1/22小行星轨道计算小行星轨道计算特征值问题及应用特征值问题及应用离散数据的多项式拟合离散数据的多项式拟合 人口预测问题人口预测问题 线性代数应用实验线性代数应用实验2/22约翰约翰开普勒开普勒( (1571年年1630) )以数学的和谐性探索以数学的和谐性探索宇宙宇宙, ,继哥白尼之后第一个站出来捍卫太阳中心说。继哥白尼之后第一个站出来捍卫太阳中心说。因创立行星运动定律因创立行星运动定律, ,被称为被称为“天上的立法者天上的立法者”。开普勒和行星运动定律开普勒和行星运动定律第三定律：太阳系内所有行星公转周期的平方同第三定律：太阳系内所有行星公转周期的平方同行星轨道半长径的立方之比为一常数。行星轨道半长径的立方之比为一常数。第二定律：在椭圆轨道上运行的行星速度不是常第二定律：在椭圆轨道上运行的行星速度不是常数，而是在相等时间内，行星与太阳的连线所扫数，而是在相等时间内，行星与太阳的连线所扫过的面积相等。过的面积相等。第一定律：行星在通过太阳的平面内沿椭圆轨道第一定律：行星在通过太阳的平面内沿椭圆轨道运行运行, ,太阳位于椭圆的一个焦点上。太阳位于椭圆的一个焦点上。3/22例例4.2 小行星轨道问题小行星轨道问题以太阳为坐标原点观察小行星以太阳为坐标原点观察小行星, ,测得坐标数据测得坐标数据x 4.5596 5.08165.5546 5.96366.2756y 0.8145 1.36851.9895 2.69253.5265a1x12 + 2a2x1y1 + a3 y12 +2a4 x1 + 2a5 y1 = 1a1x22 + 2a2x2y2 + a3 y22 +2a4 x2 + 2a5 y2 = 1a1x32 + 2a2x3y3 + a3 y32 +2a4 x3 + 2a5 y3 = 1a1x42 + 2a2x4y4 + a3 y42 +2a4 x4 + 2a5 y4 = 1a1x52 + 2a2x5y5 + a3 y52 +2a4 x5 + 2a5 y5 = 1椭圆二次曲线方程椭圆二次曲线方程a1x2 + 2a2xy + a3 y2 +2a4 x + 2a5 y + 1 = 04/22Az = b MATLAB 求解方程组方法：求解方程组方法：Ab创建方程组系数矩阵方法：创建方程组系数矩阵方法：A=X.2, 2*X.*Y, Y.2, X, Y5/22X=4.5596;5.0816;5.5546;5.9636;6.2756;Y=0.8145;1.3685;1.9895;2.6925;3.5265;A=X.*X,2*X.*Y,Y.*Y,2*X,2*Y;b=-1;-1;-1;-1;-1;z=Ab;a1=z(1);a2=z(2);a3=z(3);a4=z(4);a5=z(5);syms x yF=a1*x2+2*a2*x*y+a3*y2+2*a4*x+2*a5*y+1;ezplot(F,-1,6.5,-1.5,6)hold on,plot(X,Y,ro)程序文件程序文件 mlab42.m6/22MATLAB解算特征值问题方法解算特征值问题方法lamda=eig(A) 计算计算A的特征值的特征值,这里这里lamda是是A的全部特征值构成的列向量。的全部特征值构成的列向量。P,D=eig(A) 计算出计算出A的全部特征值和对应的特的全部特征值和对应的特征向量征向量. 其中其中, D是对角矩阵是对角矩阵,保存矩阵保存矩阵A的全部特征的全部特征值值; P是满阵是满阵, P的列向量构成对应于的列向量构成对应于D的特征向量组。的特征向量组。矩阵特征值问题矩阵特征值问题A是是n阶方阵阶方阵,求非零向量求非零向量 和数和数 使得使得称称 为特征向量为特征向量,称称 为特征值为特征值.7/22例例. 简单迁移模型简单迁移模型:每年每年A镇的人口镇的人口10%迁往迁往B镇镇;B镇的镇的人口人口15%迁往迁往A镇镇. 假设某年假设某年A、B两镇人口各有两镇人口各有120人人和和80人人.问两年后两镇人口数量分布如何问两年后两镇人口数量分布如何?设两镇总人口不变设两镇总人口不变,人口流动只限于两镇之间人口流动只限于两镇之间.引入变量引入变量: x1(k) 表示表示 A 镇第镇第 k 年人口数量年人口数量; x2(k) 表示表示 B 镇第镇第 k 年人口数量年人口数量. 由第由第 k 年到第年到第 k+1 年两镇人口数量变化规律如下年两镇人口数量变化规律如下 X(k+1) = A X(k)8/22A=0.9,0.15;0.1,0.85; X0=120;80;X2=A2*X0D=eig(A)X(2) =AX(1) =A(AX(0) = A2X(0)120 80X2 =1.000.75D=若若则则x1 + x2 =200x1 : x2=1.5:1x1 =120x2= 809/22例例4.5 出租汽车问题出租汽车问题。 出租汽车公司在仅有出租汽车公司在仅有A城和城和B城的海岛上城的海岛上, ,设了设了A,B两两营营业部。如果周一业部。如果周一A城有城有120辆可出租汽车，而辆可出租汽车，而B城有城有150辆。统计数据表明，平均每天辆。统计数据表明，平均每天A城营业部汽车的城营业部汽车的10%被顾客租用开到被顾客租用开到B城城, ,B城营业部汽车的城营业部汽车的12%被被开到了开到了A城。假设所有汽车正常，试计算一周后两城的汽车数城。假设所有汽车正常，试计算一周后两城的汽车数量。寻找方案使每天汽车正常流动而量。寻找方案使每天汽车正常流动而A城和城和B城的汽车城的汽车数量不增不减。数量不增不减。 设第设第n天天A城营业部汽车数为城营业部汽车数为x1(n)，B城营业部汽车数城营业部汽车数为为x2(n)。 则有则有10/22两营业部汽车总数量两营业部汽车总数量为：为：270矩阵矩阵特征值特征值特征向量特征向量x1 + x2 =270x1 : x2=1.2:1x1 =147x2= 123近似解近似解Cars =147.00 147.06 147.1068 147.1433 147.1718 147.1940 147.2113123.00 122.94 122.8932 122.8567 122.8282 122.8060 122.788711/22X=147;123;A=0.9,0.12;0.1,0.88;Cars=X;for k=1:6 X=A*X; Cars=Cars,X;endCarsfigure(1),bar(Cars(1,:)figure(2),bar(Cars(2,:)12/22超定方程组的最小二乘解超定方程组的最小二乘解 当方程数超过未知数个数时当方程数超过未知数个数时, ,称为超定方程组称为超定方程组超定方程组最小二乘解是使残差平方和最小的解超定方程组最小二乘解是使残差平方和最小的解 MATLAB求求解解超超定定方方程程组组方方法法和和求求解解一一般般线线性性方方程组方法相同程组方法相同: : x = Ab13/22例例4.9 求超定方程组最小二乘解求超定方程组最小二乘解 A=2,4;3,-5;1,2;4,2;b=11;3;6;14;X=AbR=b-A*X;S=R*RX = 2.9774 1.2259S = 0.5154 14/22离散数据的多项式拟合方法离散数据的多项式拟合方法 xx1x2 xm f(x)y1y2 ym求求 n 次多项式次多项式 ( n m ) P(x) = a1xn + a2 xn-1 + + an x + an+1 使得使得 MATLAB求解多项式拟合方法如下求解多项式拟合方法如下: :P =polyfit(x，y，n) 输出变量输出变量P是一个具有是一个具有(n+1) 个数的一维数组，表示个数的一维数组，表示拟合多项式拟合多项式P(x)的系数的系数( (多项式降幂排列多项式降幂排列 ) )。 15/22汽车紧急刹车问题数据拟合实验汽车紧急刹车问题数据拟合实验 V表示刹车时汽车行驶速度表示刹车时汽车行驶速度( (英里英里/ /小时小时),),T表示刹车表示刹车后汽车滑行距离后汽车滑行距离( (英尺英尺) ) V 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 T 20 28 41 53 72 93 118 149 182 221 266v=20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70*1.609;T=20 28 41 53 72 93 118 149 182 221 266*.3048;P2=polyfit(v,T,2);T2=polyval(P2,v);R2=sum(T-T2).2)figure(2),plot(v,T,*,v,T2)P3=polyfit(v,T,3);T3=polyval(P3,v);R3=sum(T-T3).2)figure(3),plot(v,T,*,v,T3)R3 = 0.4080R2 = 1.963416/22人口预测问题人口预测问题据统计，上世纪六十年代世界人口数据如下据统计，上世纪六十年代世界人口数据如下 年年 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968(亿亿) 29.72 30.61 31.51 32.13 32.34 32.85 33.56 34.2 34.83分析：根据马尔萨斯人口理论分析：根据马尔萨斯人口理论 , ,人口增长率与人口人口增长率与人口数量数量N成正比，用微分方程描述为成正比，用微分方程描述为 N(t) = exp( a t + b ) ln N = a t + b (1)对数变换：对数变换：y=log(N)(2)线性拟合线性拟合： E=polyfit(T,y,1)(3)计算函数计算函数:PE=exp(polyval(E,T)17/22中国人口数据资料中国人口数据资料(单位单位:亿亿)T 1991 1992 1993 1994 1995 1996N 11.58 11.72 11.85 11.98 12.11 12.24线性函数拟合线性函数拟合N(t) = a1 t + a2(3) 求残差平方和求残差平方和 r2=sum(N-LT).2)(1) 求求 L= a1 , a2 L= polyfit(T,N,1)(2) 求线性函数值求线性函数值 LT=polyval(L,T)18/22T=1991:1996;N=11.58, 11.72, 11.85, 11.98, 12.11, 12.24;figure(1),bar(T,N)L=polyfit(T,N,1)LT=polyval(L,T);figure(2),plot(T,N,o,T,LT)r2=sum(N-LT).2)L2009=polyval(L,2009)中国人口数据的线性拟合实验中国人口数据的线性拟合实验r2 = 4.7619e-005L2009 = 13.950519/22中国人口数据的指数函数拟合实验中国人口数据的指数函数拟合实验T=1991:1996;N=11.58, 11.72, 11.85, 11.98, 12.11, 12.24;y=log(N);E=polyfit(T,y,1);PE=exp(polyval(E,T);figure(1),plot(T,N,o,T,PE)R2=sum(N-PE).2)Te=1990:4:2011PE1=exp(polyval(E,Te)figure(2),bar(Te,PE1)PE1 =11.4599 11.9771 12.5177 13.0827 13.6731 14.290220/22思考题与练习题思考题与练习题1.对于指数函数的人口模型，如果不采用对数变换，对于指数函数的人口模型，如果不采用对数变换，是否可以求解数据拟合问题是否可以求解数据拟合问题?2. 用线性函数与指数函数两种模型对中国人口数据进用线性函数与指数函数两种模型对中国人口数据进行拟合的结果差异是否很大？哪一种模型的残差平方行拟合的结果差异是否很大？哪一种模型的残差平方和更小和更小？ 3.用马尔萨斯模型预测中国人口达到用马尔萨斯模型预测中国人口达到20亿，将会在多亿，将会在多少年以后发生？少年以后发生？以中国以中国960960万平方公里国土面积计算，万平方公里国土面积计算，人均占多少平方米？人均占多少平方米？21/22例例 中国人口网数据显示中国人口网数据显示:我国受教育程度大学以上占我国受教育程度大学以上占5.42、高中高中12.59、初中初中36.93、小学小学30.44 。R=5.42,12.59,36.93,30.44;R(5)=100-sum(R)pie(R,0,0,0,0,1)pie(R,0,0,0,0,1,大学大学,高中高中,初中初中,小学小学,其它其它)MATLAB“饼图饼图”绘制命令绘制命令pie()22/22练习题练习题1. 用用“条形图条形图”表示我国表示我国受教育程度人口分布受教育程度人口分布.2. 根据中国人口网公布的数据：根据中国人口网公布的数据：2005年年1月月6日日，中中国人口总数达到国人口总数达到13亿亿。在在2004年末全国总人口年末全国总人口129988万人中万人中，0-14岁人口为岁人口为27947万人万人，占总人口占总人口的的21.50，15-64岁人口为岁人口为92184万人万人，占占70.92；65岁及以上人口为岁及以上人口为9857万万人，占人，占7.58。 试用试用“饼图饼图”和和“条形图条形图”分别表示中国人口的年龄结构和各年龄分别表示中国人口的年龄结构和各年龄人口分布。人口分布。3. 利用利用MATLAB的帮助系统获取的帮助系统获取pie和和pie3的命令使的命令使用方法和功能用方法和功能