第三章 泛函分析初步3.1 线性空间3.2 线性子空间3.3 距离空间3.4 Banach空间 3.5 Hilbert空间 3.6 完备规范正交集上广义傅里叶展开 13.1 线性空间线性空间：设W（W为非空集合） (1) W中元对“+”构成交换群，即对 X X,Y Y,ZZ W,有.23.1 线性空间(2)对 X,Y W， , C（复数域）有： . . . . 称W为线性空间；若 , C ，则W为复线性空间；若, R，则W为实线性空间。33.1 线性空间 43.1 线性空间线性空间W上的算子L为线性算子零状态线性系统系统算子为线性算子53.2 线性子空间线性子空间：设 V W， V是W的线性子空间直和：设63.3 距离空间（度量空间Metric Space）距离空间：设W ，称W为距离空间，指在W中定义了映射： （包 括0）， X X,Y Y W 满足以下三条公理： 称为W上的距离， 为度量空间。 73.3 距离空间例：例：83.3 距离空间例：93.3 距离空间收敛收敛：定理：在 中，每个收敛点列有唯一的极限点。 103.3 距离空间完备度量空间柯西序列Cauchy Sequence例：113.3 距离空间完备度量空间 中任意收敛序列是柯西序列 中的柯西序列未必收敛到 中例：123.3 距离空间完备度量空间完备度量空间Complete Metric Space 称为完备度量空间，指其中所有柯西序列都收敛。极限运算在完备时可行如何完备化？W不要求线性空间133.4 巴拿赫（Banach）空间 143.4.1 赋范线性空间赋范线性空间：设W是线性空间，若对 X X W， X X 满足：称为X X的范数（Norm），定义了范数的线性空间称为赋范线性空间，记为 。153.4.1 赋范线性空间（广义）长度的推广：例1： 163.4.1 赋范线性空间（广义）长度的推广：例2：173.4.1 赋范线性空间Minkowski不等式： 183.4.1 赋范线性空间 193.4.1 赋范线性空间例 203.4.1 赋范线性空间强收敛：弱收敛：依泛函收敛。 注：强收敛弱收敛。213.4.1 赋范线性空间度量空间与赋范线性空间的关系： 例 223.4.2. Banach空间 Banach空间：完备的 称为Banach空间。 是Banach空间。在 中，取 完备。 233.4.2. Banach空间定理：若Hlder不等式：证明思路：243.5 Hilbert空间 253.5.1 内积空间 内积：设W为实或复线性空间，若对 X X,Y Y,ZZ W, C，均有一个实数或复数与之对应，记为X X,Y Y，满足： 则称X X,Y Y为X X与Y Y的内积，定义了内积的空间为内积空间。 263.5.1 内积空间注： 例子： 273.5.1 内积空间例子： 283.5.2 Hilbert空间定义欧氏范数 ，则内积（线性）空间成为赋范线性空间。 Hilbert空间：依欧氏范数 完备的内积空间称为Hilbert空间。 有限维内积空间必完备： 完备。 完备，定义内积 。H空间是能量有限信号的集合。293.5.2 Hilbert空间Cauchy-Schwarz不等式：W为内积空间， X X,Y Y W，有 注：1.在Hlder不等式中，取 ，就成为Cauchy-Schwarz不等式。 2.在 空间中，有Cauchy不等式：3.在 空间中，有Schwarz不等式： 303.5.3 线性泛函 算子Operator：X,Y为线性空间，算子： 其中， 为定义域， 为值域。 313.5.3 线性泛函泛函Functional：值域是实复数域的算子为泛函。 注：定积分，距离，范数，内积， 函数（第三种定义），（普通）函数均为泛函。线性算子： X,Y为线性空间， ，若对 ，有： 则T为线性算子。323.5.3 线性泛函线性泛函：线性算子T的值域为实复数集。距离、范数是泛函，但非线性泛函。连续线性算子T线性算子：有界连续内积为连续线性泛函积分算子333.6 完备规范正交集上广义傅里叶展开 343.6.1 正交Orthogonal 正交：在内积空间W中，若 ，满足： ，则称 正交，记为： 。其中k为常数， 为Kronecker符号 正交（子）集： 中任意两个元正交。 353.6.1 正交集正交：若 正交补： 规范正交完备集V：1. （完备性）2. （规范正交） 363.6.1 正交定理：Hilbert空间存在规范正交完备集。定理：W是Hilbert空间， ，V是W的正交子集。373.6.2正交投影Orthogonal Projection 正交投影： W是Hilbert空间， 在V上的正交投影或投影，记为： 。注： 的距离最小，即正交投影使均方误差最小化。 383.6.3 广义傅里叶展开 广义傅里叶展开：设 是H空间W的规范正交完备集，则对 为广义傅里叶系数。 注： 是Hilbert空间W的规范且完备的一组基。 是 X 在 上的投影。393.6.3 广义傅里叶展开Parseval等式：设 ， 则物理解释：信号的总能量各个分量的能量的和。几何解释：广义勾股定理。403.6.3 广义傅里叶展开用N项广义傅里叶展开逼近X： 设 是Hilbert空间W的规范正交完备集， X在 上的投影： 。 这里 规范正交，但不完备。 41结束42