观察下列各个函数的图象，并说说它们观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律分别反映了相应函数的哪些变化规律： 问问: 随随x的增大，的增大，y的值有什么变化？的值有什么变化？O yOxOxy观察观察下列函数的图象，及其变化规律：下列函数的图象，及其变化规律： Oxy21yOxxyO如何描述函数图象的如何描述函数图象的“上升上升”、“下下降降”xyO如何描述函数图象的如何描述函数图象的“上升上升”、“下下降降”xyO如何描述函数图象的如何描述函数图象的“上升上升”、“下下降降”xyO如何描述函数图象的如何描述函数图象的“上升上升”、“下下降降”xyO如何描述函数图象的如何描述函数图象的“上升上升”、“下下降降”xyO如何描述函数图象的如何描述函数图象的“上升上升”、“下下降降”xyO如何描述函数图象的如何描述函数图象的“上升上升”、“下下降降”xyO如何描述函数图象的如何描述函数图象的“上升上升”、“下下降降”xyO如何描述函数图象的如何描述函数图象的“上升上升”、“下下降降”xyO如何描述函数图象的如何描述函数图象的“上升上升”、“下下降降”思考思考? 如何利用函数解析式如何利用函数解析式y=x2描述描述:“随随x的增大，相应的的增大，相应的f(x)随着减小随着减小”,“随随x的增大，相应的的增大，相应的f(x)随着增大随着增大”.Oxy如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？Oxy如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？Oxy如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？Oxy如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？Oxyx1x2x2x1如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？Oxyx1x2yf(x)x2x1如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？Oxyx1x2yf(x)f(x1) f(x2) x2x1如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？Oxyx1x2yf(x)f(x1)f(x2)x2x1如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？Oxyyf(x)f(x1)f(x2)x1x2 f(x1)f(x2)x2x1如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？Oxyyf(x)f(x1) f(x2) x2x1在给定区间上在给定区间上任取任取x1, x2x1x2 f(x1)f(x2)函数函数f (x)在给定区间上在给定区间上为为增函数增函数。如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？Oxyyf(x)f(x1) f(x2) x2x1在给定区间上在给定区间上任取任取x1, x2x1x2 f(x1)f(x2)函数函数f (x)在给定区间上在给定区间上为为增函数增函数。如何用如何用x与与f(x)来描述下降的图象？来描述下降的图象？x2x1Oxyyf(x)f(x1)f(x2)x2x1函数函数f (x)在给定区间上在给定区间上为为减函数减函数。x1x2 f(x1)f(x2)在给定区间上在给定区间上任取任取x1, x2一、增函数、减函数：一、增函数、减函数：一般地，设函数一般地，设函数f(x)的定义域为的定义域为I。1.如果对于如果对于定义域定义域I内的某个区间内的某个区间D上的上的任意任意两个自变量的值两个自变量的值x1, x2，当，当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)，那么就说，那么就说f(x)在这个区间在这个区间D上是上是增函数增函数。2.如果对于如果对于定义域定义域I内的某个区间内的某个区间D上的上的任意任意两个自变量的值两个自变量的值x1, x2，当，当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)，那么就说，那么就说f(x)在这个区间在这个区间D上是上是减函数减函数。二、函数单调性：二、函数单调性：-212345-23-3-4-5-1-112例例1:如图是定义在闭区间如图是定义在闭区间-5，5上的函数上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出的图象，根据图象说出y=f(x)的单调的单调区间，以及在每一单调区间上，函数区间，以及在每一单调区间上，函数y=f(x)是增函数还是减函数。是增函数还是减函数。(P29) 解解:函数函数f(x)的单调区间有的单调区间有-5,-2)，-2,1)，1,3)，3,5其中其中f(x)在区间在区间-5,-2)，1,3)上是减函数，上是减函数， 在区间在区间-2,1)，3,5上是增函数。上是增函数。图象法图象法练习：下图为函数练习：下图为函数 , 的图像，的图像，指出它的单调区间。指出它的单调区间。123-2-3-2-1123456 7xo-4-1y-1.5-1.5-1.5，33，55，66-4-4，-1.5-1.5，33，55，66，77解：增区间为解：增区间为减区间为减区间为(1)函数的函数的单调性单调性也叫函数的也叫函数的增减性增减性。(2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是函数的单调性是对某个区间而言的，它是个个局部概念局部概念。这个区间是定义域的这个区间是定义域的子集子集。(3)单调区间：针对自变量单调区间：针对自变量 x 而言的。而言的。若函数在此区间上是若函数在此区间上是增函数增函数，则，则区间区间为单调递为单调递增增区间区间若函数在此区间上是若函数在此区间上是减函数减函数，则，则区间区间为单调递为单调递减减区间区间(4)单调函数的单调函数的图像图像特征特征(几何几何特征特征)：增函数增函数图像从左向右上升图像从左向右上升减函数减函数图像从左向右下降图像从左向右下降O yOxOxy观察观察下列函数的图象，及其变化规律：下列函数的图象，及其变化规律： Oxy21yOx增区间为增区间为:减区间为减区间为:增区间为：增区间为：减区间为：减区间为：减区间为：减区间为：函数函数f(x)kxb(k0)在在R上是增函数。上是增函数。函数函数f(x)kxb(k0a0k0反比例函数反比例函数 的单调性：的单调性：OxyOxy增函数增函数增函数增函数减函数减函数减函数减函数结论：结论：函数函数f(x) 在其在其定义域定义域上上不具有不具有单调性单调性。1、求、求y x+5的单调区间。的单调区间。2、求、求y4x+5的单调区间。的单调区间。3、求、求yx24x+5的单调区间。的单调区间。4、求、求y x2+3x+5的单调区间。的单调区间。例例2:证明函数证明函数f(x)3x2在在R上是增函数。上是增函数。证明：证明：(条件条件)(论证结果论证结果)在在R上是增函数。上是增函数。 (结论结论)任取任取x1, x2R，且，且x1x23、定号：判断上述差的符号、定号：判断上述差的符号;4、下结论：、下结论：1、取值：任取、取值：任取x1, x2给定的区间，且给定的区间，且x1x2;2、作差、变形：计算、作差、变形：计算f(x1)f(x2) 至最简至最简;(若差若差0，则为增函数，则为增函数; 若差若差0，则为减函数，则为减函数)。三、用定义证明函数单调性的步骤三、用定义证明函数单调性的步骤证证明函数明函数f(x)在区在区间间D上具有上具有单调单调性的步性的步骤骤：练习练习1:证明函数证明函数f(x) 在在(0, )上上是减函数。是减函数。证明：证明：所以函数所以函数 在在(0,+ )上是减函数。上是减函数。任取任取x1, x2 (0, ) ，且，且x1x2证明：证明： 任取任取x1, x2 0, ) ，且，且x1x2练习练习2:O xy 例例2、物理学中的玻意耳定律物理学中的玻意耳定律 告诉我们，告诉我们，对于一定量的气体对于一定量的气体，当其体积当其体积V减小时，压强减小时，压强p将增大。将增大。试用函数的单调性证明之。（试用函数的单调性证明之。（P29）证明：证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，+)上的任意两个实数，且V1V2，则由V1，V2 (0，+)且V10, V2- V1 0于是 所以，函数 是减函数.也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.1.设4.定号3.变形2.作差5.结论结论证明：证明：任取任取x1, x2 0, ) ，且，且x1x2练习练习3:题型二、解不等式：题型二、解不等式：例例2：解：因为函数解：因为函数f(x)在定义域上是增函数在定义域上是增函数成果运用成果运用若若二次函数二次函数 在区间在区间 上单调递上单调递增，求增，求a的取值范围。的取值范围。 解：解：二次函数二次函数 的对称轴为的对称轴为 , ,由图象可知只要由图象可知只要 ，即，即 即可即可. . oxy1xy1o【课后小结课后小结】1、两个定义：增函数、减函数。、两个定义：增函数、减函数。 2、两种方法：、两种方法：判断函数单调性的方法：判断函数单调性的方法：有图象法、定义法。有图象法、定义法。 f(x) = x2-1-1-2-2-2-22 2-1-1-3-3O1 1xy f(x) = -x23 32 2-2-22 2-1-11 1O1 1xy f(x) = x3 32 2-2-22 2-1-11 1O1 1xy1.说出说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；2.指出图象的最高点或最低点，说明它体现函数的什么特征？指出图象的最高点或最低点，说明它体现函数的什么特征？ 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果存在实数如果存在实数M满足：满足： (1)对于任意的对于任意的xI，都有都有f(x)M; (2)存在存在x0I，使得使得f(x0) = M那么，称那么，称M是函数是函数y=f(x)的的最大值最大值。 一、函数的最大值：一、函数的最大值： 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果存在实数如果存在实数m满足：满足： 那么，称那么，称m是函数是函数y=f(x)的的最小值最小值。 二、函数的最小值：二、函数的最小值：(1)对于任意的对于任意的xI，都有都有f(x)m; (2)存在存在x0I，使得使得f(x0) = m2、函数最大、函数最大(小小)值应该是所有函数值中值应该是所有函数值中最大最大(小小)的，即对于任意的的，即对于任意的xI，都有都有f(x)M(f(x)m); 1、函数最大、函数最大(小小)值首先应该是某一个函值首先应该是某一个函数值，即存在数值，即存在x0I，使得使得f(x0) = M；3、函数最大、函数最大(小小)值的几何意义：函数图值的几何意义：函数图象上最高点象上最高点(最低点最低点)的纵坐标。的纵坐标。例例1:“菊花菊花”烟花是最壮观的烟花之一烟花是最壮观的烟花之一.制制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂造时一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果在距地面高度如果在距地面高度h m与时间与时间t s之间的之间的关系为关系为:h(t)=-4.9t2+14.7t+18，那么烟花冲出后什么时候是那么烟花冲出后什么时候是它的爆裂的最佳时刻？这时它的爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确距地面的高度是多少（精确到到1m）.（P30-31例例3）解：作出函数解：作出函数h(t)= -4.9t2+14.7t+18的图象的图象(如图如图).显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度纵坐标就是这时距地面的高度.由二次函数的知识，对于由二次函数的知识，对于h(t)=-4.9t2+14.7t+18于是，烟花冲出后于是，烟花冲出后1.5秒是秒是它爆裂的最佳时刻它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度为这时距地面的高度为29 m.如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a，b上单调递上单调递增增，则函数则函数y=f(x)在在x=a处有处有最小值最小值f(a)，在，在x=b处有处有最大值最大值f(b) ；如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a，b上单调递上单调递减减，在区间在区间b，c上单调递上单调递增增，则函数，则函数y=f(x) 在在x=b处有处有最小值最小值f(b)。三、三、利用函数单调性判断函数的最大利用函数单调性判断函数的最大(小小)值的方法值的方法 ：例例2:已知函数已知函数 ，求函数，求函数 的最大值和最小值的最大值和最小值.（P31例例4）由于由于2x1x20,(x1-1)(x2-1)0,于是于是所以，函数所以，函数 是区间是区间2,6上的减函数上的减函数. 因此因此,函数函数 在区间在区间2,6上的两个端点上分上的两个端点上分别取得最大值和最小值，即在点别取得最大值和最小值，即在点x=2时取最大值，最时取最大值，最大值是大值是2，在，在x=6时取最小值，最小值为时取最小值，最小值为0.4 .先说明函数在区间上先说明函数在区间上是减函数，复习一下是减函数，复习一下判定函数单调性的判定函数单调性的基本步骤。基本步骤。利用函数的单调性来求函数的利用函数的单调性来求函数的 最大值与最小值是一种十分常最大值与最小值是一种十分常用的方法，要注意掌握。用的方法，要注意掌握。解：任取解：任取x1, x2 2,6 ，且，且x1x2 例例3(12分分)(1)当当2x2时，求函数时，求函数yx22x3的最大的最大值和最小值值和最小值(2)当当1x2时，求函数时，求函数yx2x1的最大值和最小值的最大值和最小值(3)当当x0时，求函数时，求函数yx(2x)的取值范围的取值范围解析解析(1)作出函数的图象，如图作出函数的图象，如图(1)(2分分)当当x1时，时，ymin4；当当x2时，时，ymax5.(4分分)(2)作出函数的图象如图作出函数的图象如图(2)当当x1时，时，ymax1；(6分分)当当x2时，时，ymin5.(8分分)(3) 当当x1时，时，ymin1，无最大值，无最大值所以，当所以，当x0时，函数的取值范围是时，函数的取值范围是y1.(12分分) 一点通一点通求二次函数求二次函数f(x)ax2bxc(a0)在在m，n上的最值的步骤：上的最值的步骤：(1)配方，找对称轴；配方，找对称轴；(2)判断对称轴与区间的关系；判断对称轴与区间的关系； (3)求最值若对称轴在区间外，则求最值若对称轴在区间外，则f(x)在在m，n上单调，上单调，利用单调性求最值；若对称轴在区间内，则在对称轴处取利用单调性求最值；若对称轴在区间内，则在对称轴处取得最小值，最大值在得最小值，最大值在m，n端点处取得端点处取得3函数函数f(x)2x26x1在区间在区间1,1上的最小值是上的最小值是 _，最大，最大值是值是_答案B 【课堂小结课堂小结】1、函数的最大、函数的最大(小小) 值及其几何意义值及其几何意义. 2、利用函数的单调性求函数的最大、利用函数的单调性求函数的最大(小小)值值. 对于不熟悉的函数或者比较复杂的函数对于不熟悉的函数或者比较复杂的函数可以先画出其图象，观察出其单调性，可以先画出其图象，观察出其单调性，再用定义证明，然后利用单调性求出函再用定义证明，然后利用单调性求出函数的最值数的最值.数与形数与形,本是相倚依本是相倚依,焉能分作两边飞焉能分作两边飞;数无形时少直觉数无形时少直觉,形少数时难入微形少数时难入微;数形结合百般好数形结合百般好,隔离分家万事休隔离分家万事休;切莫忘切莫忘,几何代数统一体几何代数统一体,永远联系莫分离永远联系莫分离. 华罗庚华罗庚