第六章第六章连续系统的振动连续系统的振动2024年9月17日振动力学2实实际际的的振振动动系系统统都都是是连连续续体体，它它们们具具有有连连续续分分布布的的质质量量与与弹性，因而又称弹性，因而又称连续系统连续系统或或分布参数系统分布参数系统确确定定连连续续体体上上无无数数质质点点的的位位置置需需要要无无限限多多个个坐坐标标，因因此此连连续体是具有无限多自由度的系统续体是具有无限多自由度的系统连连续续体体的的振振动动要要用用时时间间和和空空间间坐坐标标的的函函数数来来描描述述，其其运运动动方方程程不不再再像像有有限限多多自自由由度度系系统统那那样样是是二二阶阶常常微微分分方方程程组组，它是它是偏微分方程偏微分方程在在物物理理本本质质上上，连连续续体体系系统统和和多多自自由由度度系系统统没没有有什什么么差差别别，连连续续体体振振动动的的基基本本概概念念与与分分析析方方法法与与有有限限多多自自由由度度系系统统是是完全类似的完全类似的2024年9月17日振动力学3教学内容教学内容 一维波动方程一维波动方程一维波动方程一维波动方程 梁的弯曲振动梁的弯曲振动梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024年9月17日振动力学4（1）线性弹性体，即虎克定律）线性弹性体，即虎克定律假设条件假设条件假设条件假设条件（2）材料均匀连续；各向同性）材料均匀连续；各向同性（3）振动满足微振动的前提）振动满足微振动的前提 2024年9月17日振动力学5一维波动方程一维波动方程一维波动方程一维波动方程 动力学方程动力学方程动力学方程动力学方程 固有频率和模态函数固有频率和模态函数固有频率和模态函数固有频率和模态函数 主振型的正交性主振型的正交性主振型的正交性主振型的正交性 杆的纵向强迫振动杆的纵向强迫振动杆的纵向强迫振动杆的纵向强迫振动连续系统的振动连续系统的振动 / 一维波动方程一维波动方程2024年9月17日振动力学6（1）弦的横向振动）弦的横向振动弦两端固定，以张力弦两端固定，以张力 T0 拉紧拉紧在分布力作用下作横向振动在分布力作用下作横向振动 建立坐建立坐标标系系弦上距原点弦上距原点 x 处处的横截面在的横截面在 t 时时刻的横向位移刻的横向位移 单单位位长长度弦上分布的作用力度弦上分布的作用力 单单位位长长度弦的度弦的质质量量 微段受力情况微段受力情况 达朗贝尔原理：达朗贝尔原理： 弦的横向强迫振动方程弦的横向强迫振动方程令：令：并考虑到：并考虑到：弹性横波的纵向传播速度弹性横波的纵向传播速度连续系统的振动连续系统的振动 / 一维波动方程一维波动方程微振微振达朗贝尔达朗贝尔惯性力惯性力 弦的定义弦的定义: 很细长很细长振动中认为张力不变振动中认为张力不变 2024年9月17日振动力学7（2）轴的扭转振动）轴的扭转振动细长圆截面等直杆在分布细长圆截面等直杆在分布扭矩作用下作扭转振动扭矩作用下作扭转振动 假定振假定振动过动过程中各横截面仍保持程中各横截面仍保持为为平面平面截面的极截面的极惯惯性矩性矩 Jp材料密度材料密度切切变变模量模量 G：单单位位长长度杆上分布的外力偶矩度杆上分布的外力偶矩 杆参数：杆参数：为为杆上距离原点杆上距离原点 x 处处的截面在的截面在时时刻刻 t 的角位移的角位移截面截面处处的扭矩的扭矩为为 M t微段微段 dx 受力受力：微段：微段绕轴线绕轴线的的转动惯转动惯量量连续系统的振动连续系统的振动 / 一维波动方程一维波动方程达朗贝尔达朗贝尔惯性力偶惯性力偶 2024年9月17日振动力学8微段微段 dx 受力受力达朗达朗贝贝尔尔原理：原理：材料力学：材料力学：圆圆截面杆的扭截面杆的扭转转振振动动强强迫振迫振动动方程方程等直杆，抗扭等直杆，抗扭转刚转刚度度 GJp 为为常数常数剪切剪切弹弹性波的性波的纵纵向向传传播速度播速度连续系统的振动连续系统的振动 / 一维波动方程一维波动方程2024年9月17日振动力学9（3）杆的纵向振动）杆的纵向振动 讨论等截面细直杆的纵向振动讨论等截面细直杆的纵向振动 杆杆长长 l假定振假定振动过动过程中各横截面仍保持程中各横截面仍保持为为平面平面截面截面积积 A材料密度材料密度弹弹性模量性模量 E忽略由忽略由纵纵向振向振动动引起的横向引起的横向变变形形单单位位长长度杆上分布的度杆上分布的纵纵向作用力向作用力 杆参数：杆参数：连续系统的振动连续系统的振动 / 一维波动方程一维波动方程2024年9月17日振动力学10杆上距原点杆上距原点 x 处处截面在截面在时时刻刻 t 的的纵纵向位移向位移微段分析微段分析 微段应变：微段应变： 横截面上内力：横截面上内力：达朗贝尔原理：达朗贝尔原理： 连续系统的振动连续系统的振动 / 一维波动方程一维波动方程达朗贝尔惯性力达朗贝尔惯性力 2024年9月17日振动力学11杆上距原点杆上距原点 x 处处截面在截面在时时刻刻 t 的的纵纵向位移向位移横截面上的内力：横截面上的内力：达朗贝尔原理：达朗贝尔原理： 杆的纵向强迫振动方程杆的纵向强迫振动方程 等直杆等直杆EA 为常数为常数 弹性纵波沿杆的纵向传播速度弹性纵波沿杆的纵向传播速度 连续系统的振动连续系统的振动 / 一维波动方程一维波动方程2024年9月17日振动力学12小结：小结：（1）杆的纵向振动）杆的纵向振动 （2）弦的横向振动）弦的横向振动虽然它们在运动表现形式上并不相同，但它们的运动微分虽然它们在运动表现形式上并不相同，但它们的运动微分方程是类同的，都属于方程是类同的，都属于一维波动方程一维波动方程（3）轴的扭转振动）轴的扭转振动连续系统的振动连续系统的振动 / 一维波动方程一维波动方程2024年9月17日振动力学136.2 杆的纵向固有振动杆的纵向固有振动以等直杆的纵向振动为对象以等直杆的纵向振动为对象 方程：方程：纵向自由振动方程：纵向自由振动方程：假设杆的各点作同步运动：假设杆的各点作同步运动：T(t) 表示运动规律的时间函数表示运动规律的时间函数 杆上距原点杆上距原点 x 处处的截面的的截面的纵纵向振向振动动振幅振幅 连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动2024年9月17日振动力学14记记：通解：通解：（确定杆纵向振动的形态，称为（确定杆纵向振动的形态，称为模态模态 ）由杆的由杆的边边界条件确定界条件确定 与与有有限限自自由由度度系系统统不不同同，连连续续系系统统的的模模态态为为坐坐标标的的连连续续函函数数 ，表示各坐标振幅的相对比值表示各坐标振幅的相对比值 由频率方程确定的固有频率由频率方程确定的固有频率 有无穷多个有无穷多个 （下面讲述）（下面讲述）连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动（杆的边界条件确定（杆的边界条件确定固有频率固有频率）2024年9月17日振动力学15第第 i 阶主振动：阶主振动：一一对应一一对应系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加： 连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动2024年9月17日振动力学16几种常见边界条件下的固有频率和模态函数几种常见边界条件下的固有频率和模态函数 （1）两端固定）两端固定边界条件：边界条件： 不能恒为零不能恒为零 代入模态函数代入模态函数 频率方程频率方程无穷多个固有频率：无穷多个固有频率：由于零固有频率对应的模态函数为零，因此零固有频率除去由于零固有频率对应的模态函数为零，因此零固有频率除去 特征：两端位移为零特征：两端位移为零模态函数模态函数 ：连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动2024年9月17日振动力学17（2）两端自由）两端自由特征：自由端的轴向力为零特征：自由端的轴向力为零 边界条件边界条件 ：零固有频率对应的常值模态为杆的纵向刚性位移零固有频率对应的常值模态为杆的纵向刚性位移频率方程和固有频率两端固定杆的情况相同频率方程和固有频率两端固定杆的情况相同固有频率：固有频率：模态函数：模态函数：连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动频率方程频率方程2024年9月17日振动力学18（3）一端固定，一端自由）一端固定，一端自由特征：固定端位移为零特征：固定端位移为零 自由端轴向力为零自由端轴向力为零 边界条件边界条件 ：固有频率：固有频率：模态函数：模态函数：连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动或：或：频率方程频率方程2024年9月17日振动力学19主振型的正交性主振型的正交性只对具有简单边界条件的杆讨论主振型的正交性只对具有简单边界条件的杆讨论主振型的正交性 杆可以是变截面或匀截面的杆可以是变截面或匀截面的 即即质质量密度量密度及截面及截面积积 A 等都可以是等都可以是 x 的函数的函数 杆的动力方程杆的动力方程 ：自由振动：自由振动：主振动主振动 ：代入，得代入，得 ：连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动2024年9月17日振动力学20乘乘 并沿杆长对并沿杆长对 x 积分：积分： 杆的简单边界杆的简单边界 ：固定端固定端x = 0 或或 l 自由端自由端x = 0 或或 l 设设：代入：代入：利用分部积分：利用分部积分： 杆的任一端上杆的任一端上总总有有或者或者成立成立 连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动2024年9月17日振动力学21乘乘 并沿杆长对并沿杆长对 x 积分：积分： 乘乘 并沿杆长对并沿杆长对 x 积分：积分： 同理同理相减：相减：时时杆的主振型关于质量的正交性杆的主振型关于质量的正交性 杆的主振型关于刚度的正交性杆的主振型关于刚度的正交性 连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动2024年9月17日振动力学22关于质量的正交性关于质量的正交性 关于刚度的正交性关于刚度的正交性 当当时时 第第 i 阶模态主质量阶模态主质量 第第 i 阶模态主刚度阶模态主刚度 第第 i 阶固有频率：阶固有频率：主振型归一化：主振型归一化： 正则振型正则振型 则则第第 i 阶阶主主刚刚度：度：合写为：合写为： 连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动2024年9月17日振动力学236.3 杆的纵向强迫振动杆的纵向强迫振动 采用振型叠加法进行求解采用振型叠加法进行求解 强迫振动方程：强迫振动方程：初始条件：初始条件： 假定假定 ，已已经经得出得出令：令：正则坐标正则坐标 代入方程：代入方程：两两边边乘乘并沿杆并沿杆长对长对 x 积积分分 ：利用正交性条件：利用正交性条件：第第 j 个正则坐标的广义力个正则坐标的广义力 连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动2024年9月17日振动力学24求得求得 后后模态初始条件的求解模态初始条件的求解乘乘并沿杆并沿杆长对长对 x 积积分，由正交性条件，知有：分，由正交性条件，知有： 可得可得连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动2024年9月17日振动力学25如果沿杆身作用的不是分布力，而是集中力如果沿杆身作用的不是分布力，而是集中力 可表达成分布力形式：可表达成分布力形式：正则坐标的广义力：正则坐标的广义力： 前述外部激励为分布力前述外部激励为分布力连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动2024年9月17日振动力学26例：等直杆例：等直杆自由端作用有：自由端作用有： 为常数为常数求：杆的纵向稳态响应求：杆的纵向稳态响应 连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动2024年9月17日振动力学27解：解：一端固定，一端自由一端固定，一端自由 边界条件：边界条件：固有频率：固有频率：模态函数：模态函数：代入归一化条件：代入归一化条件： 模态广义力：模态广义力：第第 i 个正则方程个正则方程 ：正则坐标的稳态响应正则坐标的稳态响应 ：杆的稳态强迫振动杆的稳态强迫振动 ：当外部力频率等于杆的任一阶固有频率时都会发生共振现象当外部力频率等于杆的任一阶固有频率时都会发生共振现象 连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动2024年9月17日振动力学286.5 6.5 梁的横向固有振动梁的横向固有振动动力学方程动力学方程考虑细长梁的横向弯曲振动考虑细长梁的横向弯曲振动 梁各截面的中心惯性轴在同一平面梁各截面的中心惯性轴在同一平面 xoy 内内在低频振动时可以忽略剪切变形以及截面绕中性轴转动惯量的影响在低频振动时可以忽略剪切变形以及截面绕中性轴转动惯量的影响外载荷作用在该平面内外载荷作用在该平面内梁在该平面作横向振动（微振）梁在该平面作横向振动（微振）这时梁的主要变形是弯曲变形这时梁的主要变形是弯曲变形伯努利欧拉梁（伯努利欧拉梁（Bernoulli-Euler Beam） p(x,t): 单位长度梁上分布的外力单位长度梁上分布的外力 m(x,t): 单位长度梁上分布的外力矩单位长度梁上分布的外力矩 梁参数：梁参数：I 截面对中性轴的惯性积截面对中性轴的惯性积 单位体积梁的质量单位体积梁的质量A 梁横截面积梁横截面积E 弹性模量弹性模量外部力：外部力：假设：假设：连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024年9月17日振动力学29动力学方程动力学方程p(x,t): 单位长度梁上分布的外力单位长度梁上分布的外力 m(x,t): 单位长度梁上分布的外力矩单位长度梁上分布的外力矩 微段受力分析微段受力分析令：令：y(x,t): 距原点距原点 x 处的截面在处的截面在 t 时刻时刻 的横向位移的横向位移 截面上的剪力和弯矩截面上的剪力和弯矩 微段的惯性力微段的惯性力 微段所受的外力微段所受的外力 微段所受的外力矩微段所受的外力矩 连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024年9月17日振动力学30力平衡方程力平衡方程 ：即即 ：以右截面上任一点为矩心，力矩平衡：以右截面上任一点为矩心，力矩平衡： 略去高阶小量：略去高阶小量：材料力学的等截面假设，弯矩与挠度的关系：材料力学的等截面假设，弯矩与挠度的关系：变截面梁的动力学方程：变截面梁的动力学方程：连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024年9月17日振动力学31变截面梁的动力学方程：变截面梁的动力学方程：等截面梁的动力学方程：等截面梁的动力学方程：连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024年9月17日振动力学32固有频率和模态函数固有频率和模态函数变截面梁的动力学方程：变截面梁的动力学方程：讨论梁的自由振动讨论梁的自由振动 自由振动方程：自由振动方程： 根据对杆纵向振动的分析，梁的主振动可假设为：根据对杆纵向振动的分析，梁的主振动可假设为： 代入自由振动方程：代入自由振动方程：对于等截面梁：对于等截面梁：通解：通解：和和应满应满足的足的频频率方程由梁的率方程由梁的边边界条件确定界条件确定 连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024年9月17日振动力学33和和 由系由系统统的初始条件确定的初始条件确定 等截面梁的自由振动方程：等截面梁的自由振动方程： 梁的主振动：梁的主振动： 通解：通解：代入，得：代入，得：第第 i 阶阶主振主振动动： 无穷多个无穷多个系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加： 连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024年9月17日振动力学34常见的约束状况与边界条件常见的约束状况与边界条件 （1）固定端）固定端挠度和截面转角为零挠度和截面转角为零（2）简支端）简支端挠度和弯矩为零挠度和弯矩为零（3）自由端）自由端弯矩和剪力为零弯矩和剪力为零连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024年9月17日振动力学35例：例：求悬臂梁的固有频率和模态函数求悬臂梁的固有频率和模态函数解：解：一端固定，一端自由一端固定，一端自由边界条件边界条件固定端：挠度和截面转角为零固定端：挠度和截面转角为零自由端：弯矩和截面剪力为零自由端：弯矩和截面剪力为零得：得：以及：以及：非零解条件：非零解条件：连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024年9月17日振动力学36简化后，得：简化后，得：频率方程频率方程当当 i=1,2,3时时解得：解得：当当 时时各阶固有频率：各阶固有频率：对应的各阶对应的各阶模态函数模态函数：其中：其中：连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024年9月17日振动力学37铅垂梁的前三阶模态形状铅垂梁的前三阶模态形状第一阶模态第一阶模态第二阶模态第二阶模态第三阶模态第三阶模态一个节点一个节点两个节点两个节点无节点无节点节点位置节点位置连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024年9月17日振动力学38例：例：简支梁的固有频率和模态函数简支梁的固有频率和模态函数解：解：一端圆柱固定铰一端圆柱固定铰另一端圆柱滑动铰另一端圆柱滑动铰固定铰：挠度和截面弯矩为零固定铰：挠度和截面弯矩为零滑动铰：挠度和截面弯矩为零滑动铰：挠度和截面弯矩为零得：得：以及：以及：频率方程：频率方程：固有频率：固有频率：连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024年9月17日振动力学39频率方程：频率方程：固有频率：固有频率：模态函数：模态函数：第一阶模态第一阶模态第二阶模态第二阶模态第三阶模态第三阶模态第四阶模态第四阶模态模态形状模态形状节点位置节点位置无节点无节点一个节点一个节点两个节点两个节点三个节点三个节点连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024年9月17日振动力学40例：例：两端自由梁的固有频率和模态函数两端自由梁的固有频率和模态函数背景：导弹飞行背景：导弹飞行系统类别：半正定系统系统类别：半正定系统存在刚体模态存在刚体模态导弹飞行导弹飞行1导弹飞行导弹飞行2连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024年9月17日振动力学41频率方程：频率方程：模态函数：模态函数：其中：其中：当当 i=1,2,3时时解得：解得：当当 时时自由端：弯矩和截面剪力为零自由端：弯矩和截面剪力为零当当 时时对应刚体模态对应刚体模态连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024年9月17日振动力学42第二阶模态第二阶模态第三阶模态第三阶模态第四阶模态第四阶模态第五阶模态第五阶模态自由梁的模态形状自由梁的模态形状连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024年9月17日振动力学43说明：说明： 以上以上以上以上分析中没有考虑剪切变形和截面转动惯量的影响，因此分析中没有考虑剪切变形和截面转动惯量的影响，因此以上以上以上以上有关梁的分析只适用于细长梁有关梁的分析只适用于细长梁有关梁的分析只适用于细长梁有关梁的分析只适用于细长梁（梁的长度大于梁高度（梁的长度大于梁高度5倍以上）倍以上） 若梁为非细长梁，必须考虑剪切变形和截面转动惯量的影响若梁为非细长梁，必须考虑剪切变形和截面转动惯量的影响若梁为非细长梁，必须考虑剪切变形和截面转动惯量的影响若梁为非细长梁，必须考虑剪切变形和截面转动惯量的影响铁木辛柯梁铁木辛柯梁铁木辛柯梁铁木辛柯梁 （Timoshenko beamTimoshenko beam）考虑剪切变形使得梁的刚度降低，考虑转动惯量使得梁的惯性增考虑剪切变形使得梁的刚度降低，考虑转动惯量使得梁的惯性增加，这两个因素都会使梁的固有频率降低加，这两个因素都会使梁的固有频率降低连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024年9月17日振动力学446.6 梁的横向强迫振动梁的横向强迫振动梁若为等截面，则：梁若为等截面，则： 变截面梁的自由振动方程：变截面梁的自由振动方程：主振动：主振动： 代入，得：代入，得：设设：有：有：连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动1 主振型的正交性主振型的正交性2024年9月17日振动力学45(2)式两式两边边乘乘 (1)式两式两边边乘乘 并沿梁并沿梁长对长对 x 积积分：分：利用分部积分利用分部积分 ：在梁的简单边界上，总有挠度或剪力中的一个与转角或弯矩中的一在梁的简单边界上，总有挠度或剪力中的一个与转角或弯矩中的一个同时为零个同时为零 (3)代入（代入（3）式，有）式，有 ：并沿梁并沿梁长积长积分可得：分可得：同理，同理，相减得相减得 ：连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动(2)(1)2024年9月17日振动力学46如果如果时，时，则有：则有：主振型关于主振型关于质质量的正交性量的正交性 由（由（4）、（）、（5）式，得）式，得 ：主振型关于主振型关于刚刚度的正交性度的正交性 如果如果 i = j第第 j 阶主质量阶主质量 第第 j 阶主刚度阶主刚度 第第 j 阶固有频率阶固有频率主振型中的常数按下列归一化条件确定主振型中的常数按下列归一化条件确定 ：正则振型正则振型 正则振型的正交性：正则振型的正交性：2024年9月17日振动力学47两两边边乘乘 2、梁横向振动的强迫响应、梁横向振动的强迫响应梁的横向强迫振动方程梁的横向强迫振动方程 ：令令 ：代入代入 ：并沿梁并沿梁长对长对 x 积积分：分：由正交性条件，得：由正交性条件，得：第第 j 个正则坐标方程个正则坐标方程 第第 j 个正则坐标的广义力个正则坐标的广义力 由分部积分由分部积分 ：连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024年9月17日振动力学48得到得到 后，即可得到梁的响应后，即可得到梁的响应梁初始条件的处理梁初始条件的处理假定梁的初始条件假定梁的初始条件为为： 代入：代入：两式乘两式乘并沿梁并沿梁长积长积分，由正交性条件可得：分，由正交性条件可得： 第第 j 个正则坐标方程：个正则坐标方程： 第第 j 个正则模态响应：个正则模态响应： 连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024年9月17日振动力学49如果作用在梁上的载荷不是分布力矩，而是集中力和集中力矩如果作用在梁上的载荷不是分布力矩，而是集中力和集中力矩 利用利用函数，可以表示函数，可以表示为为: 有：有：连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024年9月17日振动力学50中点受常力中点受常力 P 作用产生静变形作用产生静变形例：简支梁例：简支梁求：当求：当 P 突然移出时梁的响应突然移出时梁的响应解：解：由材力得初始条件由材力得初始条件: 梁中点的静挠度梁中点的静挠度连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024年9月17日振动力学51梁两端简支梁两端简支 固有频率：固有频率：振型函数：振型函数：代入归一化条件：代入归一化条件： 模态初始条件：模态初始条件：连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024年9月17日振动力学52模态初始条件：模态初始条件：没有激振力，正则广义力为零没有激振力，正则广义力为零正则广义力正则广义力模态响应：模态响应：因此有：因此有：连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024年9月17日振动力学53例：简支梁例：简支梁求：梁的稳态响应求：梁的稳态响应中点受力矩中点受力矩 作用作用连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024年9月17日振动力学54解：解：由上例知：由上例知： 固有频率：固有频率：振型函数：振型函数：正则广义力：正则广义力：第第 i 个正则方程：个正则方程： 因此有：因此有：连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动