型，过去经常使用矩阵方程，近的数学模型，过去经常使用矩阵方程，近来越来越多地采用状态方程的形式，因此来越来越多地采用状态方程的形式，因此有必要再介绍一下状态方程。为了简单起有必要再介绍一下状态方程。为了简单起见，这里只讨论两相同步旋转见，这里只讨论两相同步旋转dq坐标系上坐标系上的状态方程，如果需要其它类型的两相坐的状态方程，如果需要其它类型的两相坐标，只须稍加变换，就可以得到。标，只须稍加变换，就可以得到。 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 第节的分析结果告诉我们，在两相坐标第节的分析结果告诉我们，在两相坐标系上的电压源型变频器系上的电压源型变频器异步电机具有异步电机具有4 4阶阶电压方程和电压方程和1 1阶运动方程，因此其状态方程阶运动方程，因此其状态方程也应该是也应该是5 5阶的，须选取阶的，须选取5 5个状态变量，而个状态变量，而可选的变量共有可选的变量共有9 9个，即转速个，即转速 、 4 4个电流个电流变量变量 isd 、 isq 、 ird 、 irq 和和4 4个磁链变量个磁链变量 sd 、 sq 、 rd 、 rq 。 状态变量的选择状态变量的选择 转子电流是不可测的，不宜用作状态变转子电流是不可测的，不宜用作状态变量，因此只能选量，因此只能选定子电流定子电流isd 、 isq 和转子磁链和转子磁链 rd 、 rq ；定子电流定子电流 isd 、 isq 和定子磁链和定子磁链 sd 、 sq 。 也就是说，可以有下列两组状态方程。也就是说，可以有下列两组状态方程。或者或者 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换1. 1. r is 状态方程状态方程 由前节式（由前节式（6-103b6-103b）表示）表示dq坐标系上的磁坐标系上的磁链方程链方程 （6-103b） 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 式（式（6-1046-104）为任意旋转坐标系上的电）为任意旋转坐标系上的电压方程压方程（6-104） 对于同步旋转坐标系，对于同步旋转坐标系， dqs = 1 ， dqr = 1 - = s ，又考虑到笼型转子内部是短又考虑到笼型转子内部是短路的，则路的，则 urd = urq = 0 ，于是，电压方程可写，于是，电压方程可写成成 （6-112） 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换由式（由式（6-103b6-103b）中第）中第3 3，4 4两式可解出两式可解出 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换（6-113） 代入式（代入式（6-1076-107）的转矩公式，得）的转矩公式，得 将式（将式（6-103b6-103b）代入式（）代入式（6-1126-112），消去），消去 ird 、 irq、sd 、 sq ，同时将（，同时将（6-1136-113）代入运）代入运动方程式（动方程式（6-876-87），经整理后即得状态方程），经整理后即得状态方程如下：如下： （6-114） 状态方程标准形式状态方程标准形式 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换（6-115） （6-116） （6-117） 状态方程标准形式（续）状态方程标准形式（续） 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换（6-118） 状态方程标准形式（续）状态方程标准形式（续）电机漏磁系数，电机漏磁系数，转子电磁时间常数。转子电磁时间常数。 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 在（在（6-1146-114） （6-1186-118）的状态方程中，）的状态方程中，状态变量为状态变量为 （6-119） 输入变量为输入变量为 （6-120） 状态变量与输入变量状态变量与输入变量 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换2. 2. s is 状态方程状态方程 同上，只是在把式（同上，只是在把式（6-103b6-103b）代入式）代入式（6-1126-112）时，消去的变量是）时，消去的变量是 ird 、 irq、rd 、 rq ，整理后得状态方程为，整理后得状态方程为 （6-121） （6-122） 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换状态方程（续）状态方程（续）（6-123） （6-124） 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换（6-125） 式中，状态变量为式中，状态变量为 （6-126） 输入变量为输入变量为 （6-127） 状态方程（续）状态方程（续） 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换谢谢