第二节第二节 正定二次型正定二次型 一、正定一、正定二次型的概念二次型的概念 二、正二、正( (负负) )定定二次型的判定二次型的判定 一、正一、正( (负负) )定二次型的概念定二次型的概念 则称则称f 为为正定二次型正定二次型,并称对称矩阵并称对称矩阵A是是正定矩阵正定矩阵； 则称则称f 为为负定二次型负定二次型,并称对称矩阵并称对称矩阵A是是负定矩阵负定矩阵； 设有设有实二次型实二次型 如果对任何如果对任何 为为正定二次型正定二次型 为为负定二次型负定二次型 例如例如 二、正二、正( (负负) )定二次型的判别定二次型的判别 推论推论2 2 对称矩阵对称矩阵A为正定的为正定的充分必要条件充分必要条件是：是：A的的 特征值全为正特征值全为正 推论推论3 正定二次型的矩阵行列式必大于零正定二次型的矩阵行列式必大于零.这个定理称为这个定理称为霍尔维茨定理霍尔维茨定理 定理定理3 3 对称矩阵对称矩阵A为为正定正定的充分必要条件是：的充分必要条件是：A的的 各阶顺序主子式全为正各阶顺序主子式全为正，即，即 对称矩阵对称矩阵A为为负定负定的充分必要条件是：的充分必要条件是：奇数阶奇数阶顺序主子式为顺序主子式为负负，而，而偶数阶偶数阶顺序主子式为顺序主子式为正正, ,即即 例例1 1 判别二次型判别二次型是否正定是否正定.解解它的顺序主子式它的顺序主子式 故上述二次型是故上述二次型是正定的正定的. 例例2 2 判别二次型判别二次型是否正定是否正定.解解二次型的矩阵为二次型的矩阵为用用特征值判别法特征值判别法. 故此二次型为故此二次型为正定二次型正定二次型.即知即知 是正定矩阵，是正定矩阵， 例例3 3 判别二次型判别二次型的正定性的正定性.解解正定矩阵具有以下一些简单正定矩阵具有以下一些简单性质性质 2.正定二次型正定二次型（正定矩阵正定矩阵）的判别方法：）的判别方法：(1)(1)定义法定义法；(2)(2)顺次主子式判别法顺次主子式判别法；(3)(3)特征值判别法特征值判别法.四、小结四、小结1.正定二次型的概念，正定二次型与正定正定二次型的概念，正定二次型与正定矩阵的区别与联系矩阵的区别与联系3.根据正定二次型的判别方法，可以得到根据正定二次型的判别方法，可以得到负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大家自己推导家自己推导定理定理2之证明之证明 充分性充分性 故故必要性必要性 故故