5.4 二次函数二次函数与与一元二次方一元二次方程程 九年级九年级( (下册下册) )初中数学初中数学2021/8/261温故知新温故知新（1）一次函数）一次函数yx2的图象与的图象与x轴的交点为（轴的交点为（ ， ）一元一次方程一元一次方程x20的根为的根为_（2） 一次函数一次函数y3x6的图象与的图象与x轴的交点为（轴的交点为（ ， ）一元一次方程一元一次方程3x60的根为的根为_思考：一次函数思考：一次函数思考：一次函数思考：一次函数y ykxkxb b的图象与的图象与的图象与的图象与x x轴的交点与一元轴的交点与一元轴的交点与一元轴的交点与一元一次方程一次方程一次方程一次方程kxkxb b0 0的根有什么关系？的根有什么关系？的根有什么关系？的根有什么关系？ 一次函数一次函数一次函数一次函数y ykxkxb b的图象与的图象与的图象与的图象与x x轴的交点的轴的交点的轴的交点的轴的交点的横坐横坐横坐横坐标标标标就是一元一次方程就是一元一次方程就是一元一次方程就是一元一次方程kxkxb b0 0的的的的根根根根 2 02 02 22 02 02 22021/8/262动手操作：动手操作：画出画出yx22x3的图象的图象xyy yx x2 22x2x3 32021/8/263探究一：探究一：你的图象与你的图象与x轴的交点坐标是什么？轴的交点坐标是什么？函数函数函数函数y yx x2 22x2x3 3的图象与的图象与的图象与的图象与x x轴两个交点为轴两个交点为轴两个交点为轴两个交点为 （1 1，0 0）（）（）（）（3 3，0 0）方程方程方程方程x x2 22x2x3 3 0 0的两根是的两根是的两根是的两根是 x x1 1 1 ,x1 ,x2 2 3 3 你发现了什么？你发现了什么？你发现了什么？你发现了什么？（1 1）二次函数）二次函数）二次函数）二次函数y yaxax2 2bxbxc c与与与与x x轴的交点的横坐轴的交点的横坐轴的交点的横坐轴的交点的横坐标就是当标就是当标就是当标就是当y y0 0时一元二次方程时一元二次方程时一元二次方程时一元二次方程axax2 2bxbxc c0 0的的的的根根根根（2 2）二次函数的交点问题可以转化为一元二次方程）二次函数的交点问题可以转化为一元二次方程）二次函数的交点问题可以转化为一元二次方程）二次函数的交点问题可以转化为一元二次方程去解决去解决去解决去解决2021/8/264例题精讲例题精讲1. 1. 求二次函数求二次函数求二次函数求二次函数y yx x2 24x4x5 5图像与图像与图像与图像与x x轴的交点坐标轴的交点坐标轴的交点坐标轴的交点坐标解：令解：令解：令解：令y y0 0则则则则x x2 24x4x5 5 0 0解之得，解之得，解之得，解之得，x x1 1 5 ,x5 ,x2 2 1 1 交点坐标为：（交点坐标为：（交点坐标为：（交点坐标为：（5 5，0 0）（）（）（）（1 1，0 0）结论一：结论一：结论一：结论一：若一元二次方程若一元二次方程若一元二次方程若一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的两个根是的两个根是的两个根是的两个根是x x1 1、x x2 2， 则抛物线则抛物线则抛物线则抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c与与与与x x轴的两个交点坐标分别是轴的两个交点坐标分别是轴的两个交点坐标分别是轴的两个交点坐标分别是A A（ ），），），）， B B（ ）X X1 1，0 0X X2 2， 0 02021/8/265练习：练习： 求函数图像与求函数图像与x轴的交点坐标是轴的交点坐标是什么？试试看！什么？试试看！ yx26x9 y2x23x-52021/8/266与与x x轴的公共点个数轴的公共点个数2 2个个1 1个个0 0个个一元二次方一元二次方程根的个数程根的个数2 2个等根个等根0 0个个b b2 2-4ac=0-4ac=02 2个不等根个不等根b b2 2-4ac-4ac0 0b b2 2-4ac-4ac0 0探究二：探究二：探究二：探究二：二次函数与二次函数与二次函数与二次函数与x x轴的交点个数与一元二次方程的解有关系吗？轴的交点个数与一元二次方程的解有关系吗？轴的交点个数与一元二次方程的解有关系吗？轴的交点个数与一元二次方程的解有关系吗？2021/8/267一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0有两个不等的实数根有两个不等的实数根结论结论2 2：抛物线抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c与与x x轴有两个公共点轴有两个公共点抛物线抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c与与x x轴的交点个数可由轴的交点个数可由一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的根的情况说明：的根的情况说明：抛物线抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c与与x x轴有唯一公共点轴有唯一公共点一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0有两个相等的实数根有两个相等的实数根抛物线抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c与与x x轴没有公共点轴没有公共点一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0没有实数根没有实数根 1 1、b b2 2-4ac-4ac0 0 2 2、 b b2 2-4ac =0 -4ac =0 3 3、 b b2 2-4ac -4ac 0 0 2021/8/268结论：结论：对于二次函数对于二次函数yax2bxc，（1）b24ac0 函数与函数与x轴有两个交轴有两个交点点（2）b24ac0 函数与函数与x轴有一个交轴有一个交点点（3）b24ac0 函数与函数与x轴没有交点轴没有交点2021/8/269例题精讲例题精讲例题精讲例题精讲2. 2. 判断下列二次函数图象与判断下列二次函数图象与判断下列二次函数图象与判断下列二次函数图象与x x轴的交点情况轴的交点情况轴的交点情况轴的交点情况（1 1）y yx x2 21 1；（2 2）y y2x2x2 23x3x9 9；（3 3）y yx x2 24x4x4 4；（4 4）y yaxax2 2（a ab b）x xb b（a a、b b为常数，为常数，为常数，为常数，a0a0）解：解：解：解：（1 1） b b2 24ac4ac0 02 2 4 411（ 1 1） 0 0 函数与函数与函数与函数与x x轴有两个交点轴有两个交点轴有两个交点轴有两个交点 2021/8/2610例题精讲例题精讲例题精讲例题精讲2. 2. 判断下列二次函数与判断下列二次函数与判断下列二次函数与判断下列二次函数与x x轴的交点情况轴的交点情况轴的交点情况轴的交点情况（1 1）y yx x2 21 1；（2 2）y y2x2x2 23x3x9 9；（3 3）y y x x2 24x4x4 4 ；（4 4）y yaxax2 2（a ab b）x xb b（a a、b b为常数，为常数，为常数，为常数，a0a0）解：解：解：解：（2 2） b b2 24ac4ac3 32 2 4 4 （ 2 2） （ 9 9） 0 0 函数与函数与函数与函数与x x轴没有交点轴没有交点轴没有交点轴没有交点 2021/8/2611例题精讲例题精讲例题精讲例题精讲2. 2. 判断下列二次函数与判断下列二次函数与判断下列二次函数与判断下列二次函数与x x轴的交点情况轴的交点情况轴的交点情况轴的交点情况（1 1）y yx x2 21 1；（2 2）y y2x2x2 23x3x9 9；（3 3）y y x x2 24x4x4 4 ；（4 4）y yaxax2 2（a ab b）x xb b（a a、b b为常数，为常数，为常数，为常数，a0a0）解：解：解：解：（3 3） b b2 24ac4ac4 42 2 4 4 14 14 0 0 函数与函数与函数与函数与x x轴有一个交点轴有一个交点轴有一个交点轴有一个交点 2021/8/2612例题精讲例题精讲例题精讲例题精讲2. 2. 判断下列二次函数与判断下列二次函数与判断下列二次函数与判断下列二次函数与x x轴的交点情况轴的交点情况轴的交点情况轴的交点情况（1 1）y yx x2 21 1；（2 2）y y2x2x2 23x3x9 9；（3 3）y y x x2 24x4x4 4 ；（4 4）y yaxax2 2（a ab b）x xb b（a a、b b为常数，为常数，为常数，为常数，a0a0）解：解：解：解：（4 4） b b2 24ac4ac（a ab b）2 2 4 4 （ a a ） （ b b） （ a a b b）2 2 0 0 函数与函数与函数与函数与x x轴有一个或两个交点轴有一个或两个交点轴有一个或两个交点轴有一个或两个交点 2021/8/2613探究三、探究三、抛物线抛物线y=ax2+bx+c与与y轴轴的交点情况的交点情况?对于抛物线抛物线y=ax2+bx+c与与y轴的交点可令轴的交点可令x=0则则y=c.结论结论3:抛物线抛物线y=ax2+bx+c与与y轴只有一个交轴只有一个交点为点为(0,c).2021/8/2614 二次函数与二次函数与二次函数与二次函数与x x轴的交点个数可以借助判别式解轴的交点个数可以借助判别式解轴的交点个数可以借助判别式解轴的交点个数可以借助判别式解决，那么二次函数与一次函数的交点个数又该怎么决，那么二次函数与一次函数的交点个数又该怎么决，那么二次函数与一次函数的交点个数又该怎么决，那么二次函数与一次函数的交点个数又该怎么解决呢？解决呢？解决呢？解决呢？ 例如，二次函数例如，二次函数yx22x3和一次函数和一次函数yx2有交点吗？有几个？有交点吗？有几个？ 分析：两个函数的交点是这两个函数的公共解，分析：两个函数的交点是这两个函数的公共解，分析：两个函数的交点是这两个函数的公共解，分析：两个函数的交点是这两个函数的公共解，先列出方程组，消去先列出方程组，消去先列出方程组，消去先列出方程组，消去y y后，再利用判别式判断即可后，再利用判别式判断即可后，再利用判别式判断即可后，再利用判别式判断即可. .探究四探究四2021/8/2615例题精讲例题精讲3.二次函数二次函数yx2x3和一次函数和一次函数yxb有一个公共点（即相切），求出有一个公共点（即相切），求出b的值的值.解：由题意，得解：由题意，得 消元，得消元，得 x2x3 xb 整理，得整理，得x22x （3 b） 0 有唯一交点有唯一交点 （2）2 4（ 3 b） 0解之得，解之得，b 4y yx x2 2x x3 3y yx xb b2021/8/2616探究五探究五:如果如果 (a0)的图象与的图象与x轴的交点轴的交点坐标为坐标为(x1,0),(x2,0),你能否讨论当你能否讨论当x为何值为何值 时时,y0.y=0.y0呢呢?练习:已知抛物线 y=x2-3x-4(1)求抛物线与x轴,y轴的交点坐标.(2)求抛物线与x轴两交点之间的距离.(3)当x为何值 时,y0.y=0.y0.结论结论4: 图(1)当当xx1或或xx2时时,y0.当当x=x1或或x=x2时时y=0.当当x1xx2时时,y0. 图(2)当当x1xx2时时,y0当当x=x1或或x=x2时时y=0.当当xx1或或xx2时时,y0.xxyyoox1x2x1x2(1)(2)2021/8/2617交流总结交流总结同学们，通过这节课的学习，你收获了什么？2021/8/26182021/8/2619 刚才的发言，如刚才的发言，如有不当之处请多指有不当之处请多指正。谢谢大家！正。谢谢大家！2021/8/2620部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！