微分方程 第十二章 积分问题积分问题 微分方程问题微分方程问题 推广 一阶微分方程高阶微分方程1微分方程的基本概念 第一节微分方程的基本概念微分方程的基本概念引例引例 几何问题几何问题物理问题物理问题 第十二章 2引例引例1. 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的解解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:(C为任意常数)由 得 C = 1,因此所求曲线方程为由 得切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 . 3引例引例2. 列车在平直路上以的速度行驶, 制动时获得加速度求制动后列车的运动规律.解解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 ,已知由前一式两次积分, 可得利用后两式可得因此所求运动规律为即求 s = s (t) .4常微分方程偏微分方程含未知函数及其导数的方程叫做微分方程微分方程 .方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程(本章内容)( n 阶显式微分方程)微分方程的基本概念微分方程的基本概念一般地 , n 阶常微分方程的形式是的阶阶.分类或5引例2 使方程成为恒等式的函数.通解通解 解中所含独立的任意常数的个数与方程 确定通解中任意常数的条件.n 阶方程的初始条件初始条件( (或初值条件或初值条件) ):的阶数相同.特解特解引例1 通解:特解:微分方程的解解 不含任意常数的解, 定解条件定解条件 其图形称为积分曲线积分曲线. .6线性：未知函数及其各阶导数都是一次的。7第二节 第十二章 一阶微分方程一、可分离变量微分方程二、齐次方程三、全微分方程（数一）四、一阶线性微分方程8一、可分离变量微分方程 转化 解分离变量方程解分离变量方程 可分离变量方程可分离变量方程 9分离变量方程的解法分离变量方程的解法:设 y (x) 是方程的解, 两边积分, 得 则有恒等式 当G(y) 与F(x) 可微且 G(y) g(y)0 时, 说明由确定的隐函数 y(x) 是的解. 则有称为方程的隐式通解, 或通积分.同样,当F(x)= f (x)0 时,上述过程可逆,由确定的隐函数 x(y) 也是的解. 10例例1. 求微分方程的通解.解解: 分离变量得两边积分得即( C 为任意常数 )或说明说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形, 因此可能增、减解.( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )11例例2. 解初值问题解解: 分离变量得两边积分得即由初始条件得 C = 1,( C 为任意常数 )故所求特解为12例例3. 求下述微分方程的通解:解解: 令 则故有即解得( C 为任意常数 )所求通解:13练习练习:解法解法 1 分离变量即( C 0内内满足拉普拉斯方程满足拉普拉斯方程二阶可导二阶可导, 且且试将方程化为以试将方程化为以 r 为自变为自变量的常微分方程量的常微分方程 , 并求并求 f (r) .提示提示:利用对称性利用对称性, 即即( 欧拉方程欧拉方程 )原方程可化为原方程可化为机动 目录 上页 下页 返回 结束 132解初值问题:则原方程化为则原方程化为 通解通解: 利用初始条件得特解利用初始条件得特解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 133特征根特征根 :例例1. 求微分方程提示提示:故通解为故通解为满足条件满足条件解满足解满足处连续且可微的解处连续且可微的解.设特解设特解 :代入方程定代入方程定 A, B, 得得得机动 目录 上页 下页 返回 结束 134处的衔接条件可知处的衔接条件可知,解满足解满足故所求解为故所求解为其通解其通解:定解问题的解定解问题的解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 135例例2.且满足方程提示提示: 则问题化为解初值问题问题化为解初值问题:最后求得最后求得机动 目录 上页 下页 返回 结束 136思考思考: 设提示提示: 对积分换元对积分换元 ,则有解初值问题解初值问题: 答案答案:机动 目录 上页 下页 返回 结束 137的解的解. 例3.设函数设函数内具有连续二阶导内具有连续二阶导机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 试将试将 xx( y) 所满足的微分方程所满足的微分方程 变换为变换为 yy(x) 所满足的微分方程所满足的微分方程 ;(2) 求变换后的微分方程满足初始条件求变换后的微分方程满足初始条件 数, 且解解: 上式两端对上式两端对 x 求导求导, 得得: (1) 由反函数的导数公式知由反函数的导数公式知(03考研考研)138机动 目录 上页 下页 返回 结束 代入原微分方程得代入原微分方程得 (2) 方程方程的对应齐次方程的通解为的对应齐次方程的通解为 设设的特解为的特解为 代入代入得得 A0,从而得从而得的通解的通解: 139题 目录 上页 下页 返回 结束 由初始条件由初始条件 得故所求初值问题的解为故所求初值问题的解为 140例例4. 解解:欲向宇宙发射一颗人造卫星欲向宇宙发射一颗人造卫星, 为使其摆脱地球为使其摆脱地球 引力引力, 初始速度应不小于第二宇宙速度初始速度应不小于第二宇宙速度, 试计算此速度试计算此速度.设人造地球卫星质量为设人造地球卫星质量为 m , 地球质量为地球质量为 M , 卫星卫星的质心到地心的距离为的质心到地心的距离为 h , 由牛顿第二定律得由牛顿第二定律得: (G 为引力系数为引力系数)则有初值问题则有初值问题: 又设卫星的初速度又设卫星的初速度机动 目录 上页 下页 返回 结束 141代入原方程代入原方程, 得得两边积分得两边积分得利用初始条件利用初始条件, 得得因此因此注意到注意到 机动 目录 上页 下页 返回 结束 142为使为使因为当因为当h = R (在地面上在地面上) 时时, 引力引力 = 重力重力, 即代入代入即得即得这说明第二宇宙速度为这说明第二宇宙速度为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 143求质点的运动规求质点的运动规例例5. 上的力上的力 F 所作的功与经过的时间所作的功与经过的时间 t 成正比成正比 ( 比例系数比例系数提示提示:两边对两边对 s 求导得求导得:牛顿第二定律为为 k), 开方如何定开方如何定 + ?已知一质量为已知一质量为 m 的质点作直线运动的质点作直线运动, 作用在质点作用在质点机动 目录 上页 下页 返回 结束 144例例6. 一链条挂在一钉子上 , 启动时一端离钉子 8 m ,另一端离钉子另一端离钉子 12 m , 如不计钉子对链条所产生的摩擦如不计钉子对链条所产生的摩擦 力力, 求链条滑下来所需的时间求链条滑下来所需的时间 .解解: 建立坐标系如图建立坐标系如图. 设在时刻设在时刻 t , 链条较长一段链条较长一段下垂下垂 x m ,又设链条线密度为常数又设链条线密度为常数此时链条受力此时链条受力由牛顿第二定律由牛顿第二定律, 得得机动 目录 上页 下页 返回 结束 145由初始条件得由初始条件得故定解问题的解为故定解问题的解为解得解得当 x = 20 m 时,(s)微分方程通解微分方程通解: 思考思考: 若摩擦力为链条若摩擦力为链条 1 m 长的重量长的重量 , 定解问题的定解问题的数学模型是什么数学模型是什么 ?机动 目录 上页 下页 返回 结束 146摩擦力为链条 1 m 长的重量 时的数学模型为不考虑摩擦力时的数学模型为不考虑摩擦力时的数学模型为此时链条滑下来此时链条滑下来所需时间为所需时间为机动 目录 上页 下页 返回 结束 147练习题从船上向海中沉放某种探测仪器从船上向海中沉放某种探测仪器, 按探测按探测要求要求, 需确定仪器的下沉深度需确定仪器的下沉深度 y 与下沉速度与下沉速度 v 之间的函之间的函数关系数关系. 设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉, 在下沉过程中还受到阻力和浮力作用在下沉过程中还受到阻力和浮力作用, 设仪器质量为设仪器质量为 m,体积为体积为B , 海水比重为海水比重为 ,仪器所受阻力与下沉速度成正仪器所受阻力与下沉速度成正 比比 , 比例系数为比例系数为 k ( k 0 ) , 试建立试建立 y 与与 v 所满足的微分所满足的微分方程方程, 并求出函数关系式并求出函数关系式 y = y (v) . ( 95考研考研 )提示提示: 建立坐标系如图建立坐标系如图.质量 m体积 B由牛顿第二定律由牛顿第二定律重力重力浮力浮力 阻力阻力注意注意: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 148初始条件为初始条件为用分离变量法解上述初值问题得用分离变量法解上述初值问题得质量 m体积 B得得机动 目录 上页 下页 返回 结束 149 有特有特而对应齐次方程有解而对应齐次方程有解微分方程的通解微分方程的通解 . 解解:故所给二阶非齐次方程为故所给二阶非齐次方程为方程化为方程化为1. 设二阶非齐次方程设二阶非齐次方程一阶线性非齐次方程一阶线性非齐次方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 150故再积分得通解再积分得通解复习复习: 一阶线性微分方程通解公式一阶线性微分方程通解公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 151 2. (1) 验证函数验证函数满足微分方程满足微分方程(2) 利用利用(1)的结果求幂级数的结果求幂级数的和的和.解解: (1)机动 目录 上页 下页 返回 结束 (02考研考研)152所以所以(2) 由由(1)的结果可知所给级数的和函数满足的结果可知所给级数的和函数满足其特征方程其特征方程:特征根特征根:齐次方程通解为齐次方程通解为设非齐次方程特解为设非齐次方程特解为代入原方程得代入原方程得故非齐次方程通解为故非齐次方程通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 153代入初始条件可得代入初始条件可得故所求级数的和故所求级数的和机动 目录 上页 下页 返回 结束 154