精 品 数 学 课 件2020 学 年 浙 教 版第第4 4章章 平行四边形平行四边形4.2 4.2 平行四边形及其性质（第平行四边形及其性质（第3 3课时）课时）平行四边形对角线的性质平行四边形对角线的性质例1 如图，已知： ABCD中，BCD的平分线CE交边AD于点E，ABC的平分线BG交CE于点F，交AD于点G. 求证：AE=DG.证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，AB=CD.GBC=BGA，BCE=CED. 又BG平分ABC，CE平分BCD，ABG=GBC，BCE=ECD. ABG=BGA，ECD=CED. AB=AG，CD=DE.AG=DE. AG-EG=DE-EG，即AE=DG.分析：利用角平分线和平行线的性质可以证明ABG和CDE都是等腰三角形，再利用平行四边形的对边相等得AG=DE，最后根据等量减等量差相等得出结论.注意点：平行四边形的性质包含了线段的相等关系、位置关系，角的相等关系、互补关系以及对角线的平分关系等，这些性质为几何中边、角相等的证明提供了大量理论依据. 对于较复杂的图形，还要注意结合全等三角形、特殊三角形的性质，解题时要注意分解出图中的特殊图形或基本图形，全面分析图形中各线段，角的位置关系和数量关系.例2 如图，平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC=12，BD=10，AB=m，那么m的取值范围是（ ）运用平行四边形的性质求边的取值范围运用平行四边形的性质求边的取值范围A. 1m11 B. 2m22C. 10m12 D. 2m6分析：四边形ABCD是平行四边形，AC=12，BD=10，OA=OC=6，OD=OB=5. 在OAB中，OA-OBmOA+OB，6-5m6+5，1m11.解：A注意点：求平行四边形某边的取值范围，可考虑借助对角线互相平分，将平行四边形问题转化为三角形问题解决.例 如图，已知： ABCD的内接 EFGH，E、F、G、H分别在 ABCD的边上. 求证：对角线AC、BD、EG、FH交于点O.错答：设 ABCD的对角线AC、BD交于点O. EFGH是平行四边形，OH=OF，OE=OG. E，O，G共线，H，O，F也共线，EG，HF也过点O. 对角线AC，BD，EG，FH交于点O.正答：ABCD是平行四边形，EBF=GDH，又ADBC，DHF=BFH. 又EFGH是平行四边形，HG=EF. 又HGEF，GHF=EFH，DHG=BFE. DHGBFE，HD=BF且HDBF. 连结BH、DF，则四边形HBFD是平行四边形，如图. O是BD的中点，HF通过点O，且OH=OF. 同理EG通过点O，且OE=OG，对角线AC，BD，EG，FH交于点O.错因：错解中由EFGH是平行四边形，就推出OH=OF，OE=OG是错误的. 因为条件中没有O是 EFGH的对角线的交点，这是需要证明的. 解题时一定不能犯以直观代替推理的错误.