第三节 正交矩阵定义定义1 1内积内积一、内积的定义及性质说明说明内积的运算性质内积的运算性质定义定义2 2 令令长度长度范数范数向量的长度具有下述性质：向量的长度具有下述性质：二、向量的长度及性质解解单位向量单位向量夹角夹角 正交的概念正交的概念 正交向量组的概念正交向量组的概念正交正交若若一非零一非零向量组中的向量两两正交，则称该向向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组量组为正交向量组三、正交向量组的概念及求法证明证明 正交向量组的性质正交向量组的性质例例6 6 已知三维向量空间中两个向量已知三维向量空间中两个向量正交，试求正交，试求 使使 构成三维空间的一个正交构成三维空间的一个正交基基. 向量空间的正交基向量空间的正交基即即解之得解之得由上可知由上可知 构成三维空间的一个正交基构成三维空间的一个正交基.则有则有解解 规范正交基规范正交基例如例如 同理可知同理可知（1）正交化正交化，取取 ， 求规范正交基的方法求规范正交基的方法（2）单位化单位化，取，取例例7 用施密特正交化方法，将向量组用施密特正交化方法，将向量组正交规范化正交规范化.解解 先先正交化正交化，取取施密特正交化过程施密特正交化过程再再单位化单位化， 得规范正交向量组如下得规范正交向量组如下例例8解解再把再把它们单位化，取它们单位化，取例例9解解把把基础解系正交化，即合所求亦即取基础解系正交化，即合所求亦即取证明证明定义定义4 4定理定理四、正交矩阵与正交变换4 4 为正交矩阵的充要条件是为正交矩阵的充要条件是 的列向量都的列向量都是单位向量且两两正交是单位向量且两两正交性质性质 正交变换保持向量的长度不变正交变换保持向量的长度不变证明证明例例1010 判别下列矩阵是否为正交阵判别下列矩阵是否为正交阵定义定义5 5 若若 为正交阵，则线性变换为正交阵，则线性变换 称为正称为正交变换交变换解解所以它不是正交矩阵所以它不是正交矩阵考察矩阵的第一列和第二列，考察矩阵的第一列和第二列，由于由于所以它是正交矩阵所以它是正交矩阵由于由于例例1111解解1 1将一组基规范正交化的方法：将一组基规范正交化的方法： 先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将其单位化其单位化五、小结2 2 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：求一单位向量，使它与求一单位向量，使它与正交正交思考题思考题解答