第六章第六章 均匀设计法均匀设计法61 基本原理基本原理一、引言一、引言正交试验设计利用：正交试验设计利用：均衡分散：试验点在试验范围内排列规律整齐均衡分散：试验点在试验范围内排列规律整齐整齐可比：试验点在试验范围内散布均匀整齐可比：试验点在试验范围内散布均匀 可以进行部分试验而得到基本上反映全面情况的试验可以进行部分试验而得到基本上反映全面情况的试验结果，但是，当试验中因素数或水平数比较大时，正交试结果，但是，当试验中因素数或水平数比较大时，正交试验的次数也会很大。如验的次数也会很大。如5因素因素5水平，用正交表需要安排水平，用正交表需要安排5525次试验。这时，可以选用均匀设计法，仅用次试验。这时，可以选用均匀设计法，仅用5次试验次试验就可能得到能满足需要的结果就可能得到能满足需要的结果1978年，七机部由于导弹设计的要求，提出了一个五因素年，七机部由于导弹设计的要求，提出了一个五因素的试验，希望每个因素的水平数要多于的试验，希望每个因素的水平数要多于10，而试验总数又，而试验总数又不超过不超过50，显然优选法和正交设计都不能用，方开泰与王，显然优选法和正交设计都不能用，方开泰与王元经过几个月的共同研究，提出了一个新的试验设计，即元经过几个月的共同研究，提出了一个新的试验设计，即所谓所谓“均匀设计均匀设计”，将这一方法用于导弹设计，取得了成，将这一方法用于导弹设计，取得了成效效均匀设计法愈正交设计法的不同：均匀设计法愈正交设计法的不同：均匀设计法不再考虑均匀设计法不再考虑“数据整齐可比数据整齐可比”性，只考虑试验点性，只考虑试验点在试验范围内充分在试验范围内充分“均衡分散均衡分散”均匀设计属于近年发展起来的均匀设计属于近年发展起来的“伪蒙特卡罗方法伪蒙特卡罗方法”的的范筹。将经典的确定的单变量问题的计算方法推广后范筹。将经典的确定的单变量问题的计算方法推广后用于多变量问题的计算时，计算量往往跟变量个数有用于多变量问题的计算时，计算量往往跟变量个数有关，即使电脑再进步很多，这种方法仍无法实际应用，关，即使电脑再进步很多，这种方法仍无法实际应用，乌拉母（乌拉母（S.Ulam）与冯诺依曼与冯诺依曼(J.von Neumann)在在40年代提出蒙特卡罗方法，即统计模拟方法，这个方法年代提出蒙特卡罗方法，即统计模拟方法，这个方法的大意是将一个分析问题化为一个有同样解答的概率的大意是将一个分析问题化为一个有同样解答的概率问题，然后用统计模拟的方法来处理后面这个问题，问题，然后用统计模拟的方法来处理后面这个问题，这样使一些困难的分析问题反而得到了解决，例如多这样使一些困难的分析问题反而得到了解决，例如多重定积分的近似计算。蒙特卡罗方法的关键是找一组重定积分的近似计算。蒙特卡罗方法的关键是找一组随机数作为统计模拟之用，所以这一方法的精度在于随机数作为统计模拟之用，所以这一方法的精度在于随机数的均匀性与独立性。随机数的均匀性与独立性。二、均匀设计表二、均匀设计表均匀设计表符号表示的意义均匀设计表符号表示的意义U7(76)均匀表的代号试验次数因素的水平数因素数图图9-1 两因素均匀设计布点图两因素均匀设计布点图如如U6(64)表示要做次表示要做次6试验，每个因素有试验，每个因素有6个水平，个水平，该表有该表有4列。列。 1234112362246533624441535531266541U6(64)列号试验号每个均匀设计表都附有一个使用表，它指示我们如何从设计表每个均匀设计表都附有一个使用表，它指示我们如何从设计表中选用适当的列，以及由这些列所组成的试验方案的均匀度。中选用适当的列，以及由这些列所组成的试验方案的均匀度。下表是下表是U6(64)的使用表。它告诉我们，若有两个因素，应选用的使用表。它告诉我们，若有两个因素，应选用1，3两列来安排试验；若有三个因素，应选用两列来安排试验；若有三个因素，应选用1，2，3三列，三列，最后，最后1列列D表示刻划均匀度的偏差表示刻划均匀度的偏差(discrepancy)，偏差值越偏差值越小，表示均匀度越好。小，表示均匀度越好。s列号D2130.187531230.2656412340.2990U6(64)的使用表均匀设计有其独特的布（试验）点方式：均匀设计有其独特的布（试验）点方式：每个因素的每个水平做一次且仅做一次试验每个因素的每个水平做一次且仅做一次试验任两个因素的试验点点在平面的格子点上，每行每列有且任两个因素的试验点点在平面的格子点上，每行每列有且仅有一个试验点仅有一个试验点 以上两个性质反映了均匀设计试验安排的以上两个性质反映了均匀设计试验安排的“均衡性均衡性”，即对各因，即对各因素，每个因素的每个水平一视同仁。素，每个因素的每个水平一视同仁。均匀设计表任两列组成的试验方案一般并不等价均匀设计表任两列组成的试验方案一般并不等价例如用例如用U6(64)的的1，3 和和1，4列分别画图，得到下面的图列分别画图，得到下面的图 (a)和图和图 (b)。我们看到，我们看到，(a)的点散布比较均匀，而的点散布比较均匀，而(b)的的点散布并不均匀。均匀设计表的这一性质和正交表有很大点散布并不均匀。均匀设计表的这一性质和正交表有很大的不同，因此，每个均匀设计表必须有一个附加的使用表。的不同，因此，每个均匀设计表必须有一个附加的使用表。三、试验结果分析三、试验结果分析均匀设计的结果没有整齐可比性，分析结果不均匀设计的结果没有整齐可比性，分析结果不能采用一般的方差分析方法，通常要用回归分析能采用一般的方差分析方法，通常要用回归分析或逐步回归分析的方法或逐步回归分析的方法：92 应用举例利用均匀设计表来安排试验的步骤：利用均匀设计表来安排试验的步骤：（1）根据试验的目的，选择合适的因素和相应的水平。）根据试验的目的，选择合适的因素和相应的水平。（2）选择适合该试验的均匀设计表，然后根据该表的使）选择适合该试验的均匀设计表，然后根据该表的使用表从中选出列号，将因素分别安排到这些列号上，并将用表从中选出列号，将因素分别安排到这些列号上，并将这些因素的水平按所在列的指示分别对号，则试验就安排这些因素的水平按所在列的指示分别对号，则试验就安排好了好了在阿魏酸的合成工艺考察中，为了提高产量，选在阿魏酸的合成工艺考察中，为了提高产量，选取了原料配比取了原料配比(A)、吡啶量吡啶量(B)和反应时间和反应时间(C)三个三个因素，它们各取了因素，它们各取了7个水平如下：个水平如下：原料配比（原料配比（A）：）：1.0，1.4，1.8，2.2，2.6，3.0，3.4吡啶量（吡啶量（B）(ml)：10，13，16，19，22，25，28反应时间（反应时间（C）(h)：0.5，1.0，1.5，2.0，2.5，3.0，3.57个个水平，需要安排水平，需要安排7次试验，根据因素和水平，我们可以次试验，根据因素和水平，我们可以选用选用U7(76)完成该试验。完成该试验。1234561123656224653533624144415363553124266541217777777U7(76)列号试验号因素数列号2133123412365123466123456U7(76)使用表使用表U7(76)共有6列，现在有3个因素，根据其使用表，应该取1，2，3列安排试验。No.配比配比（A）吡啶量吡啶量（B）反应时反应时间间（C）收率收率（Y）11.0(1)13(2)1.5(3)0.33021.4(2)19(4)3.0(6)0.33631.8(3)25(6)1.0(2)0.29442.2(4)10(1)2.5(5)0.47652.6(5)16(3)0.5(1)0.20963.0(6)22(5)2.0(4)0.45173.4(7)28(7)3.5(7)0.482制备阿魏酸的试验方案U7(73)和结果根据试验方案进行试验，其收率根据试验方案进行试验，其收率(Y)列于表的最后列于表的最后一列，其中以第一列，其中以第7号试验为最好，其工艺条件为配号试验为最好，其工艺条件为配比比3.4，吡啶量，吡啶量28ml，反应时间反应时间3.5h。我们可用线性回归模型来拟合上表的试验数据我们可用线性回归模型来拟合上表的试验数据方差来源自由度平方和均方F回归误差总和3360.0487700.0148380.0636080.0162570.0049463.29方差分析表现在用逐步回归分析的方法来筛选变量：现在用逐步回归分析的方法来筛选变量：逐步回归是回归分析中的一种筛选变量的技术逐步回归是回归分析中的一种筛选变量的技术.开始开始它将贡献最大的一个变量选入回归方程，并且预先确定两它将贡献最大的一个变量选入回归方程，并且预先确定两个阈值个阈值Fin和和Fout，用于决定变量能否入选或剔除用于决定变量能否入选或剔除.逐步回逐步回归在每一步有三种可能的功能：归在每一步有三种可能的功能：将一个新变量引进回归模型，这时相应的将一个新变量引进回归模型，这时相应的F统计量必须大于统计量必须大于Fin将一个变量从回归模型中剔除，这时相应的将一个变量从回归模型中剔除，这时相应的F统计量必须小于统计量必须小于Fout 将回归模型内的一个变量和回归模型外的一个变量交换位置。将回归模型内的一个变量和回归模型外的一个变量交换位置。设先用后退法来选变量设先用后退法来选变量.所谓后退法，就是开始将所谓后退法，就是开始将所有的变量全部采用，然后逐步剔除对方程没有所有的变量全部采用，然后逐步剔除对方程没有显著贡献的变量，直到方程中所有的变量都有显显著贡献的变量，直到方程中所有的变量都有显著贡献为止。著贡献为止。仍考虑线性模型，开始三个因素全部进入方程，仍考虑线性模型，开始三个因素全部进入方程，得得(2.12).统计软件包通常还会提供每个变量的统计软件包通常还会提供每个变量的t值，值，t值越大（按绝对值计）表示该因素越重要值越大（按绝对值计）表示该因素越重要.对本例有对本例有 t0=0.204,t1=0.96,t2=-0.67,t3=2.77这表明三个因素中以这表明三个因素中以X3（反应时间）对得率（反应时间）对得率（Y）影影响最大，配比次之，吡啶量最小。响最大，配比次之，吡啶量最小。这些这些t 值都是随机变量，它们遵从值都是随机变量，它们遵从tn-m-1分布。分布。若取若取=0.05 ，这时这时n=7,m=3, tn-m-1= 的临界值的临界值t3(0.05)=3.18。t值大于该值的因素表示对方程有显著贡献，否则表示不值大于该值的因素表示对方程有显著贡献，否则表示不显著。今显著。今 均小于均小于(0.05)=3.18 ，说明回归方程，说明回归方程(2.18)的三的三个变量至少有一个不起显著作用个变量至少有一个不起显著作用.于是我们将贡献最小的于是我们将贡献最小的X2删去，重新建立删去，重新建立Y和和X1及及X3的线性回归方程，得的线性回归方程，得例例.均匀设计法在全光亮镀镍研究中的应用均匀设计法在全光亮镀镍研究中的应用1. 均匀设计表的选取均匀设计表的选取 本实验的目的是提高镀层光亮性。经初步研究，取其固本实验的目的是提高镀层光亮性。经初步研究，取其固定组成为硫酸镍定组成为硫酸镍25g/L，次磷酸钠次磷酸钠25g/L，醋酸钠醋酸钠25g/L。考察因素为稳定剂，主光亮剂，辅助光亮剂，润湿剂考察因素为稳定剂，主光亮剂，辅助光亮剂，润湿剂4个个因素，每个因素取值范围为因素，每个因素取值范围为t个水平个水平（t 为实验次数），为实验次数），4个因素的一次项及二次项各有个因素的一次项及二次项各有4项，项，4项因素间的两两交互项因素间的两两交互作用设有作用设有6项，共项，共14项，实验数不能小于项，实验数不能小于14，本实验选用，本实验选用U17（178）表。表。均匀表U17（178）U17（178）表的使用表本本实验为实验为4因素，这因素，这4个因素安排在均匀表的个因素安排在均匀表的1，5，7，8列，去掉列，去掉U17（178）的）的最后一行，将实验方案及结果见最后一行，将实验方案及结果见下表。下表。2.指标的选择和优化指标的选择和优化 指标是回归方程中的响应函数，在本实验中即是镀指标是回归方程中的响应函数，在本实验中即是镀件质量。根据我们对镀件的要求，定义一个综合指标件质量。根据我们对镀件的要求，定义一个综合指标z，z的分值由外观评分的分值由外观评分R，沉积速度评分沉积速度评分V，耐腐蚀性评耐腐蚀性评分分Q乘以不同的权重构成，乘以不同的权重构成，z=0.5R+0.2V+0.3Q。R，V，Q的分值分别为的分值分别为0100。3.实验方法实验方法 试样为试样为10cm5cm0.2cm的低碳钢板，在的低碳钢板，在8890 的恒的恒温水浴槽内施镀，镀液温水浴槽内施镀，镀液pH值控制在值控制在4.5-5.0。镀前处理按常规。镀前处理按常规进行，按均匀设计表中确定的组成分别配成进行，按均匀设计表中确定的组成分别配成16种化学镀液，种化学镀液，挂镀法施镀挂镀法施镀1h，清洗，晾干，对试样进行外观的评定。清洗，晾干，对试样进行外观的评定。 沉积速度测定：沉积速度，样片增加的重量沉积速度测定：沉积速度，样片增加的重量/样片的面积样片的面积(g/cm2 ) 耐腐蚀性测定：耐腐蚀性测定：10硫酸浸泡硫酸浸泡24h，根据失重及腐蚀后外观根据失重及腐蚀后外观评分评分4.结果处理及分析结果处理及分析 实验结果用计算机处理，主要运用软件为实验结果用计算机处理，主要运用软件为SPSS和和Matlab。 4.1建立数学模型及筛选变量建立数学模型及筛选变量 考虑到可能有的数学关系，将各因素的一次项，二考虑到可能有的数学关系，将各因素的一次项，二次项，两因子间的交互作用项均作为考察对象，回归次项，两因子间的交互作用项均作为考察对象，回归方程模型为：方程模型为： R=b0+bixi+bijxixj+biixi2 (i=1,2,3,4;ij) b为各项系数。将给因素的值及综合指标输入计算为各项系数。将给因素的值及综合指标输入计算机，用自后淘汰变量法机，用自后淘汰变量法(backward selection)进行回归进行回归分析和变量筛选，分析和变量筛选，sigF0.100.10的变量被淘汰，的变量被淘汰，最后得最后得到指标与相关组成的回归方程。到指标与相关组成的回归方程。Z=86.726+6.555d4.554p21.384c20.0164123.177pc0.1932p0.1209c0.3779dc为主光亮剂；为主光亮剂；d为辅助光亮剂；为辅助光亮剂；为润湿剂；为润湿剂；p为稳定剂。为稳定剂。4.2对回归方程的优化处理对回归方程的优化处理用求条件极值的强约束优化法对回归方程进行优化，用用求条件极值的强约束优化法对回归方程进行优化，用Matlab语言编程语言编程 ，用，用BFGS拟牛顿拟牛顿(Quasi-Newton)算法及最小二乘法寻算法及最小二乘法寻优，本实验找到的最优解为：主光亮剂优，本实验找到的最优解为：主光亮剂HC3.7mg/L，辅助光亮辅助光亮剂剂HD1.1ml/g，稳定剂稳定剂0.2mg/L，润湿剂润湿剂19.7mg/L，乳酸乳酸6mol/L。 4.3优化结果的验证优化结果的验证 按最优解所得到的组成配成镀液进行施镀，所得试样外按最优解所得到的组成配成镀液进行施镀，所得试样外观达到镜面全光亮，镀件经各种腐蚀介质分别浸泡观达到镜面全光亮，镀件经各种腐蚀介质分别浸泡24h后后外观仍然光亮，镀层无明显变化。镀片综合指数评定值为外观仍然光亮，镀层无明显变化。镀片综合指数评定值为96.2，优于实验中最好的，优于实验中最好的5号试样。镀速可达号试样。镀速可达115m /h，镀液使用周期可达镀液使用周期可达8周期以上。周期以上。4.4各因素对镀层质量影响的分析各因素对镀层质量影响的分析回归方程中各项系数的大小反映了该因素对指标影响的大小，回归方程中各项系数的大小反映了该因素对指标影响的大小，但由于给系数的单位不同不能进行比较，因此需对给变量的但由于给系数的单位不同不能进行比较，因此需对给变量的系数进行标准化，将回归方程系数变为标准回归系数系数进行标准化，将回归方程系数变为标准回归系数b0 ： 主光亮剂主光亮剂c2 辅助光亮剂辅助光亮剂d 稳定剂稳定剂p2 润湿剂润湿剂2 b0 0.384 0.384 0.759 0.418 交互交互pcpc 交互交互pw 交互交互cw 交互交互dwb0 0.485 0.233 0.229 0.714从以上数据看出，但因素对综合指标影响最大的是稳定从以上数据看出，但因素对综合指标影响最大的是稳定剂，其次是润湿剂。根据交互作用项的系数可看出，润剂，其次是润湿剂。根据交互作用项的系数可看出，润湿剂与辅助光亮剂的交互作用湿剂与辅助光亮剂的交互作用dw影响最大，其次主光亮影响最大，其次主光亮剂与稳定剂的交互作用影响液也较大。剂与稳定剂的交互作用影响液也较大。6-3 混合水平的均匀设计表混合水平的均匀设计表 在应用均匀设计时会面临许多新情况，需要灵活加以应用在应用均匀设计时会面临许多新情况，需要灵活加以应用 有如下三种方法：有如下三种方法： a) 均匀设计与调优方法共用；均匀设计与调优方法共用； b)分组试验；分组试验； c)拟水平法拟水平法 本节仅介绍拟水平法在均匀设计法中的应用本节仅介绍拟水平法在均匀设计法中的应用 若在一个试验中，有二个因素若在一个试验中，有二个因素A和和B为三水平，一个因素为三水平，一个因素C为二水为二水平分别记它们的水平为平分别记它们的水平为A1，A2，A3,B1，B2，B3和和C1，C2这这个试验可以用正交表个试验可以用正交表L18(2x 37)来安排，这等价于全面试验，并且不来安排，这等价于全面试验，并且不可能找到比可能找到比L18更小的正交表来安排这个试验更小的正交表来安排这个试验 可以用拟水平技术均匀设计来安排这个试验。我们选用均匀设计可以用拟水平技术均匀设计来安排这个试验。我们选用均匀设计麦麦U6*(66)，按使用表的推荐用按使用表的推荐用1，2，3前前3列，若将列，若将A和和B放在前两放在前两列，列，C放在第放在第3列，并将前两列的水平合并：列，并将前两列的水平合并： 1,21 3,42 5,63 同时将第同时将第3列水平合并为二水平：列水平合并为二水平： 1,2,31 4,5,62 于是得设计表于是得设计表(表表20)这是一个混合水平的设计表这是一个混合水平的设计表U6(3221） 这个表有很好的均衡性。例如，这个表有很好的均衡性。例如，A列和列和C列，列，B列和列和C列的二因列的二因素设计正好组成它们的全面试验方案，素设计正好组成它们的全面试验方案，A列和列和B列的二因素设计中没列的二因素设计中没有重复试验有重复试验 我们要安排一个二因素我们要安排一个二因素(A,B)五水平和一因素五水平和一因素(C)二水平的试验二水平的试验这项试验若用正交设计，可用这项试验若用正交设计，可用L50表，但试验次数太多若用均匀表，但试验次数太多若用均匀设计来安排，可用设计来安排，可用U10(5221) 若选用若选用U10(1010)的的1，2，5三列，用同样的拟水平技术，便可三列，用同样的拟水平技术，便可获得表获得表22列举的列举的U10(5221)表它有较好的均衡性表它有较好的均衡性 对对1，5列采用水平合并列采用水平合并 1,21 。 9,105 1,2，3，4，51 6,7，8，9，102 于是得表于是得表22的方案。的方案。 经计算发现现表经计算发现现表22结出的表具有偏差结出的表具有偏差D0.39253，达到了达到了最小最小表表-22 拟水平设计拟水平设计U10(5221)6-4 均匀设计和正交设计的比较均匀设计和正交设计的比较 正交设计和均匀设计是目前最流行的两种试验设计的方法，它们正交设计和均匀设计是目前最流行的两种试验设计的方法，它们各有所长，相互补充，给使用者提供了更多的选择本节将讨论两种各有所长，相互补充，给使用者提供了更多的选择本节将讨论两种试验设计的特点。试验设计的特点。 1。正交设计具有正交性。如果试验按它设计可以估计出因素的主。正交设计具有正交性。如果试验按它设计可以估计出因素的主效应，有时也能估出它们的交互效应效应，有时也能估出它们的交互效应 均匀设计是非正交设计它不可能估计出方差分析模型中的主效应均匀设计是非正交设计它不可能估计出方差分析模型中的主效应和交互效应，但是它可以估计出回归模型中因素的主效应和交互效应和交互效应，但是它可以估计出回归模型中因素的主效应和交互效应 2。 正交设计用于水平数不高的试验，因为它的试验数至少为水正交设计用于水平数不高的试验，因为它的试验数至少为水平数的平方如有五个因素，每个因素取平数的平方如有五个因素，每个因素取3l个水平，其全部组合有个水平，其全部组合有31528625151个。若用正交设计，至少需要做个。若用正交设计，至少需要做961312个试验。个试验。 而用均匀设计只需而用均匀设计只需31次，所以均匀设计适合于多因素多水平试验次，所以均匀设计适合于多因素多水平试验 3。 正交设计的数据分析程式简单，正交设计的数据分析程式简单，“直观分析直观分析”可以给出试验可以给出试验指标指标y随每个因素的水平变化的规律随每个因素的水平变化的规律 均匀设计的数据要用回归分析来处理，有时需用逐步回归等筛选均匀设计的数据要用回归分析来处理，有时需用逐步回归等筛选 变量的技巧，非使用电脑和应用软件不可变量的技巧，非使用电脑和应用软件不可 4。两种设计的。两种设计的均匀性比较均匀性比较 因为很难因为很难找到二个设计找到二个设计有相同的试验有相同的试验数和相同的水数和相同的水平数，一个来平数，一个来自正交没计，自正交没计，另一个来自均另一个来自均匀设计匀设计 由于这由于这种困难，我们种困难，我们从如下三个角从如下三个角度来比较：度来比较： （1. 试验数相同试验数相同时的偏差的比时的偏差的比较较 表表-23给出给出当因素数当因素数s2，3，4时两种时两种试验的偏差比试验的偏差比较，较， 注：注：在比较中我们没有全在比较中我们没有全部用部用U*表，如果全部用表，如果全部用U*表，表，其均匀设计的偏差会进一步减其均匀设计的偏差会进一步减小小 （2 水平数相同时偏差的比水平数相同时偏差的比较较 表表24的前两列给出了两种的前两列给出了两种设计水平数相同，但试验致不设计水平数相同，但试验致不同的比较，其中当均匀设计的同的比较，其中当均匀设计的试验数为试验数为n时，相应正交设计时，相应正交设计的试验数为的试验数为n2例如例如 U*6(62)的偏差的偏差01875，而，而L36(62)的偏的偏差为差为01597，两者差别并不大，两者差别并不大所以用所以用U*6(62)安排的试验安排的试验其效果虽然其效果虽然比不上比不上L36(62) ，但其效果并不太差，而试验次但其效果并不太差，而试验次数却少了数却少了6倍。倍。 (3 偏差相近时试验次数的比较偏差相近时试验次数的比较 刚才我们讲到刚才我们讲到U*6(62)比不上比不上L36(62) ，如果让试验次数适当增加，使相如果让试验次数适当增加，使相应的偏差与应的偏差与L36(62)的偏差相接近，例如的偏差相接近，例如U*8(82)的偏差为的偏差为0.1445，比，比L36(62)的偏差的偏差0.1597赂好但试验次数可省赂好但试验次数可省3684.5倍。倍。 表表25的最后一列给出了多种情形的比较及其可节省的试验倍数。的最后一列给出了多种情形的比较及其可节省的试验倍数。 结论：综合上述三种角度的比较，如果用偏差作为均匀性的度量，均匀结论：综合上述三种角度的比较，如果用偏差作为均匀性的度量，均匀设计明显地伏于正交设计并可节省四至十几倍的试验。设计明显地伏于正交设计并可节省四至十几倍的试验。