1创新课堂教学理念，突显数学思维能力的培养 摘 要：摘 要： 新的考试大纲对数学思维能力提出了更高的要求， 增加应用性和能力型的试题，强调对数学能力的考查而新教材也确实突出了对数学能力尤其是数学思维能力的培养本文试图围绕新教材，谈谈在新教材教学中的一些感想，即通过以下方式： 采取变式教学， 辨伪存真， 培养思维的深刻性； 运用多种联想，培养思维的灵活性；发展求同存异，培养思维的广阔性；整理知识结构，培养思维的系统性从而培养学生的数学能力素质 关键词：关键词：数学能力 变式教学 求同存异 知识结构 考试大纲明确提出，高考要求具有一定的数学视野，认识数学的科学价值和人文价值，崇尚数学的理性精神，形成审慎思维的习惯考试中将注重对数学思维和方法的考查，增加应用性和能力型的试题融知识、方法、思维、能力于一体，全面检测考生的数学素质同时，越来越多的数学教师认为：数学教学内容不应是那些孤立的概念、法则、公式、定理等知识点，而应是存在于不同数学知识间的重要的数学关系， 常用的数学思想方法 数学教学要充分展示知识的发生、形成过程，能力的形成过程，真正教人以聪明，授人以才智，既开发人的智力，又培养人的能力由此可见，提高数学能力素质，对于每一位学生来说，都具有十分重要的意义，特别是新教材，在这方面作了大量的尝试和努力数学能力主要包括逻辑思维能力、空间想象能力、运算能力、分析和解决问题的能力而数学思维能力是培养能力的核心本文试图结合新教材，就如何培养学生数学能力素质谈几点体会 一、采取变式教学，辨伪存真，培养思维的深刻性 一、采取变式教学，辨伪存真，培养思维的深刻性 思维的深刻性，就是撇开事物的表面现象，从本质和联系上理解事物，挖出事物的内涵、外延，揭示事物本质属性在数学教学中，应发扬变式教学，从不 2同方面突出问题的实质，从而培养学生思维的深刻性在解析几何中，有这样一道常规题目： 例 1 已知直线:2l yx=与抛物线22yx=相交于,A B两点求证：.OAOB 这是一道比较简单的题目，关键是从本题表象出发，能否揭示与此问题相关的数学思想方法，向深度拓展呢？我首先启发学生用如下方法解决： 证法一: 求出 A、 B 坐标， 由勾股定理222OAOBAB+=， 可证1OAOBKK= 证法二:求出 A、B 坐标，可证1OAOBKK= 证法三:联立方程得2640XX+=，由韦达定理及 1OAOBKK= 1212y yx x=可得接着拓展引申： 变式 1 直线yxb=+与抛物线22yx=相交于,A B两点，b为何值时.OAOB 变式 2 直线yxb=+与抛物线22yx=相交于,A B两点，求线段 AB 的长 思路 22()()BABAABxxyy=+ 思路 2121ABKxx=+ 变式 3 已知直线:2l yx=与抛物线22yx=相交于,A B，且.OAOB，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程 由此可见，从一道简单的“证明垂直”问题出发，既检查和培养了学生“设而不求”的数学思想， “待定糸数法”思想，同时又引发出解析几何中两类重要问题， “弦长”问题和“中点轨迹”问题，巩固了求弦长的方法，课堂容量大也深刻地揭示了“垂直” 、 “弦长” 、 “轨迹”等问题之间的联系同时，学生学习起来并不困难学生在一题多解、一题多思、一题多变中掌握了本应由几节课才能解决的问题，课堂气氛也十分活跃，真正减轻了学生负担 此外，在教学过程中，我发现， “辨伪”在教学中的作用十分明显学生在 3正常情况下获得问题的成功，印象并不深刻，而意外的失败及由此引出荒谬的结论，其教训反而令人难以忘却如：已知, x y满足46,24xyxy+求2xy+的取值范围若先求出35x,02y，则6212xy+，但2xy+的最小值和最大值不可能同时取到因为(3,0)和(5,2)都不满足题意从而引出这种解法是错误的，而应该用线性规划的方法解题通过这样辨伪存真，学生对这种题的解法就会留下更深刻的印象 二、运用多种联想，培养思维的灵活性 二、运用多种联想，培养思维的灵活性 思维的灵活性是指思维活动的智力灵活程度 它强调根据事物发展的变化情况，及时地提出符合实际的解决问题的假设和新方案而联想是指从一事物想到另一事物的心理活动常有类比联想、归纳联想、关系联想等学会联想，是培养思维灵活性的重要方法例如立体几何中线面角，有时面的垂线很难找到；求二面角，若找到二面角的平面角，则要在两个半平面内各找一条直线垂直于棱，且要相交于一点，工作量较大而如果联想到线面角、二面角都是平面角；联想到线面角与斜线和面的垂线的夹角关系， 二面角的平面角与这两个半平面的法向量的夹角关系时，这两类角就都可以转化为向量问题了从而得到直线 AB 与平面所成角设nv是平面的一个法向量，若,AB nuuu v v是一个锐角，则直线 AB与平面所成角是,AB nuuu v v的余角，即,2AB n uuu v v；若,AB nuuu v v是一个钝角，则 AB 与平面所成角是,2AB n uuu v v 同理， 若, 是二面角l 的两个半平面，,m nuv v分别是, 的法向量，如果,m nuv v起点都在二面角的面内，方向均指向外部或内部，则二面角大小为,m n uv v；若一个指向内部，一个指向外部，则二面角大小为,m nuv v 例 2 如图，在正方体1AC中，,E F分别是棱1111,AD AB中点，求1BC与EFBD面所成的角 分 析 ： 这 道 题 若 用 一 般 的 方 法 ， 过1C作1C OEFBD面，那么垂足在哪里呢?同时，还要证明线 4面垂直， 且求距离时所需要的边边关系也不容易得到 但是若设垂足为 O， 则1OC为EFBD面的 法 向 量 以 D 为 原 点 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 则 有11(0,0,0), (1,1,0),( ,0,1),(1,1),22DBEF1(0,1,1)C，设( , , ),O x y z则1(,1,1),OCxyz= uuuu v再利用线面垂直关系即可求, , ,x y z，从而可求出线面角 这道题如果用几何法，很多同学会觉得很困难而通过关系联想，即线面角与斜线的方向向量和法向量所成角的关系联想，不用也没必要知道垂足在哪里，克服了几何法必须先证线面垂直的弊端，计算量也少关系联想充分展示了数学思维的灵活性，我们刀再次体会到向量法在解决某些立体几何难题中的巨大作用 三、发展求同存异，培养思维的广阔性 三、发展求同存异，培养思维的广阔性 思维的广阔性主要表现为：能全面地、细致地、多方位地研究问题不但能考虑问题本身，而且能善于从不同角度考虑和问题有关的其他变化条件和结果有些基本知识之间既有区别又有联系，若能掌握这些区别和联系，既能巩固类似的知识，又能培养思维的广阔性在高三新教材中，差商和导数是两个学生不易掌握的问题其实，它们的联系更多是形式上的，而区别是本质的 首先， 从变化观点看， 差商yx是函数( )yf x=当自变量x变到xx+时的平均变化率，而导数若dydx是函数( )yf x=对自变量x在某点处的变化率 其次，从几何观点看，差商yx是函数( )yf x=在一点处的割线的斜率，而导数dydx是曲线( )yf x=在一点处切线的斜率 第三，从运动观点看，yx是平均速度，而dydx是某一时刻的即使速度 在新教材中，这种概念上的求同存异，还体现在许多方面，如向量的平行与共线；排列与组合；点面距离、线面距离、面面距离、异面直线间距离等 四、整理知识结构，培养思维的系统性 四、整理知识结构，培养思维的系统性 5 很多学生经常这样谈到： “我在课堂上听起来觉得很容易，而且课后做题也没问题，但是一到考试，成绩始终上不去，这是什么原因呢?”后来我找这些同学分析时发现；这些同学中多数是由于学的知识越多，属于自己的知识却越来越模糊，关键就在于他们没有对知识进行分类、归纳、整理，并形成自己的知识系统其实这个问题在许多同学中都不同程度地存在，我认为，学生是否善于对知识分类、归纳、整理，是能否取得好成绩、尤其是中下学生能否提高成绩的重要原因而这种能力是许多学生都欠缺的因此，教师发挥主导作用，引导学生对知识进行分类分析，综合整理，使知识系统化，有助于学生仔细、全面、系统地思维，从而提高解决问题的能力 首先，整理纵的知识结构，即每个单元之间的前后联系如果能引导学生把学过的知识按前后逻辑联系系统地串起来，既有利于学生对知识的理解和巩固，有利于对知识的迁移和应用例如，学完函数章后，可用例 3 帮助学生整理知识结构 例 3 已知函数2( )lg(253)f xxx=+求定义域；单调区间；x为何值时，函数图 象与x轴相交；与y轴相交；在x轴下方；画出函数大致图象；试比较( )f x与( )lg(1)g xx=的大小 其次，整理横的知识结构，即把分散在各个章节但解决同一类问题的各种知识(方法)系统整理出来，形成一个完整的知识结构当然，这一点，相对于前者来说，对学生要求就更高了例如，我曾经引导学生得出求最值(极值)的七种方法：配方法；判别式法；平均值不等式法(分离常数)；三角函数法；几何图象法；利用线性约束条件；导数法 通过以上结构整理，我想学生对函数这一章所学基本内容就会有一个清晰的脉络，这道题就基本上可以代表函数这一章的学习思路，另外，这道题 6的设问也是一环扣一环，是有条理发展和升华的，符合学生认知规律同时，使学生对求最值(极值)的方法了然于胸， 特别是新教材为我们提供的两种新的求最值(极值)的方法 在此基础上可以进一步引导学生根据具体条件选择具体的方法解决具体的最值(极值)问题，不至于使学生思维停顿甚至“僵化” 当然，教师还要注意引导学生沟通代数、三角、几何各主干章节结构之间的内在联系，加深对基础知识的了解，以便学生综合应用，融会贯通，增强思维组织能力 总之，在新教材中实施数学能力素质教育是一个内涵丰富的课题本文仅作了些肤浅的分析，旨在抛砖引玉在数学教学中如何有效地加强培养数学能力素质，尚需我们从理论到实践执着不懈地去探索和研究 参考书目：参考书目： 中学数学月刊2002、4 中华教育发展论坛中 数学通报2004、12 数学通讯2006、l 浅谈加强学生的数学应用意识 浅谈加强学生的数学应用意识 摘要： 摘要：在教学中通过向学生渗透建模的思想，提高学生的建模能力；通过给一个纯数学问题添加实际背景，让学生感到生活处处有数学，培养学生应用数学的意识；将课内与课外有机地结合起来，让学生参与实际问题的决策，加强学生的数学应用意识；把数学建模活动与综合实践有机地结合起来，使知识学以致用，增强学生的数学应用意识。 关键词关键词： 数学建模 解决问题 增强意识 7数学有纯数学和应用数学两大部分，数学应用的巨大发展是数学发展的显著特征之一。可以说，当今各行各业都需要大批的能够用数学知识解决实际问题的数学人才。从 2004 年秋季开始，我省作为我国第一批实验区进行普通高中新课程实验，推行新课程改革，高中数学新课程的基本理念其中一点是：发展学生的数学应用意识。数学应用的教学能开发学生智力，调节学生心理倾向、激发学生兴趣，有培养学生追溯背景和原则的作用，使其思维发散、个性得到发展，形成分析问题和解决问题的能力， 有利于培养学生的创新精神和实践能力，增强对社会和自然的更深层次的认识。因此，教师应把培养学生的“应用数学意识”落实到数学的教学中去，使学生了解数学在实际生活中的广泛应用，激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力。 下面谈谈在高中数学教学中如何加强学生的数学应用意识。 一、结合课堂教学，向学生渗透建模的思想，提高学生的建模能力。 一、结合课堂教学，向学生渗透建模的思想，提高学生的建模能力。 数学建模是数学学习的一种新的方式， 它为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系， 体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识。数学建模可以通过以下框图体现： 8 在数学必修第三章 P123 给出如下一道例题：某桶装水经营部每天的房租、 人员工资等固定成本为 200 元， 每桶水的进价是 5 元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示： 销售单价元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量桶 480 440 400 360320 280 240 请根据以上数据作出分析， 这个经营部怎样定价才能获得最大利润？ 此题是二次函数一个求最大值的题目。 教师可针对该实例引导学生对实际表中数据进行认真分析，然后建立模型。 此题建模的难点是如何从实际问题的背景中营造一个纯数学问题满足条件的二次函数解析式200520402+=xxy。教学时注意引导学生分析问题所提供的数据特点， 表中数据的变化是有特定规律的：销售单价每增加 1 元，日均销售量就减少 40 桶。由数据特点抽象出函数模型，设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元，而在此情况下的日均销售量就为 xx40520) 1(40480=(桶) 9由于0x，且040520x，即130x，于是可得 20052040200)40520(2+=xxxxy，130x. 易知，当5 . 6=x时，y有最大值为 11.5. 所以，只需将销售单价定为 11.5 元，就可获得最大的利润。 从上面的分析，学生受到了从实际问题抽象成数学问题的训练，同时也增强数学应用意识，提高学生学习数学的兴趣。 二、 通过给一个纯数学问题添加实际背景， 培养学生应用数学的意识。 二、 通过给一个纯数学问题添加实际背景， 培养学生应用数学的意识。 学生在学习数学的时候，一部分学生往往觉得纯数学练习枯燥、乏味，提不起兴趣，此时给练习题添加实际背景，不仅能提高学生学习兴趣，而且培养了学生应用数学的意识。 如在学习数学必修第二章后给出下练习： 已知72732322102. 102. 102. 1,02. 102. 102. 1,02. 102. 1,02. 1+=+=+=LLaaaa. 求721aaaS+=L. 这是在学习等比数列的前n项和而介绍的练习题，是一个数学味较浓的题目。在学生学习、掌握好等比数列的前n项和公式之后，我们引入 P70 习题 2.5 第 5 道习题： 购房问题：某家庭打算 2010 年的年底花 40 万元购一套商品房，为此，计划从 2004 年初开始，每年年初存入一笔购房专用存款，使这笔款到2010年底连本带息共有40万元， 如果每年的存款数额相同，依年利息 2并按复利计算，问每年应该存入多少钱？ 10解：设每年应存入x万元，那么 20042010 年底本利和依次为： xaxa)02. 102. 1 (02. 1221+= xa)02. 102. 102. 1 (323+= xa)02. 102. 102. 1 (727+=L 将以上各项相加，得 xS)02. 102. 1502. 1602. 17(7327+=L 其中407=S，73202. 102. 1502. 1602. 17+L的值已在练习题求得，因而求x的值就转化为求一元一次方程的解。 这道习题给前面练习题锦上添花， 使乏味的纯数学题赋予了生活的气息，其数学应用也得到充分体现，培养了学生应用数学的意识。 三、 将课内与课外有机地结合起来， 让学生参与实际问题的决策，加强学生的数学应用意识。三、 将课内与课外有机地结合起来， 让学生参与实际问题的决策，加强学生的数学应用意识。 在数学教学中提倡数学应用， 是 20 世纪 90 年代以来我国数学教学改革的重要内容，新课标也继续强调发展学生的应用意识。将课内与课外有机地结合起来，让学生参与实际问题的决策，可加强学生的数学应用意识。 例：我校要建造一间背面靠墙的小房作为抽水机房，地面面积为122m，房屋正面每平方米的造价为 1200 元，房屋侧面每平方米的造价为 800 元，屋顶的造价为 5800 元。如果墙高为 3m，且不计房屋背面和地面的费用， 问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？ 11解：设房屋地面长为xm，宽为ym，总造价为z元，则5800480036001258008006120031212+=+=xxxyzxyxy 34600580048001236002=+ 当xx4800360012=时，即3=x时，z有最小值，最低总造价为 34600元。 本题充分发挥学生的主体作用， 使学生在解决数学的实际问题中学会关心学校、关心社会、关心周围环境。他们为能参与学校建设的决策而感到惊奇、欣喜，学习数学的兴趣油然而生。 四、 把数学建模活动与综合实践有机地结合起来， 使知识学以致用，提高学生的数学应用意识。四、 把数学建模活动与综合实践有机地结合起来， 使知识学以致用，提高学生的数学应用意识。 新课程强调综合实践活动的开展，综合实践活动不受教材、教学进度等的限制，因此，学校可以大胆开展一些需学生动手作实验、搞社会调查、实地测量等灵活多样的数学建模活动。例如，我校学生到一工厂调查了解到，工厂生产某种产品，每件产品出厂价为 50 元，其成本为 20 元，因为在生产过程中，平均每生产一件产品有 0.5 3m污水排出，为了净化环境，所以工厂设计两种方案对污水进行处理，并准备实施。 方案 1：工厂污水先净化处理后再排出。每处理 13m污水所耗原料费 2 元，并且每月排污设备损耗费为 30000 元。 方案 2：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理 13m污水 12需付 14 元排污费。 （1）若工厂每月生产 3000 件产品，你作为厂长在不污染环境，又节约资金的前提下，应选择哪种处理污水的方案？ （2） 若工厂每月生产 6000 件产品， 你作为厂长又该如何决策呢？ 学生们经过分析，建立了这样的数学模型： 设工厂生产x件产品时，依方案 1 的利润为1y 元，依方案 2 的利润为2y 元，则 xxxyxxxy185 . 014)2550(3000024300005 . 02)2550(21= 同时，将实际问题转化为数学问题：当x取某一值时求一次函数y的值，并判断大小，再作出选择。由计算可得： （1） 当3000=x时，54000,4200021=yy . 21yy ，故应选择方案 2 处理污水。 （2） 当6000=x时，108000,11400021=yy. 21yy ，故应选择方案 1 处理污水。 并对选择方案进行检验，符合实际要求，故问题得到圆满解决。 本题既展示了数学的应用空间， 又让学生感受数学为实际问题的解决所带来的乐趣。同时，学生在解题过程中主动、自觉地接受了有关函数性质的训练，提高学习函数的兴趣，增强应用函数知识解决实际问题。 数学是一门普遍适用的技术，对此人们已取得广泛共识，这也反映出人们对数学应用价值有了更新、更高的认识。但是，长期以来，我国数学教育对于数学与实际、 数学与其他学科的联系未能给予充分 13的重视。走进新课程之后，作为数学教育核心的数学课程标准，已认识并给予了数学应用的应有位置。因此，作为现在的高中数学教师，更应重视培养学生的数学应用意识。 如果教师在平时的教学中重视向学生提出一些带有应用性的实际问题， 不仅能提高学生学习数学的兴趣，而且能提高学生如何从实际问题中建立数学模型，用所学知识解决实际问题的能力。 参考文献： 1严士健主编： 数学课程标准解读江苏教育出版社，2004 年 3月。 2中华人民共和国教育部制订： 普通高中数学课程标准(实验) 人民教育出版社，2004 年 4 月。 3曹汝成主编： 中学数学研究 华南师大数学系 中学数学研究编辑部，2004 年 8 月。 4查有梁主编： 中学数学教学建模 广西教育出版社，2003 年 6月。 数 学 的 美 育 教 育数 学 的 美 育 教 育 阳东县第一中学袁龙经 前苏联伟大的教育理论家和教育实践家苏霍姆林斯基曾说： “没有审美教育就没有任何教育” 。追求美，是人类文明进步的源动力之一。追求美的境界，构建和谐社会，是我们当今社会的主题。教育正承担着承前启后的重要任务，培养一代又一代的什么样的人，对于整个社会、整个国家、整个民族，是一个非常重大严肃的问题。培养学生德智体美劳全面发展，使具有创新能力和实践能力的人才，已是时 14代的共识。而教会学生会欣赏美、辨别美、创造美和珍惜美，将是教育的重要目标。学以致用，将美好洒满人间，这不正是我们每个人的心愿么？ 一、数学与美 一、数学与美 一提起数学，许多人都会想起那枯燥的数字，抽象的符号，乏味的公式和艰深的推理等等，认为数学与美根本挨不上边。这其实是对数学的表层理解，是“苦学”数学的结果。事实上，数学本身就是美学的四大构件之一。这四大构件就是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学。 1、客观世界中处处存在着数学之美 数学美是对客观世界内在规律的反映。著名科学家伽利略曾说过： “数学是上帝用来书写宇宙的文字” 。 “美丽的大自然常以数学的语言讲话，这个语言的字母是：三角形以及其他各种形体” 。例如，耸立的原始森林是直的，满月是圆的，野玫瑰、百合花、大波斯菊等等的花瓣数是一个斐波拉契数列，雏菊、向日葵的头状花序呈等角螺线；鹰嘴巴、鲨鱼背鳍的形状是一个渐开线，银河的星群形状是一个螺旋线，行星绕恒星运行的轨迹是一个椭圆，且恒星刚好在椭圆的一个焦点上；很多叶片的自下而上的生长排序是一个空间的螺旋线，每相邻两张叶片中线的夹角都是 13728 （如图所示） ，这正是将 360的圆周角按黄金分割的结果。这样的排布是植物叶子通风、采光的最佳布局。 难道它们都懂得数学， 自觉地按照数学的规律来生长？不！这只能是说明了 “数学是这个世界之美的原型” 。 2、数学之美，还在于其内在的、理性的美 数学的语言是用最简洁的语言，用最简洁的方式揭示自然界的客观规律，它所具有的抽象性正是数学最迷人的所在。数学美是客观规律的反映， 它所反映的不单纯是客观事物， 而是融合了人的思维创造。因此，要领悟数学美必须透过， “抽象、枯燥”的符号、公式及定理137028/ 15等洞察其内部的数学思想。当你对数学所揭示的自然规律浮想翩翩时，当你对复杂深奥的数学问题豁然开朗时，你的内心会有说不出的惊奇、喜悦和陶醉，你也就领悟了数学的魅力。 二、 数学美育教育的价值功能 二、 数学美育教育的价值功能 数学追求的目标是，从混沌中找出秩序，使经验升华为规律，将复杂还原为基本。所有这些都是美的标志。因而数学教育是审美素质教育的一部分。大数学家克莱因认为： “数学是人类最高超的智力成就，也是人类心灵最独特的创作。音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。 ”因此，数学的审美教育极其重要，特别是在中小学，以培他们从小就热爱数学以致自然科学等。 1、数学的美能够激发人们的创新、发展的内在动力 数学史的研究表明，希腊几何学家之所以研究椭圆，可以说除了美感之外，再没有什么其他动力了。回顾科学发展史，麦克斯韦在建立电磁理论的过程中，依据法拉弟的实验研究成果，推得两个方程，但两个方程的右边是不对称的， 麦克斯韦于是把第二个方程改写成和第一个方程对称的形式。他这样做，当时并没有任何实验依据，仅从数学美的考虑出发。根据这个改写的方程，麦克斯韦推断出：在宇宙间存在电磁波。20 多年后，物理学家赫兹证明了电磁波的确存在。这正如理论物理学家狄拉克所言： “如果物理方程在数学上不美，那就标志着一种不足，意味着理论有缺陷，需要改进，有时候，数学美要比与实验相符更重要”。数学上的简洁、对称、和谐美，正是刺激他思想的源泉。也许一幅精美的绘画会让许多人一看就爱不释手、兴趣盎然， 却很少有人会对一篇优秀的数学论文产生同样的情感。 但 绘 画大师达芬奇却说：“欣赏我作品的人，没有一个不是数学家”。 2、数学之美，激励着许多人从此走上自然科学之路 历代的科学巨匠无不对数学充满了敬仰之情。例如，十二岁的爱因斯坦，就被欧几里得的几何体系的逻辑推理美所深深激动；阿基米 16得从小就热爱数学，特别擅长几何学，几何学美妙的演绎推理方法使他陶醉；欧拉小时候就受到数学的巨大影响；笛卡儿就因为一次巧妙成功地应解了一道数学难题，使他沉醉于数学的魅力，于是决定终生研究数学，后来便开拓出了数学里程碑式的新领域解析几何。 在古希腊，数学家帕普斯是丢番图最得意的一个学生，他很小的时候就跟随丢番图学习数学。有一天他向老师请教一个问题：有四个数，把其中每 3 个相加，其和分别为 22、24、27、20，求这四个数。这个问题看起来很简单，但具体做起来却有一定的复杂性。帕普斯请教丢番图有没有什么巧妙的方法可以解答这个问题。 丢番图提出了一个巧妙的解法，他不是分别设四个未知数，而是设四个数之和为x，那么四个数就分别为22x，24x，27x和20x，于是得方程)20()27()24()22(+=xxxxx。解之得31=x。从而得到四个数分别为 9、7、4、11。对于老师漂亮的解法，帕普斯非常的佩服，从而坚定了毕生研究数学的意愿，成了一位著名的数学家。 三、 数学美育教育的途径 三、 数学美育教育的途径 我国数学家徐利治认为：“数学教学的目的之一是使学生获得对数学的审美能力，即能增进学生对数学美的主观感受能力。 ”数学是人类文明的结晶，数学的结构、图形、布局和形式无不体现数学中美的因素。而无容置疑，成功的教学将给人以一种美的享受。数学的教学过程不仅仅是学生个体的认识过程和发展过程， 而且是在教师指导下的一种特殊审美过程。 1、展示数学美，培养学生对数学的美好情感 老师在课堂上展示数学的和谐、奇异之美，能在同学们的内心深处由衷地产生无比的喜悦和冲动，刻骨铭心。 例如：已知cba=+sincos，cba=+sincos，其中k2，+Zk。 求证：2cos2sin2cos=+=+cba。 17初看此题，是一道三角恒等式的证明题，且与正弦定理相似。但这里又没有三角形出现，而学生也很厌烦繁琐的三角变换。怎么办呢？我们试探其它的方法： 发现cba=+sincos，cba=+sincos是直线方程：cbyax=+的形式则点)sin,(cos和)sin,(cos在直线cbyax=+上，而由直线的两点式方程，又得到该直线方程的另一种形式为： coscossinsincossin=xy 整理，得 )sin()cos(cos)sin(sin=+yx 比较原直线方程，则有 )sin(coscossinsin=cba （下面可用积化和差、二倍角公式将分母展开，消去公因式即得结论） 至此，命题得证。这种证法，融三角、直线方程等知识于一体，思路简捷、清晰、灵活，使学生体验到解题的乐趣和数学之美。新颖的方法带来了意想不到的效果，这就是数学的奇异美。它使严肃、程式化的数学世界充满了勃勃生机。 2、挖掘数学美，激发学生的探索性精神 数学之美往往比较含蓄，这就需要老师在课堂上去诱导、挖掘。通常可使用一题多解，解决同一个问题，可以使用多个数学工具，联系多个知识点，体验多种解题思想。另外，数学美作为一种诱因，往往能促进学生对数学知识的理解与掌握。 因势利导， 问题的洽当设置，能使学生对数学活动本身产生持久的兴趣，激发他们的探索性精神。 例如，在对数函数的教学中，当学生通过例题知道xy2log=和xy21log=的图象和之后，就认为函数xyalog=（1, 0aa且）的图象及性质都知道了，没有进一步去研究的动机。这时及时地设置任务和问题： （1）在同一坐标系内画出xy2log=、xy5log=、xy21log=和xy51log=的图象； （2）判断7log2、7log5、7log21和15log 7的大小。 18学生在画图的同时，产生了“弄清楚这些图象的共性、个性和相互之间的关系”的动机。在此动机的驱使下，学生主动地探索规律性的结论， 这些结论容易与学生原有的知识相结合， 形成新的认知结构，从而产生不可言传的数学美。 3、追求数学美，唤醒学生的审美意识 在数学教学中，要充分挖掘数学美的因素，启发学生的审美意识，引导他们对美的追求。例如，在推导椭圆的标准方程时，由定义“到两定点 F1(c,0)和 F2(-c,0)距离之和为定长 2a的点的轨迹” ，可直接写出方程： aycxycx2)()(2222=+ 这个方程虽然正确，但不满足简洁美的原则，故化简整理成： 122222=+cayax 但仍觉得不太和谐，于是令222cab=，得到标准方程： 12222=+byax 这是个相当美的形式。方程中的b的引进开始纯粹是为了追求方程的和谐美，但在进一步的研究中发现，a、b恰为椭圆的长、短半轴长，b竟有鲜明的几何解释。于是人们内心世界所追求的美恰好在外面世界得到了如此完美的印证。 这体现了美与真之间微妙和谐的统一。 心理学告诉我们，环境是智力发展的决定条件。而数学美教育就是在创造发展学生智力的良好环境。从学生整个智力活动的发展来看，强调数学教学美尤其重要。因为美的形象易于学生培养其感知能力，特别是观察能力。一节好的数学课，对于学生来说，不仅使他们获得知识，而且是一种美的享受。美的形象能在学生脑里长期萦绕。 参考文献：参考文献： 1王元明著数学是什么？东南大学出版社2003 年 7 月第一次印刷 2刘培杰主编解题通法及选择题解法哈尔滨出版社1994 年 10 月第一版 193刘劲予主编广东教育学院学报（第 21 卷） 中学数学教育研究专辑2001 年 12 月 浅论培养学生自主学习数学的能力和合作意识的一种模式-课外小组互动 浅论培养学生自主学习数学的能力和合作意识的一种模式-课外小组互动 【 摘要 】 ：本文通过课外小组互动的模式来探索培养提高学生自主能力行之有效的模式，提出小组的组成和内容，发现小组互动过程中的一些问题和解决方法 【 关键词 】 ：自主学习 数学 合作意识 模式 自主学习是近几年在教育界掀起了一阵阵的飓风。新课改的推行，数学学习方面对学生的自主学习能力进一步提出了更高的要求， 如何探索培养提高学生自主能力行之有效的模式，成了中国环境下的教育难题。课堂合作学习小组作为新课程倡导的三种学习方式之一，是培养学生的自主学习的一种模式。把课堂学习小组活动的形式迁移到课外，这里探讨了一种利用课外兴趣小组互动的形式，让学生从中提高自主学习数学的能力和合作解决问题的意识 。实践过程中，发现学生学习数学的兴趣和活动的参与性比较高，在不断完善的中，收到一定的成效 。 一、课外小组互动模式的描述 根据新课标，数学的学习对学生提出了不同的学生学不同的数学，允许学生的个性发展，提倡不同的学生有不同的收获。所以小组互动模式按下进行： 1数学课外小组分层情况 小组互动 提交报告（作业）寻求帮助 遇到问题 布置任务 获得协作 解决问题反馈信息 20这里和课堂小组分层情况略有不同，一般课堂学习小组的划分通常做法是：将全班学生按数学成绩划分为优 、良 、中 、差四个层次 ,把四个层次的学生适当搭配 ,分成合作小组 ,使每个组都有四个层次的学生 ,而且各组间每个层次的人数和性别比例基本平衡 。 课外互动小组是根据学生的爱好和兴趣，对学生对学习数学的不同需求，小组分两类 。一类：数学基本概念探求组；另一类：数学能力提高组；每类又分若干小组， 每小组成员控制在 4-5 人， 另每小组设小组组长一名， 小组组长 （注：小组组长有成绩较好，责任心和组织能力较强的担任）负责日程活动的组织 。另外每一个数学基本概念探求小组都从能力提高组中寻找一小组作为固定帮扶 。 2小组活动内容及相关组织 数学基本概念探求组的主要活动内容：就课堂学习内容提出疑问，通过小组讨论，查阅资料小组内解决 。当小组内没有办法完成时，再向自己的关联帮扶小组提出请求帮助，下相应能力小组帮忙解决，再没有办法解决的，两小组一起请求老师的帮助；完成老师布置的相关作业和活动内容；探讨一些有趣，开放性的数学问题。提高学生对数学的兴趣 。 例如：一次布置小组各个成员先独立把正弦函数 、余弦函数、正切函数的图象准确画出来，准确记忆和理解性质 。然后再完成一些相关的基础题。再带着疑问，每一个小组成员轮流提出疑问，小组一起讨论以及查资料验证解决 。 准备好专用练习本，把所理解的和疑问的解决都记在该本上，并完成老师布置的小组活动作业 。 数学能力提高组活动内容的主要活动内容： 小组内部解决近段时间的疑难问题，没有办法解决的，向其他能力小组请求帮助，没有办法解决，再一起向老师请求帮助；完成老师布置的相关作业和活动内容；专题形式，每次有针对性地完成相关的一些能力问题的探讨和理解，并提交活动作业；探讨开放性的数学问题 。 最后，都要提交课外小组活动的报告或作业，把情况反馈到老师处 。 活动时间：一个星期 2 次，每次 1 小时左右，时间可利用星期六，星期天部分休息时间，或者下午的一些活动课 。不同的课外小组，有不同的任务，有不 21同的发展 。 例如专题式的学习，比如一般现在学生的数学应用题，特别是涉及到数学阅读能力方面，在小组互动时，老师每次布置几道阅读量较大的相关应用题，学生先孤立完成 。然后小组带着问题和疑问，每个成员轮流提出疑问，并讲述自己对该题目的理解和解决思路，小组内部进行的讨论和比较 。 准备好专用练习本，把所理解的和疑问的解决都记在该本上，并完成老师布置的小组活动作业 。 二、课外小组互动的理论依据及作用 1.建构主义学习理论 建构主义学习理论是合作学习的重要理论基础。该理论认为：学习过程不是学习者被动地接受知识，而是积极的建构知识的过程；学习不单是知识由外向内的转移和传递，更是学习者主动建构自己的知识经验的过程 。 所以建立和组织课外数学学习小组作为一个学习群体并成为其中一员， 是引导学生自主学习数学的能力和合作意识 。 2.马斯洛的“需要”理论 教育理论，提出教育的交往起源说和交往的本质论认为“交往是人与人之间共同活动中的需要，在交往中得到发展”。我国古代教学理论中也指出 “独学而无友，则孤陋而寡闻”等，这都说明相互合作 、交流在学习中的重要作用 。特别是在现代科学技术高速发展的今天，任何一项发明创造除了个人钻研，还需要集体合作和协调，因此，不管是学习还是工作，“合作”在其中起着重要的作用，是事物发展的主要动力 。教学中应当充分体现这一特点，顺应发展规律和社会发展的要求，使学生在“学会学习”，“学会生存”的同时，“学会合作”。 3.“群体动力”理论 在一个合作性的集体中，具有不同智慧水平，不同知识结构、不同思维方式的成员可以相互启发，相互补充，在交流的撞击中，产生新的认识，上升到创新 22的水平，用集体的力量共同完成学习任务 。合作学习正是在充分借鉴集体动力理论的前提下，形成和发展了自己的理论思想 。 三、数学小组互动实践过程中的状况以及完善意见 1注意基础小组人员的合理化，如果基础都是很薄弱的，就没有达到合作讨论解决问题的目标 。尽量能安排一组有 1-2 个数学基础较好的同学，有责任心而且有兴趣探讨基本概念问题的学生在其中 。 2容易犯个别同学的独创讲话，或发言混乱 。小组合作学习要人云亦云，取代独创，每次如果按照独立完成任务的快慢，和多少为顺序来发言 。 3能力小组部分，选择的数学问题要具有一定的挑战性 。过于简单，会淡化小组互动的兴趣，没有成就感，但也不能太难。一般选择开放型问题和解决多种途径化的问题较好 。 3 要有长期的计划， 让每个小组成员都能清楚的知道小组互动要做点什么 。否则容易造成混乱，互动效果受到影响 。 4.及时反馈总结。这样能及时发现问题和解决疑难，以免影响下来的计划，在解决问题的时候，尽量授之以法，指导怎么思考，怎么解决问题 。 5.科学评价学生的小组合作学习。要有一定的评价和奖励的措施，否则会影响学生长期互动的积极性 。这里可以通过阶段性小组互动成果，数学的学习能力的进步、或良好小组风气等项目进行评选和给予奖励 。 四、结语 数学的课外小组互动， 是从课堂小组活动的一种延伸， 这样从有限的时间内，让学生充分利用，对数学问题有目的地进行交流和互动，让学生在数学的自主学习和合作方面得到发展 。 活动过程中，我们应当多和参与其中的学生进行交流和询问他们的见解，会有更多的惊喜 。 参考资料： 231 “浅谈小组合作学习的实施” ， 作者：唐志 、周勇， 四川教育学院学报 2002 年 10 期 2“论合作学习的基本理念”，作者：王坦， 教育研究 2002.2 3. “小组合作学习实施策略浅谈” ，作者：赵海春 ， 现代语文 (教学研究版), 2006 年 06 期 4. 数学课程标准 （实验稿），京师范大学出版社 培养学生自主学习能力的数学课堂教学模式培养学生自主学习能力的数学课堂教学模式 内容摘要内容摘要：传统的教学方法以教会学生为目的，以教师为中心，课堂忽略了学生的主体作用，几乎看不到猜想、实验、观察、推断等学生亲身体验的实践探究活动。新课程要求确立新的学习方式，如自主学习、探究学习和合作学习等。本文就构建“培养中学生自主学习能力的数学课堂教学模式” ，尝试探讨研究适应新课程的数学课堂教学方法，使课堂教学成为一个双边活动过程，从而调动学生自身的学习潜能，进行自主学习，成为课堂学习的主人。 关键词关键词：自主学习 提 点 解 思 一、教学思路一、教学思路 学生学习知识不是一个被动吸收、机械记忆、反复练习、强化储存的过程。一个有意义的学习过程应是：学生以一种积极的心态，调动原有的知识和经验尝试解决新问题、同化新知识，并构建他们自己的认知结构的过程。但在具体的教学过程中较为普遍的现象是：教师始终是课堂的主宰者，课堂几乎看不到猜想、实验、观察、推断等学生亲身体验的实践探究活动，忽视了学生个体自主发展的实际需要，忽视人的主动性和能动性。这种教学方式，严重影响着学生的学习行 24为。在新一轮课改中高中数学新课程标准明确指出：动手实践、自主探究、合作交流。 这就要求教师在进行教学活动时应十分重视学生自主学习数学能力的培养，同时培养他们的探索能力、解决问题的能力、应用意识和创新精神，使学生能更快更好地掌握吸收所需知识，学会学习。针对这些，我校以“自主学习”为指导思想进行教学模式研究和实践。 模式的教学思路：充分挖掘学生的潜能，以培养学生的数学创新意识、创新精神、创新能力和解决实际问题的能力为宗旨，以学生为主体、以教师为主导，以学生自我评价为主要评价方式，在教学模式上突显“提、点、解、思”四字。“提” （教师向学生提出问题，学生向教师提出问题） 、 “点” （教师点拔） 、 “解”（让学生亲历解决问题的过程） 、 “思” （让学生学会对解决问题过程思考） 。 二、教学模式二、教学模式 自主学习教学模式包括六步： 第一步： 设创设情境， 营造气氛； 第二步：提提出问题，引发思维；第三步：点教师点拔，开发思路；第四部：解自主探索，解决疑难；第五步：思交流反馈，完善思路；第六步：练巩固应用，问题延伸。其流程图如下； 25 1、设：创设情境，营造气氛，教师通过精心设计教学程序，利用现代教育技术，创设新颖奇妙、引人入胜与主题相关的、尽可能真实的情境,使学习能在和现实情况基本一致或相类似的情境中发生。学生在实际情境下进行学习，可以激发学生的联想思维，激发学生学习数学的兴趣与好奇心,勾起学生的创新欲望。 2、提：提出问题，引发思维，教师通过精心设计教学程序，指导学生自我设问、学生之间设问、师生之间设问，培养学生提出问题的能力，促使学生由过设 创设情景 激发学生学习数学的兴趣与好奇心 应用 培养学生理解能力、 自我评价能力 例题练习选讲 达标级练习 提高级练习 点 提 学生自我提问学生自我设问师生提问训练学生质疑猜想的能力 教师点拔帮助学生打开思维缺口 培养学生的自主学习能力、竞争意识、合作精神 协作学习 交流反馈 完善结论与思路培养学生的数学创新能力，完善解决问题在思维过程 思 解 自主探索 26去的机械接受向主动探索发展。 3、点：教师点拨，打开思路，教师注意课堂提问的设计，多提一些有梯度的问题，提高问题的质量，激发学生的思维。同时要允许学生从不同角度提出问题和作出解答，让所有学生都能参与讨论。此环节教师不轻易把学生的思路纳入自己思路，而是通过巧妙的点拔和引导，启发学生使他们能自己展开思路，得出结论。 4、解：自主探索，解决问题，学生在教师指导下独立探索。 “解”和“点”是紧密联系的。先由教师启发引导，然后让学生自己去分析，探索过程中教师要适时提示，帮助学生沿概念框架逐步攀升。学生始终处于主动探索、主动思考的认知主体位置， 但是又离不开教师事先精心的教学设计和在协作学习过程中画龙点睛的引导; 教师在整个教学过程中说的话不多，但是对学生的帮助却很大，充分体现教师指导作用与学生主体作用的结合。 在“解”的过程中还要体现协作学习，互释疑难 教师指导学生在个人自主探索的基础上进行小组协商、交流、讨论、操作实验，进一步完善和深化主题，并通过不同观点的交锋，补充、修正、加深每个学生对当前问题的理解。通过这种合作和沟通，学生可以看到问题的不同侧面和解决途径，从而对知识产生新的洞察。也提高学生的协作能力。 5、思:交流反馈，完善结论：在学生得出初步结论后，教师及时总结学生的探索情况，让学生畅所欲言，提出自己的见解，同时发表在探索中发现的问题。在这一环节教师要用赞赏的态度，激励的语言，友好的微笑倾听学生的发言，使学生在毫无压抑的氛围中陈述自己的观点，充分肯定学生积极思考问题的态度。此时学生提出的问题有些是正确的，但有些仍然是错误的，教师不要急于纠正学生的观点，而应循循善诱，铺设认知的台阶，引导学生继续探索，使学生得出正确结论。 6、巩固应用，问题延伸：为了学生有成功感，就是让学生应用自己得出的结论去解决问题。我们可以将例题和练习分几个层次：达标级按教学大纲要求设计，提高级在达标级基础上变式练习，深化级增加了新旧知识联系的综合层次练习， 欣赏级提供与学习内容有关的高考试题和数学竞赛试题分析与解答。使得基础薄弱的学生有信心，高分段的学生有激励作用。 27三、教学实例三、教学实例 【课题】 ：导数的几何意义(一) 【教学目标】 （1）知识与技能目标： 1.使学生掌握函数)(xf在0xx =处的导数()0/xf的几何意义就是函数)(xf的图像在0xx =处的切线的斜率，即： ()()xxfxxfxfx+=)(lim0000/切线的斜率； 2.使学生体会“以直代曲”的思想方法。 （2）过程与方法目标： 通过让学生观察、探索、反思、总结，发现问题，解决问题，从而达到培养学生的学习能力，思维能力，应用能力和创新能力的目的。 （3）情感、态度与价值观： 通过运动的观点激发学生学习数学的兴趣 ,让学生经历探究 “导数的几何意义”的过程以获得理智和情感体验. 【教学手段】 采用计算机（Powerpoint,几何画版）等多媒体手段，增大教学容量与直观性，激发学生的兴趣,有效提高教学效率和教学质量。 【教学重点与难点】 重点：导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法。 难点：发现、理解及应用导数的几何意义。 【教学过程】 1、第一步、第一步“创设情境，营造气氛创设情境，营造气氛” 用多媒体演示田亮跳水的录像，让学生观察田亮的瞬时运动状态。学生发现田亮上升时，速度越来越慢，到最高点后开始下降，速度越来越快。 2、第二步、第二步“提出问题，引发思维提出问题，引发思维” 1教师将精彩的跳水过程转化为跳水高度随时间变化的函数图象。 28 2教师问：不让你看录像，只是从图像上你能看到运动员的瞬时运动状态吗？ 引发学生思考：从图像看瞬时运动状态，看什么？ 3教师问：瞬时运动状态与数学中那个概念相关？ 引发学生思考：瞬时运动状态瞬时变化率，只要考虑瞬时变化率在图上的意义就得了（几何意义） 第三步：点教师点拔，开发思路第三步：点教师点拔，开发思路 思维顺化，进入主题 教 师 问 1 ： 数 学 中 很 多 式 子 或 概 念 都 有 几 何 意 义 ， 平 均 变 化 率0000()()()f xxf xxxx+ + 的几何意义是什么？你能借助图像说说吗？出示图 1 PnP0()f xx+ 0x0xx+PnP0()f xx+ 0x0xx+ 学生通过作图 2 后发现回答：平均变化率的几何意义就是割线PPn的斜率。 教师问 2：导数是什么？ 导数)(0/xf是函数)(xf在0xx =处的瞬时变化率，即： t0t1t2t3t4th 图 1 图 2 29()()xxfxxfxfx+=)(lim0000/ 教师问 3：导数)(0/xf有几何意义吗？怎样探究导数)(0/xf的几何意义？ 引发学生思考：从定义出发。从平均变化率向导数的变化过程开始思考。 第四步：解自主探索，解决疑难第四步：解自主探索，解决疑难, （这一过程只要是引导学生，从“形”的角度自主探索导数的几何意义） 教师问 1：0x时， 割线nPP有什么变化？请学生动手画图， 体验nPP的变化过程 xPynP0()f xx+0x0( )f x0xx+p1p2xPynP0()f xx+0x0( )f x0xx+p1p2PynP0()f xx+0x0( )f x0xx+p1p2 学生通过合作，作出上图，体会初步结论：PPn趋于确定位置 教师引导学生亲自动手演示几何画版，拖动Pn使x趋于 0，观察： （如图） 108642-2-410-551015xCPPn108642-2-410-551015xCPPn 此时，有的学生会考虑到x可正可负，引导其演示x为负的情况 30108642-2-410-551015xCPPn108642-2-410-551015xCPPn 引导学生发现： （数的变化） ：0x，00(, ()nP xx f xx+ + 00(, (),P xf x 当0x，割线nPP有一个无限趋近的确定位置（这个确定位置上的直线叫做曲线在0xx =处的切线） （形的变化） ：0x，点P不动，割线nPP有一个无限趋近的确定位置切线PA， （割线nPP的斜率切线PA的斜率） （数形结合） ：()()xxfxxfxfx+=)(lim0000/切线PA的斜率。 学生总结：函数)(xf在0xx =处的导数()0/xf的几何意义就是函数)(xf的图像在0xx =处的切线 PA 的斜率。 第五步：思交流反馈，完善结论；第五步：思交流反馈，完善结论； 教师问：回顾上面过程，在点P附近，12,PP PP那段更贴近曲线 ( )f x？有比它们更贴近( )f x的直线吗？ 学生讨论后，发现过点P的切线最贴近点P附近的曲线，在点P附近，曲线( )f x就可以用过P的切线近似代替。 （体现以直代曲思想） (一) 例题选讲，加深理解： 例 1：求曲线3yx=在点(1,1)处的切线方程。 （学生自己做，教师点评） (二)在实践中创设情境，激发新的思维碰撞 311曲线3yx=在点(1,1)处的切线与曲线 C 的公共点是唯一的一点 A（1，1）吗？（教师引导学生用几何画板作图找结论） 2教师提问：此处切线定义与以前学过的切线定义有什么不同？（教师展示 Powerpoint 动画。 ） 2l1lxyABC 强调切线的定义：通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线（交点可能不惟一） ，适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。 第六步：练巩固应用，问题延伸。第六步：练巩固应用，问题延伸。 例2 、 如 图 . 它 表 示 跳 水 运 动 中 高 度 随 时 间 变 化 的 函 数h(t)=-4.9t2+6.5t+10 的图象。根据图象请描述、比较曲线 h(t)在 t0、t1、t2的变化情况。 t0t1t2t3t4tht0t1t2t3t4tht0t1t2t3t4th 学生合作动手作图， 然后学生分组说明结果。 （本题目主要体现以直代曲思想） 32练习：如图，试描述函数( )5, 4, 2,0,1f xx= 在附近的变化情况 xy-1-2-3-4-5-612-40-90-140xy-1-2-3-4-5-612-40-90-140 作业：分层要求： （必做）求曲线223yx=在点8(2, )3处的切线方程。 （合作探究）求过点 P（1，-3）且与曲线 y=x2相切的直线方程。 重整思路，课堂小结： 1、请学生自由说说本节课的收获，所学到的学习方法和数学方法 2学生总结本节课的主要知识点 参 考 文 献: 1 任勇： 中学数学教学艺术与研究 ，山东教育出版社， 2 葛军:构建数学自主学习的课堂模式教育实践与研究2005年第5期 3 金旭颖 自主、合作、探究学习方式的探索与实践 中小学数学2003年9月 4 庞维明： 自主学习学与教的原理与策略 华东师范大学出版社 5 数学选修2-2教学参考书 人民教育出版社 2006 33创设“活而不乱，管而不死”的数学课堂探索创设“活而不乱，管而不死”的数学课堂探索 关键词：主体、创设情境、课堂情境、学习兴趣 摘 要 ： 教师在课堂教学中要有自己的独立性，根据自己的教学实际情况去创造性运用教材，使课堂中学生参与量大,让学生在平等、尊重、理解和宽容的氛围中受到激励和鼓舞、从而使学生成为主体。 理论基础 前苏联教育家苏霍姆林斯基说得好“教师如果不想方法使学生产生情绪高昂和智力振奋的内心状态而且不动情感的脑力劳动， 就会带来疲惫状态下的头脑是很难有效地吸取知识的。 通常我们将教学过程中教师活动称为教，而将学生的活动称为学。但这并不意味着教师只是机械地将知识灌输给学生，学生只是消极地、被动地接受灌输。实际上，教学过程中包含了教师与学生的相互内在作用， 是教师活动与学生活动的复杂的统一体， 整个教学过程，只有把发挥教师“管而不死”的主导作用和调动学生的“活而不乱”的主动性结合起来，才能取得较好的课堂实际效果。 下面就本人浅谈一下几点看法： 一、 一、 创设宽松和谐、紧张有序的课堂环境作为先决条件： 有些老师认为课堂上只有老师有权随便问学生，而学生无权随便发问老师，这种陋习作为教师应彻底改变，因为学生在数学课堂学习需要情感支持， 但这种感情一定是学生在课堂学习需要得到满足的过程中体验到的而不是人为“创造”出来，因此教师有必要在课堂情感认识的基础上确立个人的课堂教学的情感调节意识和相应的情感策略，充分调动学生发言的积极性，让学生在平等、尊重、信任、理解、 34宽容的氛围中受到激励和鼓舞，形成一种各尽所能、各有所得的良好课堂气氛。 例如学习有关数学应用的问题， 一些学生末学先怕， 总是学不好，因此在学习时必须创设宽松的环境，让学生愉快地接受。如学习有关数列应用问题，老师不妨来一个开场白“同学们：你们读完书就要面对工作问题，你们希望到那些地方或那些企业工作？（学生肯定七嘴八舌地发表自己的看法）若工作表现好就有机会加薪，俗语说 “无奸不商”有些老板会耍些小聪明，但学了这课，保证有你着数无老板着数。 （学生笑） 如：老板给你两个加工资的方案：一、每年年末加1000元；二、每半年结束时加300元。请你选一种。 学生在宽松的课堂环境积极思考，从而能轻松解决解决问题。接下来继续接开场白“有了稳定的经济来源，你们年轻最希望供一台小车吧！ （男生绝大部分赞同）学习下而这题，肯定为你今后的经济精打细算作好充分的准备。 （学生笑） 某汽车销售公司为促销采取了较灵活的付款方式，对购买10万元一辆的轿车在一年内将全部付清的前提下可以选择以下两种分期付款的方案购车； ）方案 1：分3次付清，购后4个月第1次付款，再过4个月第2交付款，再过4个月第3次付款。方案 2：分12次付清，购后1个月第1付款，再过1个月第2 次付款购后个月第次付款 。 规定分期付款中每期付款额相同；月利率为.，每月按复利 35计算。问以上两种方案哪一种付款总额较少？ 以上课堂使学生轻松、不知不觉同时解决了等差、等比数列的一些应用问题。 二、 精拟课前引入，提高学习兴趣作为关键条件： 在一堂数学课教学中，教师的学生观很重要，教师正确学生观应该充分认识学生、充分地理解学生、充分发动学生，因此教师在课堂教学中，有必要一开始就要吊起学生的胃口，激发他们的学习兴趣，把平淡无奇的课本内容转变为可以探索的问题，从面由“教的课堂”变为“学的课堂” 。 例如在讲授等比数列前n项和时，可以简单演示一个例子，假如将一张可以任意大、厚度为1mm的薄纸对折60次，问对折60次之后厚度有多高？A：一张桌子高；B：一栋五层屋高；C：比珠穆朗玛峰还要高；学生认为B与C的答案不可思议，大部分学生认为A的答案，然后老师说出答案为C，因此学生的好奇心想知道一张薄纸对折怎么可以能与珠穆朗玛峰的高度相比？从而提高学生学习本节课的兴趣。 三、教师充分熟悉教学内容、精心设计教学过程、合理灵活安排教学内容作为中心条件。 教师充分熟悉教学内容、精心设计教学过程、合理灵活安排教学内容作为中心条件。 教学永远是一门遗憾的艺术，它鞭策着每一位教育工作者不懈追求教学真谛， 因此教师要感悟教材的真味， 教师就必须刻苦钻研教材，才能升华教材之“新”从而站在教材之上“用教材”教人，使执教者对教材的独到见解“新入心” ，从而教师才能精心设计出教学方案，但是课堂每天都有许多新鲜事，学生每天都有新表现，由于时间、地 36点、学生认知水平等因素的影响，课堂中常常会发生一些教师始料不及的偶然事件，课堂是活的，学生是活的，不论多么优秀的教学设计都有它适用范围和局限性， 因此教学设计都只能对教学过程的大致的规划，都不可能原封不动地加以执行，因此必须灵活、合理处理好教学内容。 例如在讲线性规划的问题时补充一练习题让学生做； 已知实数x,y满足46(1)24(2)xyxy+LL 求z=2x+y的范围 但是学生并非老师所认为的方法去做，做题方法五花八门： 解法1、由（1）+（2）得62x10(3) 由（1）+（2）(-1) 得 0y2(4) 6212xy + 即z的范围6，12 解法2、由（1）+（2）得62x10 即3x5 (5) 由 (1)+(5) 得 72x+y11 即z的范围7，11 解法3、由(2) 2得 42x-2y8 (6) 由(4) 3得 03y6 (7) (6)+(7) 得 42x+y14 即z的范围4，14 解法4、利用线性规划求出可行域从而求出目标函数学z=2x+y的最值小值为7，最大值为11，因此z的范围 7,11 37 解法(1)(2)(3)似乎合乎不等式性质，究竟对还是错，错在那里，特别解法（2）的答案与正确的答案解法（4）相同。因此教师在课前必须刻苦钻研教材，才能站在教材之上“用教材”教人。 四、 生作为主体探索，教师的主导作用要贯穿始终作为核心条件： 一教师虽然理念上都知道以学生为中心，培养学生的各种能力，但在实际教学活动中，往往不知一觉地陷入以知识传授为主的泥谭，数学课堂教学中采用“高起点、大容量、快推进”的做法，忽略知识的发生、发展过程，以腾出更多的时间对学生进行反复操练，无形增加学生的负担，泯灭学生学习兴趣，因此教师作为一个课堂的“教学向导”来教学生“学什么”和“怎么学” ，这就一定把学生放在探究的位置上， 让学生自己去探究、 自己去发现， 他必须成为主体学习者，教师的作用就是“教学向导”引导，数学教学要使学生养成“求实、治理、批判、质疑”等理性思维的习惯和契而不舍的精神。 38如在讲评习题（高三复习用书P40、6题） ，此题在转化为比较 111(1 1)(1)(1)(1)2135214 623 5215 7214 624 5 6 72213 4 5 62122121nnnnnnnnnnnAn+ +LLLLQLLLL22与的大小时,如果教师照本宣科.2设 A=13又A22 3A1 2即 A 显然， 从逻辑上、 从传授知识的角度看， 这种讲解是无可指责的，但从培养学生思维能力看，这种讲解是不可取的，因为对此只能产生“数学真难”等自卑和害怕心理，他们无法从中悟出任何思维方法。 如果引导学生先复习学过例子的结论引伸： 已知a、b、m R+若ab有 am abm b+ 若ab有a amb bm+ 则学生自然就会想起 2 3 4 5221;1 2 3 4212nnnn+LL； 另一方面， 老师同样可以引导学生与自然数学有关的问题一般可采用数学归纳法证明。 在课堂教学过程中，创设“活而不乱、管而不死”实际上充分发挥教师的主导作用。学生是学习的主体，学生积极性的调动，知识的学习，技能的训练，能力的培养都要靠我们老师在教学过程中精心设计，组织与实施，如果我们采取方法得当，调度有方，定能收到良好 39的教学效果，从而提高课堂教学效率。 参考文献 1、冯恒仁“ 一个成功的授人以渔的典型教学课例” 中学数学教学参考、2005、12. 2、吴仲奇“ 2004 年安徽省数学新课程优秀课评比中的一堂观摩课” 中学数学教学参考、2004、8. 3、王沅江 “关于数学课堂学习情感调节意识调节策略” 中学数学教学参考、2005、12. 4、应之宁 “数学教学中有效 问题情境的创设及案例分析” 中学数学教学参考、2006、12 5、涂荣豹 “谈提高对数学教学的认识”中学数学教学参考、2006、12 也谈探索开放性问题的解题策略 也谈探索开放性问题的解题策略 【摘要】探索开放性问题是近年来高考数学命题的一个新方向,是一种具有开放性和发散性的问题 本文通过探索开放性问题的几种常见的形式的解析策略进行探讨，要求解答者学会自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括,经历一个发现问题、 研究问题、 解决问题的全过程,它有利于培养探索、 分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力. 【关健词】存在型探索性问题 归纳型探索性问题 一、知识要点概述 1探索开放性问题： 是指那些条件不完备、结论不确定(或不明确)、方法不唯一的数学问题，是相对中学数学课本中有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的 2探索开放性问题常见的形式： （1） 结论探索型： 给出条件， 没有给出明确的结论， 或者结论不确定的问题，需要解题者探索出结论并加以证明； 40（2）条件追溯型：给出结论，没有给出条件的问题，需要解题者分析出具备的条件，并加以证明； （3）条件重组型：改变已知问题的条件，探讨结论相应地会发生什么变化，或者改变已知问题的结论，探讨条件相应地会发生什么变化； （4）存在判断型：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立，并加以证明； （5）归纳探索型：从实际出发，给出一数据，通过数据的分析，建立数学模型，解决实际问题 二、解题方法指导 1存在型探索性问题一般解法： 存在型探索性问题解题时，先假设存在，依据学过的概念、定理、公式、法则等数学基本理论与原理，结合所给的条件进行推理，直到得出一个明显成立或错误的结论，从而断定存在与否 2归纳型探索性问题一般解法： 运用从特殊到一般的方法，从简单的，特殊的情况出发，经过观察分析、类比、抽象、概括等思维过程，归纳猜想出结论并加以证明 三、范例剖析 1存在型探索性问题 问题 1：结论探索型 这类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定解决这类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论 例 1 （04 年上海）若干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“基本量” 设na是公比为q的无穷等比数列，下列na的四组量中，一定能成为该数列“基本量” 的是第 组 （写出所有符合要求的组号） 1S与2S； 2a与3S；1a与na；q与na(其中n为大于 1 的整数，nS为na的前n项和) 解析：研究能否由每一组的两个量求出na的首项和公比 41由1S与2S，可知1a与2a由qaa=12可得公比q，故能确定数列是该数列的“基本量” 由2a与3S，设其公比为q，首项为1a，可得211132112,qaqaaSqaaqaa+= qaaqaS2223+=，0)(23222=+aqSaqa，满足条件的1a可能不存在，也可能不止一个，因而不能确定数列，故不一定是数列na的“基本量” 由1a与na，可得1111,aaqqaannnn=，当n为奇数时，q可能有两个值，故不一定能确定数列，所以也不一定是数列的一个“基本量” 由q与na，由1111,=nnnnqaaqaa可得，故数列na能够确定，是数列na的一个“基本量” 故应填 点评： 本题考查确定等比数列的条件， 要求正确理解等比数列和新概念 “基本量”的意义如何能够跳出题海，事半功倍，全面考察问题的各个方面，不仅可以训练自己的思维，而且可以纵观全局，从整体上对知识的全貌有一个较好的理解 问题 2：条件追溯型 这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意 例 2 （02 年上海）设函数)(,2sin)(txfxxf+=若是偶函数，则t的一个可能值是 解析：()sin2()sin(22 ).()f xtxtxtf xt+=+=+又函数 )22sin()22sin()()(txtxtxftxf+=+=+即 由此可得)(2)22(222222Zkktxtxktxtx+=+=+或 42)(412Zkkt+= 点评： 本题为条件探索型题目， 其结论明确， 需要完备使得结论成立的充分条件，可将题设和结论都视为已知条件，进行演绎推理推导出所需寻求的条件这类题要求学生变换思维方向，有利于培养学生的逆向思维能力 问题 3：条件重组型 例 3 （99 年全国）、是两个不同的平面，m、n是平面及之外的两条不同的直线，给出四个论断：mn，n，m，以其中的三个论断作为条件， 余下一个论断作为结论， 写出你认为正确的一个命题_ 解析：本题给出了四个论断，要求其中三个为条件，余下一个为结论，用枚举法分四种情况逐一验证依题意可得以下四个命题： (1)mn，n m；(2) mn,，m n； (3)mn，n， m；(4) ,n，mmn 不难发现， 命题(3)(4)为真命题， 而命题(1)(2)为假命题 故填上命题(3)或(4) 点评：本题的条件和结论都不是固定的，是可变的，所以这是一道条件开放结论也开放的全开放性试题，本题可组成四个命题，且正确的命题不止一个，解题时不必把所有正确的命题都找出，因此本题的结论也是开放的 问题 4：存在判断型 这类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立解决这类问题的基本策略是：通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论， 然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论 例 4已知函数2yaxbxc=+ 的图象过点( 1,0);是否存在常数a、b、c， 使不等式221(1)2xaxbxcx+对一切实数x都成立 解析：假设存在常数a、b、c， 使不等式221(1)2xaxbxcx+对一切实数x都成立 则根据题意，函数2yaxbxc=+ 的图象过点( 1,0)得0abc+=- 1 43又因为当1x=时，11abc+，所以1abc+=- 2 由 1 2 可得1212bca= +，故211()22yaxxa=+ 不等式22111()(1)222xaxxax+对xR恒成立， 则由211()022axxa+恒成立知0114 ()042aaa =，解得14a = 则由211()022axxa+恒成立知102114 ()042aa a在0,2x上恒成立，则有320a，解得32a ， 所以a的取值范围为01a或312a为减函数，由题设条件知(1)1f=，则log (3)1aa= ， 解得32a =，又函数( )f x 在区间1,2有意义，32a d时，) 1(10+na的取值范围为),10(+等 点评：本题考查了类比思想，这种由特殊到一般性的解题方法,要求学生能从已知条件出发，灵活应用类比，联想的方法，创造性地解决问题；直观比较，大胆合理的猜想；善于求异，多角度多方位的发散和探索；分析特殊，从特殊认识一般性，可以帮助把握解题的关键，打开解题思路,找到解题突破口.解题过程中创新成分比较高. 探索开放性问题是近年来高考数学命题的一个新方向,探索开放性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求 探究开放性问题在培养学生的个性品质，创新意识和实践能力方面，有比封闭型题更独到的作用.对数学探索开放性问题的学习，有利于激发学生的创新意识，扩大创新视野，使学生积极主动参与创造活动；有利于学生综合与灵活应用所学的数学知识和数学方法，进行独立的思考探索和研究，提出解决问题的思路，创造性的解决问题；有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程.这些正是新课程标准所倡导的理念，新课程标准的理念是要让学生学会学习，具有提出问题、分析问题和解决问题的能力，大胆想象，敢于质疑，勇于探索，开发创造潜能，使学生的创新精神和创新能力不断提高，使得新形势下的教育达到实实在在的效果. 【参考文献】 1 刘萍 一种新的教学模式开放题教学 广东教育 1999.06 2 胡惠根 一道高考试题的开放性探究 中学数学教与学 2004.02 3 谭勇 探索性问题的解题策略 中学数学杂志 2002.04 474 贤家兴 结论开放型数学题的解题策略 中学数学教与学 2004.01 5 冯金顺 张士重 走向高考 人民教育出版社 2006.04