理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社第第5 5章章 点的普通运动与刚体的点的普通运动与刚体的根本运动根本运动 5.1 描画点运描画点运动的矢量法的矢量法 5.2 描画点运描画点运动的直角坐的直角坐标法法 5.3 描画点运描画点运动的自然坐的自然坐标法法5.4 刚体的平行挪体的平行挪动 5.5 刚体的定体的定轴转动 理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.1 描画点运描画点运动的矢量法的矢量法 描画点的运动描画点的运动是指确定点在参考系中每一时辰的位置、速度、加速度以及点在空间中的运动轨迹等。矢量法直角坐标法自然坐标法 点的运动的描画方法有三种：点的运动的描画方法有三种：理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.1.1 运动方程运动方程 5.1 描画点运动的矢量法 一、位矢点一、位矢点M相对于原点相对于原点O的位置矢量的位置矢量 二、点运动方程的矢量式二、点运动方程的矢量式 随着时间变化，变矢量随着时间变化，变矢量r的端点在空间画出一的端点在空间画出一条曲线，称为条曲线，称为r的矢量端图，也是点的矢量端图，也是点M的运动轨迹。的运动轨迹。 理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.1 描画点运动的矢量法 5.1.2 速度与加速度速度与加速度 一、平均速度一、平均速度 瞬时速度瞬时速度 理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.1 描画点运动的矢量法 二、瞬时加速度二、瞬时加速度 加速度是矢量，其方向沿速度矢量端图的切线方向(图5-1b)，单位为 m/s2。 速度是矢量，其方向沿r矢量端图轨迹曲线的切线方向，单位为m/s。 理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.2 描画点运描画点运动的直角坐的直角坐标法法 5.2.1 运动方程运动方程 一、位矢点一、位矢点M相对于原点相对于原点O的位置矢量的位置矢量 理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社二、点运动方程的直角坐标表达式二、点运动方程的直角坐标表达式 5.2 描画点运动的直角坐标法 上式也是点轨迹的参数方程。由上式中消去参数t，便得到点的轨迹方程。 假设点在xy平面内运动，参数方程可退化为：理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.2.2 速度与加速度速度与加速度 一、速度一、速度 5.2 描画点运动的直角坐标法 速度矢量沿直角坐标轴的分量 ， ， 速度的大小速度的方向余弦为， ， 理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社二、加速度二、加速度 5.2 描画点运动的直角坐标法 加速度矢量沿直角坐标轴的分量 ， ， 由此可得出加速度的大小 加速度的方向余弦为 ， ， 理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社例例5-1 椭圆规的曲柄椭圆规的曲柄OC可绕定轴可绕定轴O转动，其端点转动，其端点C与规尺与规尺AB的中点以铰链相衔接，而规尺的中点以铰链相衔接，而规尺A、B两端两端分别在相互垂直的滑槽中运动，如图分别在相互垂直的滑槽中运动，如图5-2所示。知：所示。知：OC=AC=BC=l，MC=a， 。试求规尺上点。试求规尺上点M的运动方程、运动轨迹、速度和加速度。的运动方程、运动轨迹、速度和加速度。 5.2 描画点运动的直角坐标法 解解 建立直角坐标系建立直角坐标系Oxy如图如图5-2所示，所示，M点的运动方程为点的运动方程为 理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社解解 建立直角坐标系建立直角坐标系Oxy如图如图5-2所示，所示，M点的运动点的运动方程为方程为 5.2 描画点运动的直角坐标法 消去t后，得轨迹方程： 由此可见，M点的运动轨迹是一个以(l+a)为长轴、(l-a)为短轴的椭圆。 理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社为求M点的速度，应先求它沿坐标轴的投影 5.2 描画点运动的直角坐标法 故M点速度的大小为 其方向余弦为 理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.2 描画点运动的直角坐标法 为求M点的加速度，先求它沿坐标轴的投影 故M点的加速度大小为 其方向余弦为 理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.3 描画点运描画点运动的自然坐的自然坐标法法 5.3.1 自然坐标自然坐标系系 一、弧坐标一、弧坐标 假设知动点M的运动轨迹，可在轨迹曲线上选定一坐标原点O，规定沿曲线某一方向为正，将弧长OM冠以适当的正负号称为动点M的弧坐标s (图5-3)。 理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.3 描画点运动的自然坐标法 二、曲率和曲率半径二、曲率和曲率半径 曲率的倒数称为曲率半径，M点处的曲率半径为 定义曲线在M点处的曲率为 圆的曲率半径就是圆的半径。直线的曲率为0，曲率半径 。 理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.3 描画点运动的自然坐标法 三、自然坐标系三、自然坐标系 法平面与切线垂直的平面。 主法线亲密面与法平面的交线。 其单位矢量用n表示。 副法线法平面内垂直于亲密面的法线。 其单位矢量用b表示。自然坐标系由切线、主法线和副法线组成的正交 坐标系。 自然坐标系随点的位置不同而改动。 亲密面令点 无限趋近于点 M 时， 由和 所确定的极限平面。 理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.3 描画点运动的自然坐标法 一、点在弧坐标中的运动方程一、点在弧坐标中的运动方程 5.3.2 运动方程、速度与加速运动方程、速度与加速度度 运动方程也可用点的位矢表示为 理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.3 描画点运动的自然坐标法 位矢r随弧长s的变化率 矢量的大小为1，方向沿曲线切线，指向弧坐标s添加的方向。所以，为切向单位矢量。 理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.3 描画点运动的自然坐标法 切向单位矢量随弧长s的变化率 于是得 理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.3 描画点运动的自然坐标法 二、点的速度二、点的速度 点的速度可以表示为 由于 ， 所以，点的速度在自然坐标系中可以表示为 其中v为速度的大小，为点M处沿切线方向的单位矢量。即点的速度方向沿轨迹曲线的切线方向，其大小等于弧坐标对时间的一阶导数。 理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.3 描画点运动的自然坐标法 三、点的加速度三、点的加速度 点的加速度可以表示为 将加速度分解，那么a也可表示为 由此得 ， ， at称为切向加速度，表示速度大小的变化率；称为切向加速度，表示速度大小的变化率；an称为法向加速度，反映速度方向的变化率。称为法向加速度，反映速度方向的变化率。 理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.3 描画点运动的自然坐标法 at称为切向加速度，表示速度大小的变化率；称为切向加速度，表示速度大小的变化率；an称为法向加速度，反映速度方向的变化率。称为法向加速度，反映速度方向的变化率。 加速度a的大小为 其方向与主法线之间的夹角为 理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.3 描画点运动的自然坐标法 几种特殊运动几种特殊运动 1直线运动， 2匀速曲线运动3匀变速曲线运动 常量 理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.3 描画点运动的自然坐标法 例例5-2 在在图5-8所示的所示的摇杆滑道机构中，滑杆滑道机构中，滑块M同同时在在固定固定圆弧槽弧槽BC和和摇杆杆OA的滑道中滑的滑道中滑动。圆弧弧BC的的半径半径为R，摇杆的杆的转轴O在在BC弧的弧的圆周上，周上，摇杆杆绕O轴以匀角速度以匀角速度转动， = t。当运。当运动开开场时，摇杆杆在程度位置。求：在程度位置。求：1滑滑块相相对于于BC弧的速度、加弧的速度、加速度；速度；2滑滑块相相对于于摇杆的速度、加速度。杆的速度、加速度。 理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.3 描画点运动的自然坐标法 解解 1)求滑块求滑块M相对于相对于圆弧圆弧BC的速度和加速度的速度和加速度 建立图示直角坐标系Oxy，动点M的坐标为 直角坐标法求解。从上述两式消去t，得轨迹方程 理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.3 描画点运动的自然坐标法 滑块M的速度在坐标轴上的投影和大小分别为 其方向余弦为 理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.3 描画点运动的自然坐标法 滑块M的加速度在坐标轴上的投影和大小分别为 其方向余弦为 理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.3 描画点运动的自然坐标法 自然坐标法求解 。 以M点的起始位置O为原点，逆时针方向为正。 滑块M的运动方程为 速度大小为 滑块M的加速度为 ， ， 方向如图。 理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.3 描画点运动的自然坐标法 2) 再求滑块M相对于摇杆的速度和加速度 将动参考系Ox固定在杆OA上。此时，滑块M在杆OA上作直线运动，相对轨迹是知的直线。 M点的相对运动方程、相对速度和相对加速度分别为 速度与加速度的方向均沿OA方向。 理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.4 刚体的平行挪体的平行挪动 假设在运动过程中，刚体上任不断线的方向一直与它原来的方向平行，那么称刚体作平行挪动，简称平移。 车厢 振动筛 理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.4 刚体的平行挪动 1、刚体平移时，刚体内各点的轨迹外形都一样。 2、刚体平移时，刚体内各点的速度和加速度都一样。由于平移时于是，得 研讨刚体的平行挪动问题，归结为研讨其上任一点的运动问题。理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.4 刚体的平行挪动 例例5-3 荡木用两条等长的钢索平行吊起，钢索长为荡木用两条等长的钢索平行吊起，钢索长为l，如图如图5-11所示。当荡木摆动时，钢索的摆动规律为所示。当荡木摆动时，钢索的摆动规律为 。试求荡木中点。试求荡木中点M的速度和加速度。的速度和加速度。 解解 荡荡木木作作平平行行挪挪动动。荡荡木木中中 点点 M的的运运动动轨轨迹迹是是圆圆周周，且且其其速速度度和和加加速速度度均均与与点点 A的的 速速 度度 和和 加加 速速 度度 相相 等等 。1运动方程 以最低点O为起点，规定弧坐标s向右为正，那么点A同时也是点M的运动方程为： 理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.4 刚体的平行挪动 1运动方程2速度和加速度上式即为点M的速度和加速度。 以最低点O为起点，规定弧坐标s向右为正，那么点A同时也是点M的运动方程为： 理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.5 刚体的定体的定轴转动 假设在运动的刚体上或其扩展部分有一根直线一直坚持不动，那么称刚体作定轴转动。这根不动的直线称为轴线或转轴。 5.5.1定轴转动方程定轴转动方程 角速度和角加速度角速度和角加速度 刚体定轴转动的运动方程为 其中， 为描画截面位置的角坐标 (角的大小并冠以正负号，正负号由右手定那么确定) 。理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社刚体定轴转动的运动方程为 5.5 刚体的定轴转动 描画定轴转动方向及快慢的量称为角速度，用表示单位为rad/s。 也可用每分钟的转数n来表示角速度，其单位为r/min描画角速度变化方向及快慢的量为角加速度，用表示单位为rad/s2。 理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.5 刚体的定轴转动 下面引见几种特殊转动下面引见几种特殊转动 1匀速转动 常量 2匀变速转动 常量 理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.5.2 定轴转动时，刚体内恣意点的速度与加速度定轴转动时，刚体内恣意点的速度与加速度 5.5 刚体的定轴转动 刚体内任一点M作圆周运动，其在自然坐标系下的运动方程为： 1. 速度 理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.5 刚体的定轴转动 1. 速度 2. 加速度 全加速度的大小为 其方向与所在点法向R方向的夹角为 ， 理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.5 刚体的定轴转动 刚体转动时，同一时辰刚体上各点速度与加速度的分布情况如下： 在垂直于转轴的截面上，同一半径上各点的速度呈直角三角形分布，而加速度呈锐角三角形分布。 理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.5 刚体的定轴转动 例例5-4一一 半半 径径 R=0.2m的的圆圆轮轮绕绕定定轴轴 O的的转转动动方方程程为为 ，其其中中 的的单单位位为为 rad，t的的单单位位为为 s。 求求t=1s时时，轮轮缘缘上上任任一一点点 M的的速速度度 vM和和加加速速度度 aM。 如如在在轮轮缘缘上上绕绕一一柔柔软软而而不不可可伸伸长长的的绳绳子子并并在在绳绳端端悬悬一一物物体体A， 求求 当当 t=1s时时，物物体体 A的的 速速 度度 vA和和加加速速度度 aA。 解解 1圆轮在任一时辰的角速圆轮在任一时辰的角速度和角加速度为度和角加速度为 当t=1s时，角速度和角加速度为 理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.5 刚体的定轴转动 2点M的速度和加速度 t=1s时点M的速度为 沿圆周切向。切向和法向加速度为 加速度的大小为 其方向角为 理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.5 刚体的定轴转动 3物体A的速度和加速度 点M的弧长与物体A下降的间隔相等，即 所以有 物体A加速度的大小为 负号表示方向向上。 方向向下。 理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.5 刚体的定轴转动 例例5-5 在在图5-16a中中，平平行行四四连杆杆机机构构在在图示示平平面面内内运运动。O1A = O2B = 0.2m，O1O2 = AB = 0.6m，AM = 0.2m。如如 O1A按按 = 15t的的规律律转动，其其中中以以rad计，t以以s计。试求求t = 0.8s时，M点点的的速速度度和和加加速速度度。 解解 O1A为定轴转动，为定轴转动， AB杆为平移杆为平移 。根据。根据平移的特点，在同一平移的特点，在同一时辰，时辰，M点与点与A点具点具有一样的速度和加速有一样的速度和加速度，且度，且M点亦作圆周点亦作圆周运动。运动。 理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.5 刚体的定轴转动 M点也作圆周运动，其运动规律为 其速度大小为其切向和法向加速度的大小分别为 t = 0.8s时， = 12，杆AB正好第六次回到起始的程度位置，vM和aM的方向如图5-16b所示。 ，理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.5.3 轮系的传动比轮系的传动比 5.5 刚体的定轴转动 1. 齿轮传动 由于传动时两齿轮之间只需相对滚动而无相对滑动，故两接触点处的线速度和切向加速度大小相等，方向一样。vM1=vM2 由于 定义两齿轮的传动比为： 理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.5 刚体的定轴转动 2. 皮带轮和链轮传动 皮带轮传动的特点是：假设皮带不可伸长，皮带与皮带轮之间无相对滑动；皮带或链条上各点的速度v和切向加速度at都一样。 定义两齿轮的传动比为： 理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.5 刚体的定轴转动 例例5-6 图5-19为一减速器，一减速器，轴为自自动轴，与，与电动机相机相联。知。知电动机机转速速n = 1450 r/min，各，各齿轮的的齿数数z1 = 14，z2 = 42，z3 = 20，z4 = 36。求减速器的。求减速器的总传动比比i13及及轴III的的转速。速。 解解 各齿轮作定轴转动，各齿轮作定轴转动，为定轴轮系的传动问题。为定轴轮系的传动问题。 轴I与II的传动比为 轴II与III的传动比为 理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.5 刚体的定轴转动 从轴I至轴III的总传动比为 代入知数据，得总传动比为 轴III的转速为 其转向如下图。 理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.5 刚体的定轴转动 5.5.4 角速度和角加速度的矢量表角速度和角加速度的矢量表示示 1. 角速度和角加速度的矢量表示； 定义定轴转动刚体角速度矢量的作用线沿其转轴，大小为 ，指向由右手定那么确定。 定义定轴转动刚体的角加速度矢量， ， 其大小为 ，作用线沿转轴，指向由右手定那么确定。 理论力学电子教案理论力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.5 刚体的定轴转动 2. 点的速度和加速度的矢积表示 定轴转动刚体上任一点M的速度v可以表示为 v = r 定轴转动刚体上任一点M的加速度可以表示为 a=r+v=r+(r) 等式右侧第一项为切向加速度at，第二项指向转动轴，为法向加速度an。故有