第十章第十章曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分1；.积分学积分学 定积分二重积分三重积分定积分二重积分三重积分积分域积分域 区间域区间域 平面域平面域 空间域空间域 曲线积分曲线积分曲线域曲线域曲面域曲面域曲面积分曲面积分曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 向量场中的积分向量场中的积分表示一物体在力场表示一物体在力场中沿曲线所做的功中沿曲线所做的功液体流过一个表面液体流过一个表面的流量的流量2；. 第十章第十章 第一节第一节机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第一类曲线积分第一类曲线积分二、第一类曲线积分的二、第一类曲线积分的 概念与性质概念与性质一、问题的提出一、问题的提出三、第一类曲线积分的三、第一类曲线积分的 计算计算3；.一、问题的提出一、问题的提出假设曲线形细长构件在空间所占假设曲线形细长构件在空间所占弧段为弧段为AB AB , , 其线密度为其线密度为“分割分割, , 近似近似, , 求和求和, , 取极限取极限” 可得可得为计算此构件的质量为计算此构件的质量, ,例例1:1: 曲线形构件的质量曲线形构件的质量采用采用机动 目录 上页 下页 返回 结束 4；.解：解：设设则则则曲面的面积为：则曲面的面积为：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 5；.定义：定义：设设 L是空间中一条有限长的光滑曲线是空间中一条有限长的光滑曲线, ,函数函数在在 L上有定义上有定义, , 都存在都存在, ,L上上对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分, ,记作记作若通过对若通过对 L 的的任意分割任意分割局部的局部的任意取点任意取点, , 二二. .定义及性质定义及性质下列下列“乘积和式极限乘积和式极限”则称此极限为函数则称此极限为函数在曲线在曲线或第一类曲线积分或第一类曲线积分. .称为称为被积函数，被积函数，L 称为称为积分弧段积分弧段 . .和对和对机动 目录 上页 下页 返回 结束 ds 称为称为弧长元素（弧微分）弧长元素（弧微分） . .6；.如果如果 L 是是 xoy 面上的曲线弧面上的曲线弧 , ,如果如果 L 是闭曲线是闭曲线 , , 则积分号记为则积分号记为则定义对弧长的则定义对弧长的曲线积分为曲线积分为机动 目录 上页 下页 返回 结束 由定义知：由定义知： 物理意义物理意义几何意义几何意义7；.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 基本性质：基本性质： 2.2.（线性性质）：（线性性质）：假设下面所涉及到的函数在积分曲线上都是可积的，假设下面所涉及到的函数在积分曲线上都是可积的，P表示平面或空间上的某个点。表示平面或空间上的某个点。3.3.（积分区域的可加性）：（积分区域的可加性）：8；.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 9；.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 10；.关于曲线的轮换对称性：关于曲线的轮换对称性： 平面曲线平面曲线具有轮换对称性是指：曲线关于直线具有轮换对称性是指：曲线关于直线x = y 对称。对称。 如果平面曲线如果平面曲线 L 有有轮换对称性，则它的方程轮换对称性，则它的方程F (x ,y )=0，有如下特征：将，有如下特征：将 F (x ,y) 中的变量中的变量 x ,y 的位置任意互换，不会改变的位置任意互换，不会改变 F 的表达式。的表达式。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 如果如果平面平面曲线曲线 L 有轮换对称性，那么交换被积有轮换对称性，那么交换被积函数函数 f ( x, y) 中变量中变量 x, y 的位置，积分值不会改变，的位置，积分值不会改变，即即11；.F (x ,y ,z)=0，G (x ,y ,z)=0 有如下特征：将有如下特征：将 F (x ,y ,z) ， G(x ,y ,z) 中的变量中的变量 x ,y ,z 的位置任意互换，不会改变的位置任意互换，不会改变 F，G 的表达式。的表达式。 空间曲线空间曲线具有轮换对称性是指：曲线关于直线具有轮换对称性是指：曲线关于直线x = y = z 对称。对称。 如果空间曲线如果空间曲线 L 有有轮换对称性，则它的方程轮换对称性，则它的方程 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 如果空间如果空间曲线曲线L关于直线关于直线 x = y = z 对称，对称，那么被那么被积函数积函数 f ( x, y, z) 中的变量中的变量 x, y, z 无论怎样互换，积无论怎样互换，积分值不会改变。即分值不会改变。即12；.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 曲线对称性的补充性质：曲线对称性的补充性质：1、如果两条平面如果两条平面曲线曲线 L1、 L2 关于直线关于直线 x = y 对称，对称，则则2、如果两条空间如果两条空间曲线曲线 L1、 L2 关于平面关于平面 x = y 对称，对称，则则 同理，如果同理，如果L1、 L2 关于平面关于平面 y= z 及及 z= x 对称，对称，也有类似的性质。也有类似的性质。 13；.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 3 3、如果空间、如果空间曲线曲线 L 关于平面关于平面 x = y 对称，那么交对称，那么交换换被积函数被积函数 f ( x, y, z) 中的变量中的变量 x, y 的位置的位置， z的位置不动的位置不动，积分值不会改变。即积分值不会改变。即 同理，如果空间同理，如果空间曲线曲线 L 关于平面关于平面 y= z 及及 z= x 对称，有类似的性质。对称，有类似的性质。 14；.三、对弧长曲线积分的计算三、对弧长曲线积分的计算定理定理1 1（平面曲线的情况）（平面曲线的情况）机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 15；.证明：证明：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 16；.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 17；.说明说明: :因此积分限必须满足因此积分限必须满足(2) (2) 注意到注意到 因此上述计算公式相当于因此上述计算公式相当于“换元法换元法”. . 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 18；.其它情形：其它情形：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 19；.定理定理2 2 ( (空间曲线的情况空间曲线的情况) )：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 20；.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解21；.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解1 ：参数方程参数方程22；.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 23；.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解2 ：参数方程参数方程24；.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解3：极坐标极坐标25；.例例3.3. 计算计算其中其中 为球面为球面解解: : 化为参数方程化为参数方程 则则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 26；.解解1: 1: 其中其中L为球面为球面 被平面被平面 所截的圆周所截的圆周. . 例例4.4. 计算计算机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 27；.椭圆椭圆机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 28；.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 29；.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 30；.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 31；.解解2: 2: 其中其中L为球面为球面 被平面被平面 所截的圆周所截的圆周. . 例例4.4. 计算计算机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 32；.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 33；.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 34；.例例4.4. 计算计算其中其中 为球面为球面 被平面被平面 所截的圆周所截的圆周. . 解解3:3: 由轮换对称性可知由轮换对称性可知机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 35；.思考思考: : 例例4 4中中 改为改为如何计算如何计算解解1:1: 令令, , 则则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 36；. 由对称性可知由对称性可知机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 37；.例例5.5. 已知椭圆已知椭圆周长为周长为a , , 解解: : 利用对称性利用对称性机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 说明：说明：此题用公式是积不出来的！此题用公式是积不出来的！38；.四、几何四、几何应用应用机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1 1、曲线的弧长、曲线的弧长2 2、柱面的侧面积、柱面的侧面积39；.例例6.6. 解解1:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 40；.例例6.6. 解解2: 用上一章重积分的应用做用上一章重积分的应用做机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 联立联立azoxDxza41；.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 aazoxDxz则所求面积为则所求面积为42；.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例7 7（上章习题课例（上章习题课例1111）解：解：43；.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 44；.解：解：用微元法：用微元法： 如图面积元素为如图面积元素为绕绕 x 轴旋转一周所得旋转曲面的侧面积为轴旋转一周所得旋转曲面的侧面积为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 3 3、旋转曲面的侧面积、旋转曲面的侧面积45；.解：解：旋转曲面的面积为旋转曲面的面积为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 46；.五、五、物理应用物理应用机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 称为形心称为形心47；.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 特别地特别地48；.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 49；.思考思考: : 例例4 4中中 改为改为 如何计算如何计算解解2:2: 令令, , 则则圆圆 的形心的形心在原点在原点, , 故故机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 50；.例例9.9. 计算半径为计算半径为 R ，中心角为，中心角为的圆弧的圆弧 L 对于对于它的对称轴的转动惯量它的对称轴的转动惯量 I ( (设线密度设线密度 = 1) )。 解解: : 建立坐标系如图建立坐标系如图, , 则则 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 51；.例例10.10. L为球面为球面坐标面的交线坐标面的交线 , , 求其形心求其形心 . . 在第一卦限与三个在第一卦限与三个解解: : 如图所示如图所示 , , 交线长度为交线长度为由对称性，形心坐标为由对称性，形心坐标为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 由对称性由对称性52；.例例11.11. 有一半圆弧有一半圆弧其线密度其线密度 解解: :故所求引力为故所求引力为求它对原点处单位质量质点的引力求它对原点处单位质量质点的引力. . 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 53；.内容小结内容小结1. 1. 定义及基本性质：定义及基本性质：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 对光滑曲线弧对光滑曲线弧2. 2. 计算：计算： 对光滑曲线弧对光滑曲线弧3. 3. 应用：应用：几何、物理几何、物理54；.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 不同处不同处: : 对弧长的曲线积分要求对弧长的曲线积分要求 ds 0 ，但定积分中但定积分中 dx 可能为负。可能为负。定积分和弧长积分的关系定积分和弧长积分的关系: :相似处相似处: : 从几何上讲，从几何上讲，都表示空间曲线下柱面的侧面积。都表示空间曲线下柱面的侧面积。55；.作业作业习题习题9-1(P241) 1 (2)(3)(6)；2(1)(3)(4) 4；5；7；10 56；.备用题备用题1.1. 设设 C 是由极坐标系下曲线是由极坐标系下曲线及及所围区域的边界所围区域的边界, , 求求解解: : 分段积分分段积分机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 57；.2.2. 计算计算其中其中 L L 为双纽线为双纽线解解: : 在极坐标系下在极坐标系下它在第一象限部分为它在第一象限部分为利用对称性利用对称性 , , 得得机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 58；.3、解：解：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 59；.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解：解： 所求侧面积为：所求侧面积为：60；.线线5.5. 计算曲线积分计算曲线积分 其中其中 为螺旋为螺旋的一段弧的一段弧. .解解: : 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 61；.6 6、 设均匀螺旋形弹簧设均匀螺旋形弹簧 L 的方程为的方程为(1) (1) 求它关于求它关于 z 轴的转动惯量轴的转动惯量(2) (2) 求它的质心求它的质心 . .解解: : 设其密度为设其密度为 ( (常数常数). ).(1)(1)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 62；.故质心坐标为故质心坐标为第二节第二节 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (2) (2) L 的质量的质量而而63；.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解由对称性知：由对称性知：64；.8 8、解解: : 令令 则则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 65；.