理数课标版第六节离散型随机变量及其分布列1.随机变量的有关概念随机变量的有关概念(1)随机变量:随着试验结果不同而变化的变量,常用字母X,Y,表示.(2)离散型随机变量:所有取值可以一一列出的随机变量.教材研读教材研读2.离散型随机变量分布列的概念及性质离散型随机变量分布列的概念及性质(1)概念:若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,xi,xn,X取每一个值xi(i=1,2,n)的概率P(X=xi)=pi,以表格的形式表示如下:Xx1x2xixnPp1p2pipn此表称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列,有时也用等式P(X=xi)=pi,i=1,2,n表示X的分布列.(2)分布列的性质(i)pi0,i=1,2,3,n;(ii).3.常见的离散型随机变量的概率分布常见的离散型随机变量的概率分布(1)两点分布X01P1-pp若随机变量X的分布列具有上表的形式,就称X服从两点分布,并称p=P(X=1)为成功概率.(2)超几何分布在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则P(X=k)=,k=0,1,2,m,其中m=minM,n,且nN,MN,n,M,NN*.X01mP如果随机变量X的分布列具有上表的形式,则称随机变量X服从超几何分布.1.袋中有3个白球,5个黑球,从中任取2个,可以作为随机变量的是()A.至少取到1个白球B.至多取到1个白球C.取到白球的个数D.取到的球的个数答案答案C选项A、B是随机事件,选项D是确定的值,为2,并不随机;选项C是随机变量,可能取值为0,1,2.考点突破考点突破2.从标有110的10支竹签中任取2支,设所取2支竹签上的数字之和为X,那么随机变量X可 能 取 得 的 值 有()A.17个B.18个C.19个D.20个答案答案A从10支竹签中任取2支,竹签上的数字之和可以是319中的任意一个,共有17个.3.设随机变量Y的分布列为则“Y”的概率为()A. B. C.D.答案答案 C因为+m+=1,所以m=,所以P=P(2)+P(3)=.Y-123Pm4.随机变量X等可能取值1,2,3,n,如果P(X4)=0.3,则n=.答案答案10解析解析由题意知P(X4)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=+=0.3,故n=10.5.在含有3件次品的10件产品中任取4件,则取到次品数X的分布列为.答案答案P(X=k)=,k=0,1,2,3解析解析由题意知,X服从超几何分布,其中N=10,M=3,n=4,所以分布列为P(X=k)=,k=0,1,2,3.考点一离散型随机变量的分布列考点一离散型随机变量的分布列典例典例1一批产品共10件,其中7件正品,3件次品,每次从这批产品中任取一件,在下述三种情况下,分别求直至取得正品时所需次数X的分布列.(1)每次取出的产品不再放回;(2)每次取出的产品仍放回;(3)每次取出一件次品后,总是另取一件正品放回到这批产品中.考点突破考点突破解析解析(1)由于这批产品有7件正品,3件次品,所以,X的可能取值是1,2,3,4,取这些值的概率分别为P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=.所以X的分布列为X1234P(2)由于每次取出的产品仍放回,每次取时完全相同,所以X的可能取值是1,2,k,相应的取值概率为P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=k)=.所以X的分布列为X123kP(3)X的可能取值是1,2,3,4,其相应概率分别为P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=.所以X的分布列为X1234P规律总结规律总结(1)求解离散型随机变量X的分布列的步骤:理解X的意义,写出X可能取得的全部值;求X取每个值的概率;写出X的分布列.(2)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量取各值时对应的概率,在求解时,要注意应用计数原理、古典概型等知识.1-1设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m求=|X-1|的分布列.解析解析由分布列的性质,知0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,所以m=0.3.列表如下:X01234=|X-1|10123所以P(=1)=P(X=0)+P(X=2)=0.2+0.1=0.3,P(=0)=P(X=1)=0.1,P(=2)=P(X=3)=0.3,P(=3)=P(X=4)=0.3.因此=|X-1|的分布列为0123P0.10.30.30.31-2(2017沈阳四中期末)一个盒子里装有7张卡片,其中有红色卡片4张,编号分别为1,2,3,4;白色卡片3张,编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同).(1)求取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率;(2)在取出的4张卡片中,红色卡片编号的最大值设为X,求随机变量X的分布列.解析解析(1)设“取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片”为事件A,则P(A)=.所以取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=.所以随机变量X的分布列是X1234P考点二超几何分布考点二超几何分布典例典例2(2015天津,16改编)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A发生的概率;(2)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列.解析解析(1)由已知,得P(A)=,所以事件A发生的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(X=k)=(k=1,2,3,4).所以随机变量X的分布列为X1234P规律总结规律总结1.超几何分布描述的是不放回抽样问题,超几何分布的特征:(1)考察对象分两类;(2)已知各类对象中个体的个数;(3)从中抽取若干个个体,考察抽取到的某类个体个数X的概率分布.2.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其实质是古典概型.2-1某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).(1)求选出的3名同学来自互不相同的学院的概率;(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列.解析解析(1)设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件A,则P(A)=.所以选出的3名同学来自互不相同的学院的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=k)=(k=0,1,2,3).所以随机变量X的分布列是X0123P