二阶常系数线性微分方程的解法二阶常系数线性微分方程的解法一、二阶常系数线性微分方程解的性质与通解的结构一、二阶常系数线性微分方程解的性质与通解的结构二二阶常系数常系数线性微分方程性微分方程的标准形式的标准形式其中其中a, ,b是常数是常数. .(1)(2)称称为二阶常系数二阶常系数齐次齐次线性微分方程。线性微分方程。 1二阶常系数二阶常系数齐次齐次线性方程解的性质线性方程解的性质回顾回顾一阶齐次线性一阶齐次线性方程方程1 1、方程、方程(1)(1)的任意两个解的任意两个解的的和仍是和仍是(1)(1)的解；的解；2 2、方程、方程(1)(1)的任意一个解的常数倍仍是的任意一个解的常数倍仍是(1)(1)的解；的解；2二阶常系数二阶常系数齐次齐次线性方程解的性质线性方程解的性质1 1、方程、方程(2)的任意两个解的任意两个解的的和仍是和仍是(2)的解；的解；2 2、方程、方程(2)的任意一个解的常数倍仍是的任意一个解的常数倍仍是(2)的解；的解；也是也是(2)的解的解. .( (称称线性无关线性无关),),则上式为则上式为(2)的的通解通解. .定理定理1 1(2)3二、二阶常系数二、二阶常系数齐次齐次线性方程的线性方程的解法解法 代数方程代数方程(3)称称为微分方程微分方程(2)的的特征方程特征方程, ,它的根称它的根称为特征根特征根( (或或特征值特征值).). (3)(2)4故它故它们线性无关性无关, , 因此因此(2)的通解的通解为 (3)情形情形1 1 5情形情形2 2 需要求另一个特解需要求另一个特解6情形情形3 3 可以证明可以证明, ,是是(2)的解，的解，且线性无关，且线性无关， 所以方程所以方程(2)的通解的通解为 7小结小结 特征根的情况特征根的情况通解的表达式通解的表达式 实根实根实根实根复根复根8解解特征方程为特征方程为故所求通解为故所求通解为例例1 1例例2 2解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为特征根为特征根为9解解特征方程为特征方程为故通解为故通解为例例3 3特征根为特征根为10对应齐次方程对应齐次方程三、二阶常系数三、二阶常系数非齐次非齐次线性方程解的性质及求解法线性方程解的性质及求解法(1)(2)1 1、方程方程(1)的任意一个解加上方程的任意一个解加上方程(2)的任意一个的任意一个解是解是(1)的解；的解；2 2、方程方程(1)的任意两个解之差是的任意两个解之差是(2)的解的解 . .定理定理2 2那么方程那么方程(1)(1)的通解为的通解为11问题归结为求方程问题归结为求方程(1)的一个特解的一个特解. .只讨论只讨论 f (x) 的两种类型的两种类型. .用用待定系数法待定系数法求解求解. .对应齐次方程对应齐次方程三、二阶常系数三、二阶常系数非齐次非齐次线性方程解的性质及求解法线性方程解的性质及求解法(1)(2)那么方程那么方程(1)(1)的通解为的通解为定理定理2 212则则13情形情形1 1 若若 r 不是特征根不是特征根, , 即即情形情形2 2 若若 r 是特征方程的是特征方程的单根根, , 即即14情形情形3 3 若若 r 是特征方程的是特征方程的二重二重根根, , 即即15综上讨论综上讨论设特解为设特解为其中其中16解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根例例4 4代入原方程代入原方程, ,得得 17解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根代入方程，代入方程，原方程通解为原方程通解为例例5 5得得18解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根例例6 6代入方程代入方程, 得得19解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根例例6 6注意：注意：现即现即即得即得这样比代入原方程要简便得多。这样比代入原方程要简便得多。20解解例例7 7对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根21此此时原方程的通解原方程的通解为 22可以证明可以证明, ,方程方程(1)具有如下形式的特解具有如下形式的特解: :23解解例例8 8所求所求通解通解为 对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根代入原方程代入原方程, ,得得 24解解例例9 9所求所求通解通解为 对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根代入原方程代入原方程, ,得得 25定理定理3 (3 (非齐次线性方程的叠加原理非齐次线性方程的叠加原理) ) 和和的特解的特解, ,的一个特解的一个特解, ,26例例1010解解代入得代入得27解解代入得代入得原方程通解为原方程通解为例例101028解解例例1111是是对应齐次方程的通解次方程的通解, ,但没有原方程的特解但没有原方程的特解, , 故故( (B)B)也不也不对； 二二阶非非齐次次线性微分方程性微分方程 2930解解例例1212求导，求导，原方程改写为原方程改写为再求导，再求导，31对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根代入得代入得 32初始条件初始条件: : 33练习：练习：P394 习题九习题九34