结构力学结构力学总复习 土木系 1 几何构造分析一、首先必须深刻理解几个基本概念一、首先必须深刻理解几个基本概念几何不变体系几何不变体系：不计材料应变情况下，体系的位置和形状不变。不计材料应变情况下，体系的位置和形状不变。在几何构成分析中与荷载无关，各个杆件都是刚体。刚片刚片：形状不变的物体，也就是刚体。形状不变的物体，也就是刚体。在几何构成分析中，刚片的选取非常重要，也非常灵活，可大可小，小至一根杆，大至地基基础，皆可视为刚片。自由度自由度：体系运动时可以独立改变的坐标的数目。体系运动时可以独立改变的坐标的数目。在平面内，一点有2个自由度，一刚片有3个自由度。约束约束：减少自由度的装置。减少自由度的装置。判断l图中链杆1和2的交点O可视为虚铰。 1 几何构造分析l一根链杆（或链杆支座）相当于1个约束；l一个铰（或铰支座）相当于2个约束，注意两根链杆和注意两根链杆和一个铰在约束方面的功能完全可等同，可根据几何构成一个铰在约束方面的功能完全可等同，可根据几何构成分析的需要相互转换，分析的需要相互转换，另外注意瞬铰瞬铰的概念，两根链杆直接铰接在一点，该点可视为实铰，两根链杆延长后相两根链杆延长后相交在一点，该点则是瞬铰，交在一点，该点则是瞬铰，一个瞬铰也相当于一个瞬铰也相当于2个约束，个约束，两根链杆若平行，瞬铰在平行方向的无穷远处；两根链杆若平行，瞬铰在平行方向的无穷远处；l一个刚结点（或固定端）相当于3个约束。l多余约束多余约束：增加一个约束，体系的自由度并不减少，该约束就增加一个约束，体系的自由度并不减少，该约束就是多余约束。是多余约束。l注意一个约束是否多余约束，必须视必要约束而定。只有必要约束确定后才能确定多余约束，不能直接说哪个约束是多余约束。1 几何构造分析二、必须深刻理解几何不变体系的组成规律。二、必须深刻理解几何不变体系的组成规律。教材上列出4个规律，其实基本的规律只有一个，就其实基本的规律只有一个，就是是三角形规律。三角形规律。若若有有基基础础，首首先先看看基基础础以以外外部部分分与与基基础础的的联联系系数数：等等于于3，则则只只分分析析基基础础以以外外部部分分，若若几几何何不不变变，则则整整体体几几何何不不变变，若若几几何何可可变变，则则整整体体几几何何可可变变；不不等等于于3，则须将基础作为一个刚片来分析；，则须将基础作为一个刚片来分析；观察是否有二元体，剔除所有的二元体；观察是否有二元体，剔除所有的二元体；从从基基本本的的刚刚片片（特特别别是是铰铰接接三三角角形形）出出发发，不不断断地地扩扩大大刚刚片片，用用两两刚刚片片法法则则或或三三刚刚片片法法则则来来分分析析，有有些些杆杆件件较较多多的的体体系系可可能能须须多多次次运运用用两两刚刚片片法法则则或或三三刚片法则来分析。刚片法则来分析。 1 几何构造分析l举例举例图示体系的几何构造2 静定结构的受力分析静定结构的受力分析l本章计算本章计算梁、刚架、三铰拱、桁架梁、刚架、三铰拱、桁架、组合、组合结构这结构这5种静定平面结构的内力，并画出必种静定平面结构的内力，并画出必要的内力图，是结构力学的重要基础要的内力图，是结构力学的重要基础 。l熟练掌握：熟练掌握：截面法截面法求指定截面的内力；求指定截面的内力；分分段叠加法段叠加法画弯矩图；由画弯矩图；由弯矩、剪力、载荷集弯矩、剪力、载荷集度微分关系画内力图度微分关系画内力图；简单刚架、主从刚架、；简单刚架、主从刚架、三铰刚架的内力计算；桁架中零杆的判断；三铰刚架的内力计算；桁架中零杆的判断；结点法和截面法求桁架杆件的轴力。结点法和截面法求桁架杆件的轴力。 2 静定结构的受力分析静定结构的受力分析 1.关于截面内力的定义关于截面内力的定义轴力、剪力、弯矩链链杆杆（二二力力杆杆）的任一截面只有轴轴力力，以以受受拉拉为为正（与材力中相同）正（与材力中相同）；梁梁式式杆杆的任一截面有轴轴力力、剪剪力力、弯弯矩矩三种内力，剪剪力力以以使使隔隔离离体体顺顺时时针针转转为为正正（与与材材力力中中相相同同）,与与材材力力中中（使梁下部受拉为正）不不同同，弯弯矩矩不不规规定定正正负负号号（因为结力中有各种方位的杆），而而是是根根据据截截面面法法求求出出的的弯弯矩矩判判断断哪哪侧侧受受拉拉，在在弯矩图中画在受拉一侧弯矩图中画在受拉一侧。 2 静定结构的受力分析静定结构的受力分析2、关于截面法、关于截面法截面法是求所有平面结构截面法是求所有平面结构（不管何种承载方式、（不管何种承载方式、不管静定或超静定）不管静定或超静定）的指定截面内力的通用方法的指定截面内力的通用方法。请大家记住用请大家记住用6个字概括的截面法的个字概括的截面法的3个步骤：个步骤：截开：截开：取出一部分作为隔离体（研究对象）。取出一部分作为隔离体（研究对象）。代代替替：画画出出隔隔离离体体受受到到的的已已知知荷荷载载，画画出出用用相相应应的的约约束束反反力力（支支座座反反力力和和内内力力），方方向向可可假假设设，实际方向由求出的约束反力的正负号确定。实际方向由求出的约束反力的正负号确定。平衡平衡：对隔离体列出：对隔离体列出平衡方程平衡方程。2 静定结构的受力分析静定结构的受力分析3、由弯矩、剪力、载荷集度微分关系导出杆件内、由弯矩、剪力、载荷集度微分关系导出杆件内力特点力特点2 静定结构的受力分析静定结构的受力分析4、关于分段叠加法画弯矩图关于分段叠加法画弯矩图 分段叠加法画弯矩图分段叠加法画弯矩图：l根据杆上荷载情况将杆分为若干段；根据杆上荷载情况将杆分为若干段；l用截面法求控制截面（不同节段的过渡截面）的弯矩；用截面法求控制截面（不同节段的过渡截面）的弯矩；l在轴线上将弯矩标在受拉一侧，然后分段连线：在轴线上将弯矩标在受拉一侧，然后分段连线：l对无荷载作用的区段，直接连实线，对无荷载作用的区段，直接连实线，l对对有有均均布布荷荷载载作作用用的的区区段段，先先用用虚虚线线连连接接，然然后后叠叠加加上上与与区区段段长长度度相相同同的的简简支支梁梁受受均均布布荷荷载载作作用用的的抛抛物物线线（注注意意是纵坐标的叠加，而不是图形的简单叠加）。是纵坐标的叠加，而不是图形的简单叠加）。2 静定结构的受力分析静定结构的受力分析l多跨静定梁的几何构成与内力特点多跨静定梁的几何构成与内力特点 2 静定结构的受力分析静定结构的受力分析举例举例 作图示多跨静定梁的弯矩图和剪力图。作图示多跨静定梁的弯矩图和剪力图。q2 静定结构的受力分析静定结构的受力分析作图示结构的内力图2 静定结构的受力分析静定结构的受力分析l三铰结构的支座反力及内力计算三铰结构的支座反力及内力计算l三三铰铰刚刚架架、三三铰铰拱拱、三三铰铰组组合合结结构构都都是是三三铰铰结结构构，是是由由基基础础、基基础础以以外外的的两两个个部部分分通通过过不不在在一一条条直直线线上上的的三三个个铰铰两两两两相相连连，按按三三刚刚片片法法则则组组装装起起来来的的静静定定平平面面结结构构。若与基础相连的两个铰等高，则可按以下顺序求支座反力和内力，作到一个方程解一个未知数：l 先以整体为对象，求竖直支座反力；先以整体为对象，求竖直支座反力；l 再再以以基基础础以以外外的的任任一一部部分分为为对对象象，求求水水平平支支座反力及第三铰处反力。座反力及第三铰处反力。2 静定结构的受力分析静定结构的受力分析l不求少求不求少求反力画反力画M图图1、悬臂刚架不求反力，由自由端开始作起。2、简支型刚架绘制弯矩图往往只须求出与 杆件垂直的反力,然后由支座作起。3、三铰刚架绘制弯矩图往往只须求一水 平反力，然后由支座作起。4、主从结构绘制弯矩图要分析其几何组成， 先由附属部分做起。5、定向支座处、定向连接处剪力等零，剪力 等零杆段弯矩图平行轴线。6、对称性的利用v对称结构在对称荷载的作用下弯矩图是对称的。v对称结构在反对称荷载的作用下弯矩图是反对称的。2 静定结构的受力分析静定结构的受力分析l举例举例 作图示刚架的内力图。作图示刚架的内力图。2 静定结构的受力分析静定结构的受力分析l作M图2 静定结构的受力分析静定结构的受力分析桁架零杆的判断桁架零杆的判断 两根杆汇交于一铰结点，结点上无外荷载，此两根杆汇交于一铰结点，结点上无外荷载，此两杆皆为零杆。两杆皆为零杆。 三根杆汇交于一铰结点，其中两根杆共线，结三根杆汇交于一铰结点，其中两根杆共线，结点上无外荷载，另外一根不共线的杆为零杆。点上无外荷载，另外一根不共线的杆为零杆。 对称桁架（支座、几何形状、荷载皆对称），对称桁架（支座、几何形状、荷载皆对称），对称轴上对称轴上K形结点的两根斜杆为零杆。形结点的两根斜杆为零杆。2 静定结构的受力分析静定结构的受力分析l零杆数量为 根8l静定组合结构的合理计算顺序静定组合结构的合理计算顺序l组合结构既有梁、刚架结构（全为受弯构件）组合结构既有梁、刚架结构（全为受弯构件）的特点，也有桁架结构（全为轴向拉压构件）的特点，也有桁架结构（全为轴向拉压构件）的特点。的特点。一定要分清哪些是梁式杆，哪些是链一定要分清哪些是梁式杆，哪些是链杆。杆。要根据体系的几何构成特点选择合理的计要根据体系的几何构成特点选择合理的计算顺序，选择合理的截面，在计算出所有链杆算顺序，选择合理的截面，在计算出所有链杆轴力前，不要截断梁式杆。轴力前，不要截断梁式杆。一般顺序是：先求一般顺序是：先求出支座反力；再用截面法切开两刚片或三刚片出支座反力；再用截面法切开两刚片或三刚片的联系部分，求出约束反力；再用结点法，或的联系部分，求出约束反力；再用结点法，或取梁式杆整体为对象，求出其它链杆的轴力；取梁式杆整体为对象，求出其它链杆的轴力；最后分析梁式杆的荷载，计算梁式杆的内力。最后分析梁式杆的荷载，计算梁式杆的内力。 2 静定结构的受力分析静定结构的受力分析l判断：图所示结构支座A转动角，MAB= 0， RC= 0。（ ）3 静定结构的影响线l静定结构的内力影响线都是由分段直线组静定结构的内力影响线都是由分段直线组成的成的。 l横纵坐标的含义：横纵坐标的含义： 横坐标：单位荷载的不同作用位置。横坐标：单位荷载的不同作用位置。 纵坐标：单位荷载的不同作用位置对应的纵坐标：单位荷载的不同作用位置对应的同一截面的内力。同一截面的内力。3 静定结构的影响线l绘制方法绘制方法静力法静力法机动法机动法机动法步骤机动法步骤:解除与所求量对应的约束解除与所求量对应的约束, ,得到几何可变体得到几何可变体系。令其发生虚位移系。令其发生虚位移, ,并使与该量对应的广义位移为并使与该量对应的广义位移为1,1,方向与该量正向相同。虚位移图即为该量影响线方向与该量正向相同。虚位移图即为该量影响线, ,基线基线上部为正。上部为正。举举 例例P=1111.2511mm2m2m2m1m2m2m1m4m2mP=11ABCDEFGH作作RC M1 Q2的影响线的影响线郑州大学土木工程学院 樊友景编制2m2m2m1m2m2m1m4m2m2ABCDEFGH3作作Q2的影响线的影响线影响线的应用影响线的应用求影响量值求影响量值最不利位置最不利位置3 静定结构的影响线练习练习 ：求图示多跨静定梁MA,RB和QC右的影响线。4 静定结构位移计算1、关于位移的概念、关于位移的概念位移除常规的位移除常规的角位移角位移（截面绕其对称轴转过（截面绕其对称轴转过的角度）、的角度）、线位移线位移（截面的形心沿某方向移（截面的形心沿某方向移动的距离）外，还有动的距离）外，还有广义位移广义位移或或相对位移相对位移 。2、实功与虚功的概念、实功与虚功的概念3、虚功原理、虚功原理4 静定结构位移计算l刚体虚功原理的两种应用刚体虚功原理的两种应用 对对于于具具有有理理想想约约束束的的刚刚体体体体系系，设设体体系系上上作作用用任任意意的的平平衡衡力力系系，又又设设体体系系发发生生约约束束许许可可的的无无限限小小的的刚刚体体位位移移，则则主主动动力力在在位位移移上上所所作的虚功之和为零。作的虚功之和为零。 1).刚刚体体虚虚位位移移原原理理可可用用来来求求静静定定结结构构的的约约束反力束反力.2).刚刚体体虚虚力力原原理理可可用用来来求求静静定定结结构构支支座座移移动时发生的刚体位移动时发生的刚体位移. 4 静定结构位移计算l位移计算的一般公式位移计算的一般公式变形体虚功原理：变形体虚功原理： 虚虚设设的的力力系系，满满足足平平衡衡条条件件，其其它它的的支支反反力力和和内内力力皆皆由由虚设的单位力（与待求位移的地点和方向一致）引起虚设的单位力（与待求位移的地点和方向一致）引起. 实际发生的位移，是待求的结构某截面沿某方向的位移实际发生的位移，是待求的结构某截面沿某方向的位移.变形体虚功原理的实质是外力的虚功之和等于内力的虚功之和变形体虚功原理的实质是外力的虚功之和等于内力的虚功之和.4 静定结构位移计算4 静定结构位移计算图乘法计算位移图乘法计算位移图乘法应用的注意事项图乘法应用的注意事项 应用条件：等截面直杆。和肯定至少有一个是直线图。应用条件：等截面直杆。和肯定至少有一个是直线图。 标距应取自直线弯矩图中，和在杆的同侧则乘积为正，标距应取自直线弯矩图中，和在杆的同侧则乘积为正，否则为负。否则为负。 对二次抛物线弯矩图，只需记住标准的二次抛物线面对二次抛物线弯矩图，只需记住标准的二次抛物线面积公式，其它非标准的二次抛物线可分解成直线和标准积公式，其它非标准的二次抛物线可分解成直线和标准的二次抛物线的叠加。的二次抛物线的叠加。 对分段折线弯矩图必须分段考虑，对梯形弯矩图最好对分段折线弯矩图必须分段考虑，对梯形弯矩图最好分解计算。分解计算。4 静定结构位移计算l下图所示刚架A、B两点相对水平位移，EI为常数。5 力法1、关于结构的超静定次数与多余约束、关于结构的超静定次数与多余约束l判断超静定次数的基本原则：判断超静定次数的基本原则：l去掉一根链杆支座或切断一根链杆，或在梁式去掉一根链杆支座或切断一根链杆，或在梁式杆中加入一个单铰，则去掉杆中加入一个单铰，则去掉1个约束；个约束；l去掉一个铰支座或切断一个单铰，则去掉去掉一个铰支座或切断一个单铰，则去掉2个约个约束；束；l去掉一个固定支座或切断一根梁式杆，则去掉去掉一个固定支座或切断一根梁式杆，则去掉3个约束；个约束；l一个无铰封闭框有三个多余约束一个无铰封闭框有三个多余约束5 力法l要正确保留必要约束，不要把原结构拆成要正确保留必要约束，不要把原结构拆成几何可变体系几何可变体系；另外要明确，一个超静定；另外要明确，一个超静定结构可以拆成结构可以拆成多种形式多种形式的静定结构，但去的静定结构，但去掉的掉的多余约束的个数相同多余约束的个数相同。 5 力法2、深刻理解力法的基本原理、深刻理解力法的基本原理力法的基本原理和三个力法的基本原理和三个“基本基本”（基本未知（基本未知量、基本体系、基本方程）量、基本体系、基本方程）多余未知力代替，就是多余未知力代替，就是力法的基本未知量力法的基本未知量静静定结构（定结构（力法的基本体系力法的基本体系，或，或基本结构基本结构）变形协调条件：就是变形协调条件：就是力法的基本方程力法的基本方程 5 力法3、深刻理解力法典型方程中每一个方程、每一项、深刻理解力法典型方程中每一个方程、每一项、每个符号的含义每个符号的含义 表表示示了了基基本本体体系系在在单单位位力力作作用用下下沿沿方方向向产产生生的的位位移移（附附带带说说明明：柔柔度度系系数数、自自由由项项皆皆有有两两个个下下标标，第第一一个个下下标标表表示示产产生生位位移移的的地地点点，第第二二个个下下标标表表示示产产生生位位移移的的原原因因，可可简简称称为为“前前地地点点、后后原原因因”），柔柔度度矩矩阵阵为为对对称称矩矩阵阵（位位移移互互等等定定理理），主系数恒大于零；，主系数恒大于零；自自由由项项表表示示了了基基本本体体系系在在外外载载荷荷单单独独作作用用下下沿沿方方向产生的位移。向产生的位移。5 力法力法计算超静定结构的标准步骤力法计算超静定结构的标准步骤 利用叠加原理求超静定结构的弯矩利用叠加原理求超静定结构的弯矩解解n元一次线性方程组，求出基本未知量元一次线性方程组，求出基本未知量用图乘法求主系数、付系数（只需求柔度矩阵的对用图乘法求主系数、付系数（只需求柔度矩阵的对角线元素、上三角或下三角部分）和自由项角线元素、上三角或下三角部分）和自由项画基本结构的画基本结构的n个弯矩图个弯矩图确定超静定次数，确定多余未知力，取基本结构确定超静定次数，确定多余未知力，取基本结构5 力法对称性的应用对称结构对称结构受对称荷载作用：受对称荷载作用：变形正对称；变形正对称；正对称性质的内力（弯矩、轴力）图正对称，正对称性质的内力（弯矩、轴力）图正对称，反对称性质的内力（剪力）图反对称；反对称性质的内力（剪力）图反对称；对称轴截面上：反对称性质的内力（剪力）为零，对称轴截面上：反对称性质的内力（剪力）为零，与与正正对对称称性性质质内内力力对对应应的的位位移移（转转角角、轴轴向向位位移移）为为零。零。受受反反对对称称荷荷载载作作用用：结结论论与与上上相相反反5 力法l 对对称称结结构构受受对对称称或或反反对对称称荷荷载载作作用用，用用力力法法计计算算，有有两种处理方式：两种处理方式：l 选选取取对对称称的的基基本本结结构构，在在对对称称荷荷载载作作用用下下只只考考虑虑对对称称基基本本未未知知量量，在在反反对对称称荷荷载载作作用用下下只只考考虑虑反反对对称称基基本本未未知量；知量；l 沿沿对对称称轴轴切切开开结结构构，根根据据对对称称轴轴截截面面上上的的内内力力或或位位移移特特点点，安安上上相相应应的的支支座座，对对任任一一个个半半边边结结构构计计算算，然然后后根据内力图对称性补齐成整体的内力图。根据内力图对称性补齐成整体的内力图。l 对对称称结结构构受受非非对对称称荷荷载载作作用用，可可将将荷荷载载分分成成对对称称和和反反对称两组（除非荷载分解很复杂），再利用对称性计算。对称两组（除非荷载分解很复杂），再利用对称性计算。5 力法用力法求图示刚架的M图5 力法l用力法解图示对称刚架的M图，EI=常数。提示：先取等代结构提示：先取等代结构5 力法l用力法解图示对称刚架的M图提示：先取等代结构提示：先取等代结构5 力法l用力法计算图示刚架，EI为常数。6 位移法 位移法的基本未知量：位移法的基本未知量：独立的结点位移独立的结点位移数目刚结点转角数数目刚结点转角数+结点结点独立独立线位移数线位移数说明：铰处的转角不作基本未知量。 剪力静定杆的杆端侧移也可不作为基本未知量。结构带无限刚性梁时，梁端结点转动不是独立的结点位移。若柱子平行，则梁端结点转角=0，若柱子不平行，则梁端结点转角可由柱顶侧移表示出来。对于平行柱刚架不论横梁是平的，还是斜的，柱子等高或不等高，柱顶线位移都相等。6 位移法在在位位移移法法中中要要套套用用公公式式写写杆杆端端弯弯矩矩，因因此此符符号号约约定定（结结点点转转角角、弦弦转转角角、杆杆端端弯弯矩矩一一律律以以顺顺时时针针为为正正）非非常常重重要要，在在此此对对符符号号约约定定作以下说明：作以下说明： 结结点点转转角角、弦弦转转角角、杆杆端端弯弯矩矩在在未未求求出出之之前前一一律律假假设设正正号号，实实际际的的方方向向根根据据求求出出的的量量的正负号确定；的正负号确定；6 位移法3.关于位移法的基本体系关于位移法的基本体系 两种方法：两种方法：（1）直接取隔离体建立平衡方程 。（2）位移法典型方程法。每每个个方方程程代代表表了了一一个个平平衡衡条条件件，即即某某个个附附加加约束在荷载和支座位移作用下的总反力为零；约束在荷载和支座位移作用下的总反力为零；系系数数kij表表示示了了仅仅第第j个个附附加加约约束束发发生生单单位位位位移移时时在在第第i个个附附加加约约束束中中产产生生的的反反力力（仍仍然然是是“前前地地点点、后后原原因因”），主主系系数数仍仍恒恒大大于于零；零；自自由由项项FiP表表示示了了外外载载荷荷单单独独作作用用下下在在第第i个个附加约束中产生的反力。附加约束中产生的反力。6 位移法用位移法作图示结构M图。设各杆的EI相等。 6 位移法 求图示结构的位移法典型方程的系数和自由项。6 位移法l用位移法计算图示结构并作M图。设各杆的EI相同。 7 力矩分配法1、深刻理解力矩分配法的几个基本概念、深刻理解力矩分配法的几个基本概念 转转动动刚刚度度：表表示示杆杆端端对对转转动动的的抵抵抗抗能能力力（A端端为为施施力力端端，B端端为为远远端端），在在数数值值上上等等于于使使杆杆端端产产生生单位转角时须施加的力矩。单位转角时须施加的力矩。 转动刚度与远端支承情况、杆的线刚度有关。转动刚度与远端支承情况、杆的线刚度有关。 分分配配系系数数：表表示示了了结结点点A受受外外力力矩矩作作用用时时各各杆杆A端分担的抵抗弯矩的比例端分担的抵抗弯矩的比例. 传传递递系系数数：表表示示了了传传递递到到远远端端的的弯弯矩矩与与近近端端分分配配的的弯弯矩矩的的比比值值，传传递递系系数数仅仅与与远远端端支支承承情情况况有有关。关。7 力矩分配法2、深刻理解几种结点和荷载情况力矩分配、深刻理解几种结点和荷载情况力矩分配法的关系法的关系1 1）单结点力矩分配法得到精确解；多结点力矩分配法得）单结点力矩分配法得到精确解；多结点力矩分配法得到渐近解。到渐近解。2 2）首先从结点不平衡力矩绝对值较大的结点开始。）首先从结点不平衡力矩绝对值较大的结点开始。3 3）结点不平衡力矩要变号分配。）结点不平衡力矩要变号分配。4 4）结点不平衡力矩的计算：）结点不平衡力矩的计算：7 力矩分配法用力矩分配法作图示结构的M图，EI=常数7 力矩分配法l用力矩分配法计算图示结构，并作M图7 力矩分配法l用力矩分配法计算图示结构，EI为常数，并作M图。7 力矩分配法用力矩分配法作图示结构的M图