第六章 IIR滤波器的设计主要内容n理解数字滤波器的基本概念n了解最小相位延时系统n理解全通系统的特点及应用n掌握冲激响应不变法n掌握双线性变换法n掌握Butterworth、Chebyshev低通滤波器的特点n了解利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器的设计过程n了解利用频带变换法设计各种类型数字滤波器的方法6.1 引言数字滤波器：是指输入输出均为数字信号，通过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件。 高精度、稳定、体积小、重量轻、灵活，不要求阻抗匹配，可实现特殊滤波功能优点：优点：1、滤波器的基本概念（1） 滤波器的功能滤波器的功能 滤波器的功能是对输入信号进行滤波滤波器的功能是对输入信号进行滤波以增强所需信号部分，抑制不要的部分。以增强所需信号部分，抑制不要的部分。a a） 时域说明时域说明b b） 频域说明频域说明（2） 四种基本的滤波器四种基本的滤波器 四种基本滤波器为低通（四种基本滤波器为低通（LP）、高通）、高通（HP）、带通（）、带通（BP）和带阻滤波器（）和带阻滤波器（BRF）：）：（3） 四种基本滤波器的数字表示四种基本滤波器的数字表示低通高通带通带阻2、LP到其他滤波器的变换由LP实现的HPLP实现的BPLP实现的BRF3、 滤波器的性能指标n带宽：当幅度降低到时的宽度称为滤波器当幅度降低到时的宽度称为滤波器的带宽（的带宽（3dB3dB带宽）带宽）n通带、阻带与过渡带：信号允许通过的频带为通带，完全不允许通过的频带为阻带，通带与阻带之间为过渡带。n滚降与滚降率：滤波器幅频特性在过渡滤波器幅频特性在过渡带的衰减和衰减速度称为滚降与滚降率。带的衰减和衰减速度称为滚降与滚降率。n阻带衰减：输入信号在阻带的衰减量输入信号在阻带的衰减量n带内平坦度：通带和阻带内的平坦程度通带和阻带内的平坦程度4、数字滤波器的设计步骤数字滤波器的设计步骤q 数字滤波器的设计三个步骤: (1) 按要求确定滤波器的性能参数； (2) 用一个因果稳定的离散线性移不变系统的系统函数去逼近去逼近这一性能要求； (3) 用有限精度的运算实现；实现可以采用通用计算机，也可以采用DSP。5、数字滤波器的技术要求、数字滤波器的技术要求n选频滤波器的频率响应： 为幅频特性：表示信号通过该滤波器后各频率成分的衰减情况 为相频特性：反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况：通带截止频率：阻带截止频率：通带容限：阻带容限n阻带：n过渡带：n通带：理想滤波器不可实现，只能以实际滤波器逼近理想滤波器不可实现，只能以实际滤波器逼近通带最大衰减：通带最大衰减：阻带最小衰减：阻带最小衰减：其中：其中：当当 时，时，称称 为为3dB3dB通带截止频率通带截止频率6、表征滤波器频率响应的特征参量n幅度平方响应 的极点既是共轭的，又是以单的极点既是共轭的，又是以单位圆成镜像对称的位圆成镜像对称的H H( (z z) )的极点：单位圆内的极点的极点：单位圆内的极点n相位响应相位响应相位响应：相位响应：n群延迟响应相位对角频率的导数的负值相位对角频率的导数的负值若滤波器通带内若滤波器通带内 = = 常数，常数， 则为则为线性相位滤波器线性相位滤波器7、IIR数字滤波器的设计方法n先设计模拟滤波器，再转换为数字滤波器用一因果稳定的离散用一因果稳定的离散LSILSI系统逼近给定的性能要求：系统逼近给定的性能要求：即为求滤波器的各系数即为求滤波器的各系数n计算机辅助设计法 s s平面逼近：模拟滤波器平面逼近：模拟滤波器z z平面逼近：数字滤波器平面逼近：数字滤波器8 、将将DF的技术指标转换为的技术指标转换为ALF的技术指标的技术指标一、意义一、意义 AF的设计有一套相当成熟的方法：设计公式；的设计有一套相当成熟的方法：设计公式；设计图表；有典型的滤波器，如巴特沃斯，切比雪设计图表；有典型的滤波器，如巴特沃斯，切比雪夫等。夫等。二、一般转换方法二、一般转换方法 1、 2、 3、 4、三、转换举例三、转换举例 例如，一低通例如，一低通DF的指标：在的指标：在 的通带的通带范围，幅度特性下降小于范围，幅度特性下降小于1dB；在；在 的的阻带范围，衰减大于阻带范围，衰减大于15dB；抽样频率；抽样频率 ；试将这一指标转换成试将这一指标转换成ALF的技术指标。的技术指标。 解：按照衰减的定义和给定指标，则有解：按照衰减的定义和给定指标，则有 假定假定 处幅度频响的归一化值为处幅度频响的归一化值为1，即即这样，上面两式变为这样，上面两式变为由于由于 ，所以当没有混叠时，根据关系式，所以当没有混叠时，根据关系式模拟模拟filter的指标为的指标为6.2 最小与最大相位延时系统、最小最小与最大相位延时系统、最小与最大相位超前系统与最大相位超前系统LSI系统的系统函数：频率响应：n模：模：n相角：当当位于单位圆内的零位于单位圆内的零/ /极矢量角度变化为极矢量角度变化为2 2p p位于单位圆外的零位于单位圆外的零/ /极矢量角度变化为极矢量角度变化为 0 0令：令：单位圆内零点数为单位圆内零点数为m mi i单位圆外的零点数为单位圆外的零点数为m mo o单位圆内的极点数为单位圆内的极点数为p pi i单位圆外的极点数为单位圆外的极点数为p po o则：则：全部极点在单位圆内：全部极点在单位圆内：po = 0，pi = Nn因果稳定系统因果稳定系统1 1）全部零点在单位圆内：）全部零点在单位圆内：2 2）全部零点在单位圆外：）全部零点在单位圆外：为为最小相位延时系统最小相位延时系统为为最大相位延时系统最大相位延时系统n 0时，时，h(n) = 0最小相位延时系统的性质最小相位延时系统的性质1 1）在）在 相同的系统中，具有最小的相位滞后相同的系统中，具有最小的相位滞后2 2）最小相位延时系统的能量集中在）最小相位延时系统的能量集中在n=0n=0附近，而总附近，而总能量相同能量相同5 5）级联一个全通系统，可以将一最小相位系统转变成一）级联一个全通系统，可以将一最小相位系统转变成一相同幅度响应的非最小相位延时系统相同幅度响应的非最小相位延时系统4 4）在）在 相同的系统中，相同的系统中， 唯一唯一3 3）最小相位序列的）最小相位序列的 最大：最大：6.3 全通系统全通系统对所有对所有w w，满足：，满足：称该系统为称该系统为全通系统全通系统n一阶全通系统：一阶全通系统：极点：极点：零点：零点：零极点以单位圆为镜像对称零极点以单位圆为镜像对称极点：极点：零点：零点：n实系数二阶全通系统实系数二阶全通系统两个零点（极点）共轭对称两个零点（极点）共轭对称极点：极点：零点：零点：零点与极点以单位圆为镜像对称零点与极点以单位圆为镜像对称可以证明，一阶全通节在任何频率上，其频率响应的模可以证明，一阶全通节在任何频率上，其频率响应的模都为都为1 1：n N 阶数字全通滤波器阶数字全通滤波器极点：极点： 的根的根零点：零点： 的根的根因为所以n全通系统的应用全通系统的应用1 1）任一因果稳定（非最小相位延时）系统）任一因果稳定（非最小相位延时）系统H(z)H(z)都可以表示成全通系统都可以表示成全通系统H Hapap(z)(z)和最小相位系统和最小相位系统H Hminmin(z)(z)的级联的级联其中：其中：H H1 1(z)(z)为最小相位延时系统，为最小相位延时系统， 为单位圆外的一对共轭零点为单位圆外的一对共轭零点把把H(z)H(z)单位圆外的零点：单位圆外的零点： 映射到单位圆内的镜像位置：映射到单位圆内的镜像位置：构成构成H Hminmin(z)(z)的零点。的零点。而幅度响应不变：而幅度响应不变：P231 图图662 2）级联一个全通系统可以使非稳定滤波器变成）级联一个全通系统可以使非稳定滤波器变成一个稳定滤波器一个稳定滤波器把非稳定系统的单位圆外的极点映射到单位圆内把非稳定系统的单位圆外的极点映射到单位圆内单位圆外极点：单位圆外极点：3 3）作为相位均衡器，校正系统的非线性相位，）作为相位均衡器，校正系统的非线性相位，而不改变系统的幅度特性而不改变系统的幅度特性利用均方误差最小准则求均衡器利用均方误差最小准则求均衡器H Hapap(z)(z)的有关参数的有关参数6.4 用模拟滤波器设计用模拟滤波器设计IIR数字滤波器数字滤波器n设计思想：设计思想： s 平面平面 z 平面平面模拟系统模拟系统 数字系统数字系统nH(z) 的频率响应要能模仿的频率响应要能模仿 Ha(s) 的频率响应，的频率响应，即即 s 平面的虚轴映射到平面的虚轴映射到 z 平面的单位圆平面的单位圆n因果稳定的因果稳定的 Ha(s) 映射到因果稳定的映射到因果稳定的 H(z) ，即即 s 平面的左半平面平面的左半平面 Res 0 映射到映射到 z 平面的单位圆内平面的单位圆内 |z| W Ws/2处衰减越快，失真越小处衰减越快，失真越小n当滤波器的设计指标以数字域频率当滤波器的设计指标以数字域频率w wc给定时，给定时，不能通过提高抽样频率来改善混迭现象不能通过提高抽样频率来改善混迭现象二、模拟滤波器的数字化二、模拟滤波器的数字化n系数相同：系数相同：n极点：极点：s 平面平面 z 平面平面n稳定性不变：稳定性不变：S域稳定，即极点位于域稳定，即极点位于s平面平面左半平面，故在左半平面，故在 s 平面平面 ： z 平面平面当当T 很小时，数字滤波器增益很大，易溢出，需修正很小时，数字滤波器增益很大，易溢出，需修正令：令：则：则：试用冲激响应不变法，设计试用冲激响应不变法，设计IIRIIR数字滤波器数字滤波器例：设模拟滤波器的系统函数为例：设模拟滤波器的系统函数为解：据题意，得数字滤波器的系统函数：解：据题意，得数字滤波器的系统函数：设设T = 1sT = 1s，则，则模拟滤波器的频率响应：模拟滤波器的频率响应：数字滤波器的频率响应：数字滤波器的频率响应：n优点：优点：n缺点：缺点：n保持线性关系：保持线性关系：w w=W WT线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器n频率响应混迭频率响应混迭只适用于限带的低通、带通滤波器只适用于限带的低通、带通滤波器nh(n)完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应ha(t) 时域逼近良好时域逼近良好冲激响应不变法的优缺点冲激响应不变法的优缺点6.6 阶跃响应不变法阶跃响应不变法n变换原理变换原理数字滤波器的阶跃响应数字滤波器的阶跃响应g(n) 模仿模拟滤波器的阶跃响应模仿模拟滤波器的阶跃响应ga(t) T 抽样周期抽样周期阶跃响应不变法同样有频率响应的混叠失真现阶跃响应不变法同样有频率响应的混叠失真现象但比冲激响应不变法要小。象但比冲激响应不变法要小。例：二阶例：二阶Butterworth 归一化模拟滤波器（归一化模拟滤波器（LPF）为：）为：设计对应设计对应3dB截止模拟频率为截止模拟频率为50Hz的二阶的二阶Butterworth数字滤波器。设数字系统采样频率为数字滤波器。设数字系统采样频率为500Hz，并采用，并采用阶跃响应不变法来设计。阶跃响应不变法来设计。解：求模拟系统函数：解：求模拟系统函数：最后得最后得 （用在（用在z z-1-1表示）表示）代入代入T=1/500，计算，计算ZT得得 6.7 双线性变换法双线性变换法q冲激响应不变法、阶跃响应不变法：时域模冲激响应不变法、阶跃响应不变法：时域模仿逼近缺点是产生频率响应的混叠失真仿逼近缺点是产生频率响应的混叠失真q为了克服这一缺点，采用为了克服这一缺点，采用双线性变换法双线性变换法。q使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似率响应相似一、变换原理及特点一、变换原理及特点q冲激或者阶跃响应不变法的映射是多值映射冲激或者阶跃响应不变法的映射是多值映射, ,导致频率响应交叠。导致频率响应交叠。q改进思路：先将改进思路：先将s s域平面压缩到一个中介平域平面压缩到一个中介平面面s s1 1，然后再将，然后再将s s1 1映射到映射到Z Z平面。平面。n为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系，引入系数频率有对应关系，引入系数 c2 2）某一特定频率严格相对应：）某一特定频率严格相对应：1 1）低频处有较确切的对应关系：）低频处有较确切的对应关系：特定频率处频率响应严格相等，可以较准确特定频率处频率响应严格相等，可以较准确地控制截止频率位置地控制截止频率位置二、变换常数二、变换常数c c的选择的选择三、逼近情况三、逼近情况1）s平面虚轴平面虚轴z平面单位圆平面单位圆2）左半平面左半平面单位圆内单位圆内s平面平面z平面平面右半平面右半平面单位圆外单位圆外虚轴虚轴单位圆上单位圆上四、优缺点四、优缺点n优点：优点：避免了频率响应的混迭现象避免了频率响应的混迭现象s 平面与平面与 z 平面为单值变换平面为单值变换q 缺点：除了零频率附近，缺点：除了零频率附近，W W与与w w之间严重非线性之间严重非线性2 2）要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型，不）要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型，不然会产生畸变然会产生畸变1 1）线性相位模拟滤波器）线性相位模拟滤波器 非线性相位数字滤波器非线性相位数字滤波器分段常数型模拟滤波器分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数经变换后仍为分段常数型数字滤波器，但临界型数字滤波器，但临界频率点产生畸变频率点产生畸变预畸变预畸变给定数字滤波器的截止频率给定数字滤波器的截止频率 w w1，则，则按按W W1设计模拟滤设计模拟滤波器，经双线性波器，经双线性变换后，即可得变换后，即可得到到w w1为截止频率为截止频率的数字滤波器的数字滤波器五、模拟滤波器数字化方法五、模拟滤波器数字化方法q可分解成级联的低阶子系统可分解成级联的低阶子系统q可分解成并联的低阶子系统可分解成并联的低阶子系统6.8 常用模拟低通滤波器特性常用模拟低通滤波器特性n将数字滤波器技术指标转变成模拟滤波器技术将数字滤波器技术指标转变成模拟滤波器技术指标，设计模拟滤波器，再转换成数字滤波器指标，设计模拟滤波器，再转换成数字滤波器n模拟滤波器模拟滤波器n巴特沃斯巴特沃斯 Butterworth 滤波器滤波器n切比雪夫切比雪夫 Chebyshev 滤波器滤波器n椭圆椭圆 Ellipse 滤波器滤波器n贝塞尔贝塞尔 Bessel 滤波器滤波器1、由幅度平方函数、由幅度平方函数 确定模拟滤波器确定模拟滤波器的系统函数的系统函数h(t)是实函数是实函数将左半平面的的极点归将左半平面的的极点归Ha(s)将以虚轴为对称轴的对称将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为零点的任一半作为Ha(s)的零点，虚轴上的零点一的零点，虚轴上的零点一半归半归Ha(s)Ha(s) Ha(-s)的零极点分布的零极点分布 由幅度平方函数得象限对称的由幅度平方函数得象限对称的s平面函数平面函数n对比对比 和和 ，确定增益常数，确定增益常数n由零极点及增益常数，得由零极点及增益常数，得例：例：解：解：极点：极点：零点：零点： （二阶）（二阶）零点：零点：的极点：的极点：设增益常数为设增益常数为K K0 0（1） 巴特沃尔斯滤波器（巴特沃尔斯滤波器（Butterworth）2、常见模拟滤波器设计、常见模拟滤波器设计1）幅度平方函数：幅度平方函数：当当称称W Wc c为为ButterworthButterworth低通滤波器的低通滤波器的3 3分贝带宽分贝带宽N N为滤波器的阶数为滤波器的阶数W Wc c为通带截止频率为通带截止频率1）幅度函数特点：）幅度函数特点：n n 3dB不变性不变性 通带内有最大平坦的幅度特性，单调减小通带内有最大平坦的幅度特性，单调减小 过渡带及阻带内快速单调减小过渡带及阻带内快速单调减小 当当W WW Wst（阻带截止频率）时，衰减的（阻带截止频率）时，衰减的d d1为阻带最小衰减为阻带最小衰减ButterworthButterworth滤波器是一个全极点滤波器，其极点：滤波器是一个全极点滤波器，其极点： 2 2）幅度平方特性的极点分布：）幅度平方特性的极点分布： 极点在极点在s平面呈象限对称，分布在平面呈象限对称，分布在Buttterworth圆上，共圆上，共2N点点 极点间的角度间隔为极点间的角度间隔为 极点不落在虚轴上极点不落在虚轴上 N N为奇数，实轴上有极点，为奇数，实轴上有极点，N N为偶数，实轴上无极点为偶数，实轴上无极点Ha(s) Ha(-s)的零极点分布的零极点分布(a) N=3 (三阶）三阶） (b)N=4 （四阶）（四阶）n 为为形形成成稳稳定定的的滤滤波波器器，2N个个极极点点中中只只取取s平平面面左左半半平平面面的的N个个极极点点构构成成Ha(s)，而而右右半半平平面面的的N个个极极点点构构成成Ha(-s)。 Ha(s)的表示式为的表示式为设N=3，极点有6个（见前页图），它们分别为：（下页）3 3）滤波器的系统函数：）滤波器的系统函数：其中分子系数 由Ha(0)=1解得。取s平面左半平面的极点s0,s1,s2组成Ha(s)： 由前讨论知，系统函数为：极点为：当N为偶数，Ha(s)的极点（左半平面）皆成共轭对，记为：这一对共轭点构成一个二阶子系统：当N为奇数，则系统由一个一阶系统（极点s=-1）和(N-1)/2个二阶系统组成：整个系统由N/2（N为偶数）个此二阶系统级联而成：N为偶数N为奇数为归一化系统的系统函数为归一化系统的系统函数去归一化，得去归一化，得例：试设计一个模拟低通巴特沃思滤波器，要求通带截止频率c=24000rad/s，通带最大衰减1=3dB，阻带下限截止频率st=28000rad/s，阻带最小衰减2=20dB.解：（1）求阶数N：联立求解，（过程见教材）得：因此可取N=4；（2）求极点：由式：（3）求系统函数Ha(s)：实际上，求出N=4时，可以直接查表（表6-4），得到归一化的（c=1）4阶巴特沃思低通滤波器的系统函数，然后再用s/c代替其中的s即可得到同样的结果。4 4）滤波器的设计步骤：）滤波器的设计步骤：n根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数N：n确定技术指标：确定技术指标：由由得：得：同理：同理：令令则：则：n求出归一化系统函数：求出归一化系统函数：或者由或者由N，直接查表得，直接查表得其中技术指标其中技术指标W Wc给出或由下式求出：给出或由下式求出：其中极点：其中极点：n去归一化去归一化阻带指标有富裕阻带指标有富裕或或通带指标有富裕通带指标有富裕 n例：设计例：设计Butterworth数字低通滤波器，要求在频数字低通滤波器，要求在频率低于率低于p p rad的通带内幅度特性下降小于的通带内幅度特性下降小于1dB。在频。在频率率p p到到p p之间的阻带内，衰减大于之间的阻带内，衰减大于15dB。分别用冲。分别用冲激响应不变法和双线性变换法。激响应不变法和双线性变换法。1、用冲激响应不变法设计、用冲激响应不变法设计1）由数字滤波器的技术指标：）由数字滤波器的技术指标：2）得模拟滤波器的技术指标：选）得模拟滤波器的技术指标：选T = 1 sa）确定参数）确定参数用通带技术指标，使阻带特性较好，改善混迭失真用通带技术指标，使阻带特性较好，改善混迭失真3）设计）设计Butterworth模拟低通滤波器模拟低通滤波器b) 求出极点（左半平面）求出极点（左半平面）c) 构造系统函数构造系统函数或者或者b) 由由N = 6，直接查表得，直接查表得c) 去归一化去归一化4）将）将Ha(s)展成部分分式形式展成部分分式形式:变换成变换成Butterworth数字滤波器：数字滤波器：用冲激响应不变法设计出的用冲激响应不变法设计出的Butterworth滤波器滤波器2、用双线性变换法设计、用双线性变换法设计1）由数字滤波器的技术指标：）由数字滤波器的技术指标：2）考虑预畸变，得模拟滤波器的技术指标：）考虑预畸变，得模拟滤波器的技术指标：a）确定参数）确定参数用阻带技术指标，使通带特性较好，因无混迭问题用阻带技术指标，使通带特性较好，因无混迭问题3）设计）设计Butterworth模拟低通滤波器模拟低通滤波器b) 求出极点（左半平面）求出极点（左半平面）c) 构造系统函数构造系统函数或者或者b) 由由N = 6，直接查表得，直接查表得c) 去归一化去归一化4）将）将Ha(s)变换成变换成Butterworth数字滤波器：数字滤波器：（2） 切贝雪夫滤波器（切贝雪夫滤波器（ Chebyshev ）N：滤波器的阶数：滤波器的阶数W Wc ：截止频率，不一定为：截止频率，不一定为3dB带宽带宽0e e1，表示通带波纹大小，表示通带波纹大小，e e越大，波纹越大越大，波纹越大CN(x) ：N阶阶Chebyshev多项式多项式Type I Chebyshevn当当N=0时，时，C0(x)=1；n当当N=1时，时，C1(x)=x；n当当N=2时，时，C2(x)=2x 2 -1；n当当N=3时，时，C3(x)=4x 3 -3x。n由由此此可可归归纳纳出出高高阶阶切切比比雪雪夫夫多多项项式式的的递递推推公式公式为为:n C N+1 (x)=2xCN(x)-C N-1 (x) 下图示出了阶数N=0,4,5时的切比雪夫多项式特性。 由图可见： (1)切比雪夫多项式的过零点在|x|1的范围内； (2)当|x|1时，|CN(x)|1,在|x|1时，CN(x)是双曲线函数，随x单调上升。左图：N=0,4,5切比雪夫多项式曲线切比雪夫型滤波器幅频特性 nN为偶数为偶数nN为奇数为奇数n n n 通带内：在通带内：在1和和 间等波纹起伏间等波纹起伏n 通带外：迅速单调下降趋向通带外：迅速单调下降趋向0Chebyshev滤波器的设计过程：滤波器的设计过程：nW Wc ：通带截止频率，给定：通带截止频率，给定n e e ：表征通带内波纹大小：表征通带内波纹大小由通带衰减决定由通带衰减决定1）求）求 e e：nN：滤波器阶数，等于通带内最大最小值的总数，：滤波器阶数，等于通带内最大最小值的总数，N的数值可由阻带衰减确定。的数值可由阻带衰减确定。若若WstWst为阻带截止频率，则：为阻带截止频率，则：2 2）求）求 N N：误差的分贝数为2：进而可求得A值为：从而：由此得：阻带衰减越大（即阻带衰减越大（即A越大）越大），所需阶数越高所需阶数越高注意到：因此：结合前式：3 3）求）求滤波器系统函数滤波器系统函数H Ha a(s)(s)：已知已知N N，c c，故可求出，故可求出H Ha a(s)(s)。一种方法是直接查表。一种方法是直接查表（表（表6-56-5），得到归一化的的系统函数），得到归一化的的系统函数，然后再求出，然后再求出H Ha a(s)(s)；另一方法为直接求解另一方法为直接求解，先求出，先求出H Ha a(s)(s)的极点分布，再求出的极点分布，再求出H Ha a(s)(s)，介绍如下：介绍如下：令其分母多项式为0，即可求出极点：为求解前式，经过一系列变换（见教材），得到为求解前式，经过一系列变换（见教材），得到H Ha a(s) H(s) Ha a(-s)(-s)的的极点为：极点为：若记：得到H Ha a(s) H(s) Ha a(-s)(-s)在在s s平面的极点满足的关系式为：平面的极点满足的关系式为：直接利用：和计算a和b并不方便，进一步简化（推导见教材）如下：其中：取取H Ha a(s) H(s) Ha a(-s)(-s)在在s s平面的左半平面的极点，就是平面的左半平面的极点，就是 H Ha a(s)(s)的极点。的极点。从而得到从而得到Ha(s)的切贝雪夫滤波器的系统函数为：的切贝雪夫滤波器的系统函数为：其中：其中：所以：所以：Type II Chebyshev filter通带内：单调特性通带内：单调特性阻带内：等波纹起伏阻带内：等波纹起伏n例：用双线性变换法设计例：用双线性变换法设计Chebyshev数字低通滤波数字低通滤波器，要求在频率低于器，要求在频率低于p p rad的通带内幅度特性下降小的通带内幅度特性下降小于于1dB。在频率。在频率p p到到p p之间的阻带内，衰减大于之间的阻带内，衰减大于15dB。1）由数字滤波器的技术指标：）由数字滤波器的技术指标：2）考虑预畸变，得模拟滤波器的技术指标：）考虑预畸变，得模拟滤波器的技术指标：a）确定参数）确定参数3）设计）设计Chebyshev模拟低通滤波器模拟低通滤波器b) 求左半平面极点求左半平面极点c) 构造系统函数构造系统函数c) 去归一化去归一化b) 由由N=4， 直接查表得直接查表得或者：4）将）将 变换成变换成Chebyshev数字滤波器：数字滤波器：设计的四阶设计的四阶Chebyshev滤波器滤波器椭圆滤波器椭圆滤波器(Elliptic filter) 带内均匀波动 最快的滚降贝塞尔滤波器（贝塞尔滤波器（Bessel）* 最大相位平坦特性最大相位平坦特性小结：利用模拟滤波器设计小结：利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤n将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标通带截止频率通带截止频率 、通带衰减、通带衰减阻带截止频率阻带截止频率 、阻带衰减、阻带衰减通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率n确定数字滤波器的技术指标：确定数字滤波器的技术指标：n冲激响应不变法冲激响应不变法n双线性变换法双线性变换法n按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器nButterworth低通滤波器低通滤波器nChebyshev低通滤波器低通滤波器n将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器n冲激响应不变法冲激响应不变法n双线性变换法双线性变换法6.9 设计设计IIR滤波器的频率变换法滤波器的频率变换法归一化归一化模拟低通模拟低通模拟低通、模拟低通、高通、带通、高通、带通、带阻带阻数字低通、数字低通、高通、带通、高通、带通、带阻带阻模拟域模拟域频带变换频带变换双线性双线性变换变换归一化归一化模拟低通模拟低通数字数字低通低通数字低通、数字低通、高通、带通、高通、带通、带阻带阻数字域数字域频带变换频带变换或双线性或双线性变换变换冲激响应冲激响应不变法不变法6.10 模拟域频率变换法模拟域频率变换法