流 体 力 学(Fluid Mechanics)第六章第六章 边界层理论边界层理论 (附面层理论) 发展史 1.伯努利方程碰到的问题: 圆柱绕流实验 2.奈维-斯托克斯方程的导出 奈维奈维-斯托克斯（斯托克斯（Navier-Stokes equations），以路易），以路易纳维纳维(Louis Navier)和乔治和乔治加布里埃尔加布里埃尔斯托克斯命名，是一组描述斯托克斯命名，是一组描述象液体和空气这样的流体物质的方程。该方程建立了流体的粒象液体和空气这样的流体物质的方程。该方程建立了流体的粒子动量的改变率子动量的改变率(加速度加速度)和作用在液体内部的压力的变化和耗和作用在液体内部的压力的变化和耗散粘滞力散粘滞力(类似于摩擦力类似于摩擦力) 之间的关系。之间的关系。 3.儒可夫斯基（1904）提出边界层理论 4.普朗特（1904）提出边界层理论 当流体在大雷诺数条件下运动时，可把流体的粘性和导当流体在大雷诺数条件下运动时，可把流体的粘性和导热看成集中作用在流体表面的薄层即边界层内。根据边界层热看成集中作用在流体表面的薄层即边界层内。根据边界层的这一特点，简化纳维斯托克斯方程，并加以求解，即可的这一特点，简化纳维斯托克斯方程，并加以求解，即可得到阻力和传热规律。这一理论是德国物理学家得到阻力和传热规律。这一理论是德国物理学家L.普朗特于普朗特于1904年提出的，它为粘性不可压缩流体动力学的发展创造了年提出的，它为粘性不可压缩流体动力学的发展创造了条件。条件。 1921年起，层流边界层的近似算法大量出现，这些算法大多数以流体力学中的一般积分原理为基础：如卡门-波尔豪森积分、列宾森的能量积分等. 第一节第一节 普朗特边界层微分方程式普朗特边界层微分方程式 一、普朗特关于对边界层的定义： “邻近固体界面的一薄层流体，因受摩擦影响，速度梯度很大，即使流速很小，这一层中的切应力也不能忽略，这一层叫做边界层。” 略去质量力的作用，定常情况下不可压缩平面流动的运动方程和连续方程为： 问题: 方程难于用于计算,需进一步简化. 二、讨论方程中各项的量级 进一步分析运动方程中各项的量级，因 在加速度项中，有在边界层内粘滞力与加速度（即惯性力）有相同的量级 压强梯度项：在方程式（6-1-1）的第一式，已知惯性项和粘性项的量级，所以Cross out在第二式中，比较把以上数量级的分析加以整理，得普朗特边界层微分方程式 结论： 压强梯度在y方向的分量相对于x方向的分量可忽略。分析： (1)压强沿着边界层的法线方向不变，所以边界层内的压强应和边界层边界上的压强一致。 (2) 压强函数可以根据理想流体绕流问题的解答来确定的。因此，微分方程组（6-1-2）中只包含两个未知数，u,v。 (3)在固体边界上应满足下列条件：为什么? (4)在边界层边界上，应满足 边界层厚度是一个假定的量。例如可以把速度等于主流速度的99%的各点认为是边界层的上边界。但是通常采用排挤厚度的三倍作为边界层的厚度： 边界层基本问题：厚度究竟是多少？为什么?哥路别夫积分方程哥路别夫积分方程第二节第二节 微分方程式的积分微分方程式的积分卡门和列宾森方法卡门和列宾森方法把式（6-2-1）中的三项积分分别计算，最后希望除积分项外,得到关于U的方程积分一积分二 积分三将上述等式代入（6-2-1）左边得左边部分上式为哥路别夫积分方程。 令k=0，得到卡门积分方程。但不行？ 总压力卡门-波尔豪森动量积分关系式卡门-波尔豪森动量积分关系式的物理意义：在定常情形下，流出所论区域边界的动量流率等于作用在区域内流体上一切力的合力。 在方程（6-2-3）中，令k=1，得到列宾森积分方程：上式又称列宾森能量积分关系式。列宾森能量积分关系式的物理意义: 动能的减少等于压强梯度力和摩擦力做负功. 具体求法： （1）给定一个多项式； （2）利用边界条件确定多项式的系数。 附加条件的寻找: 附加的边界条件是从直接应用边界层普朗特方程式（6-1-2）而得到。 边界条件的求取应用边界层普朗特方程式（6-1-2）得到固体边界上的新的边界条件。如将式（6-1-2）中第一方程的两侧对 y 微商，有 又对于外部流动的流线取伯努利积分： 将上式和(6-2-9)代入(6-2-8)，又得到边界条件： 附加的边界条件愈多，所决定的分布函数愈接近边界层方程式的实际解答。 研究无限大平板的定常绕流问题。因为此时外部流动中的速度处处都等于常数，所以此时，边界层方程(6-1-2)变为 第三节第三节 积分方程的应用积分方程的应用其边界条件为为了确定速度分布，需寻找附加边界条件。从式（6-2-6）得附加边界条件 取试解由边界条件（6-3-2）和（6-3-3）得因而求得边界层中速度的分布式为： 将（6-3-5）式代入卡门积分方程（6-2-4）得 平板所受的总摩擦阻力为边界层方程同样可应用于曲线边界，只要此边界的曲率半径大于边界层厚度。由于向心力的作用，使得压强在边界的法向有了变化，一般可以忽略这种变化。第六节第六节 绕流脱体现象绕流脱体现象 当边界层的压强在主流方向逐渐增加时，速度会逐渐减小，如果压强梯度力持续作用，边界附近会有倒流产生。此时产生边界层分离现象。图 6-6-2 圆柱绕流的分离现象边界层的分离和倒流边界层的分离和倒流边界层最重要的特征之一是在某一定条件之下有倒流现象产生。没有倒流发生的临界点叫做分离点，从分离点开始分成两个区域，边界层和倒流区域。在边界层内的流体运动受三种作用力的影响： (1)边界的摩擦阻力; (2)层上之流体向前运动时通过沾滞作用迫使其前进的作用力; (3)压强梯度力。E ED Dx xC CA AB BUmax边界层外边界边界层外边界y yU(x)F F普朗特边界层方程并非对整个绕行边界都适用，而只对边界层分离的临界点以前部分适用。也就是说，普朗特边界层理论的研究区域仅到临界点为止。边界层脱离的部分被外部流体带走；而且脱体现象是周期性出现的；对于某些主体来说，上部和下部离开的现象不是同时发生的，而是互相交错发生的。流体绕过非流线形物体时，物体尾流左右两侧产生的成对的、交替排列的、旋转方向相反的反对称涡旋。卡门涡街是粘性不可压缩流体动力学所研究的一种现象。流体绕流高大烟囱、高层建筑、电线、油管道和换热器的管束时都会产生卡门涡街。1911年,德国科学家卡门从空气动力学的观点找到了这种涡旋稳定性的理论根据 。卡门涡街(Karman Vortex Street)非洲西北部佛得角群岛附近天空出现的冯卡门涡街。这种云漩涡在风穿过佛得角群岛时形成。