本专题考察的知识点本专题考察的知识点1.1.等腰三角形的性质与应用等腰三角形的性质与应用2.2.等边三角形的性质与应用等边三角形的性质与应用3.3.含含3030直角三角形的性质直角三角形的性质4.4.分类讨论的思想方法在等腰三角形中的应用分类讨论的思想方法在等腰三角形中的应用1;.例例1. 1. 已知等腰三角形的一个角是已知等腰三角形的一个角是70,70,求其余两角求其余两角思路分析：已知等腰三角形的一个角是思路分析：已知等腰三角形的一个角是70,70,那么这个那么这个7070的角可能为等腰三角形的底角的角可能为等腰三角形的底角或为等腰三角形的顶角；由三角形内角和定理易求出其余两角或为等腰三角形的顶角；由三角形内角和定理易求出其余两角70、40或或55、55；2;.引申：引申： 已知等腰三角形的一个角是已知等腰三角形的一个角是110110，求其余两角，求其余两角答案答案:其余两角为其余两角为35、353;.归纳归纳：等腰三角形的顶角可以是锐角、直角和钝角；等腰三角形的顶角可以是锐角、直角和钝角； 底角只能是锐角所以，看到底角只能是锐角所以，看到等腰三角形中的一个角的度数时，要注意判断这个角可能是顶角还是底角，是否需要等腰三角形中的一个角的度数时，要注意判断这个角可能是顶角还是底角，是否需要分类讨论分类讨论 4;.例例2.2.如图：如图：ABC中，中，AB= =AC，BD平分平分ABC交交AC于于D，若，若BDC=120=120，求，求DBC的度的度数数. .思路分析：由思路分析：由BD平分平分ABC，易知，易知1=21=2， 则设则设1=2 =1=2 =x，由由AB= =AC可得可得C=1+2=2=1+2=2x, ,在在DBC中由三角形内角和定理可列出中由三角形内角和定理可列出x的方程，求出的方程，求出x5;.6;.例例3. 3. 在在ABC中，中，AB= =AC，点，点D在在AC上，且上，且BD= =BC= =AD. .求求A的度数的度数. .思路分析思路分析: : 由题设中的等边关系由题设中的等边关系( (AB= =AC，BD= =BC= =AD),),可以可以推出角的等量或倍数关系推出角的等量或倍数关系, ,在利用方程思想在利用方程思想, ,可求出图中各角可求出图中各角的度数的度数. .1 17;.解：设解：设1=1=x,BD= =BC= =AD , ,1=2,3=1=2,3=C, ,3 =3 =C=1+2=2=1+2=2x, ,AB=AC，ABC=C=2=2x, ,在在ABC中，中，A+ABC+C=180,=180,即即5 5x=180,=180,A= =x=36.=36.8;.例例4. 4. 证明：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等证明：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等. .提示：提示：本题为文字命题，解题时应分为以下本题为文字命题，解题时应分为以下三个步骤：三个步骤：（1 1）根据题意作图；）根据题意作图；（2 2）写出已知，）写出已知，（3 3）进行求证）进行求证9;.10;.11;.例例5.5.如图：在三角形如图：在三角形ABC中，中，AB= =AC, ,BDAC于于D，求证：，求证：DBC= = A思路分析：由等腰三角形思路分析：由等腰三角形“三线合一三线合一”可联想到作底边的可联想到作底边的高，可推出高，可推出1/21/2BAC=EAC, , 由由BDAC，AE为高可知为高可知EAC和和DBC都与都与C互余，推互余，推出出DBC=EAC=1/2=1/2BAC.E12;.E证明：过点证明：过点A作作AEBC于点于点E, ,又又AB= =AC, ,EAC =1/2 =1/2BAC, ,BDAC，AE为高可知为高可知, ,EAC和和DBC都与都与C互余互余, ,DBC=EAC=1/2=1/2A13;.课间休息十分钟课间休息十分钟14例例6.6.在在ABC中，中，AB= =AC，D是是CA延长线上一点延长线上一点, ,DFBC于于F，交交AB于于E，求证：，求证：AE= =AD. .思路分析：由等腰三角形思路分析：由等腰三角形“三线合一三线合一”可联想到作底边的高可联想到作底边的高AM，可推出，可推出1=2,1=2,由由DFAC，AMBC可知可知DFAM，从，从而而3=43=4，证出结论，证出结论M M1 13 34 42 215;.3412证明：过点证明：过点A作作AMBC于于M， AB= =AC, ,1=2,1=2,DFAC，AMBC, ,DFAM，3=13=1， 2=4 2=4 3=4 ,3=4 ,AD= =AE16;.例例7 7如图，如图，ABC是正三角形，是正三角形，D、E、F分别是分别是AB、BC、CA上的点，且上的点，且ADBECF，试说明，试说明DEF是等边三角形是等边三角形思路分析：利用等边三角形的性质可推出，边、角的思路分析：利用等边三角形的性质可推出，边、角的等量关系，从而易证三角形全等。进而说明等量关系，从而易证三角形全等。进而说明DEF是等是等边三角形边三角形17;.证明：证明：ABC是正三角形，是正三角形，AB=BC=CA,AB=BC=CA,A=B=C=60,=60,又又ADBECF，BD= =EC= =AF, ,ADFBEDCFE, ,DE= =EF= =DFDEF是等边三角形是等边三角形18;.例例8 8如图，如图，ABD、 AEC都是等边三角形，求证：都是等边三角形，求证： AFG是等边三角形是等边三角形思路分析：利用等边三角形的性质可推出，边、思路分析：利用等边三角形的性质可推出，边、角的等量关系，从而易证三角形全等，进而说角的等量关系，从而易证三角形全等，进而说明明AFG是等边三角形是等边三角形19;.证明：证明：ABD 和和AED是正三角形，是正三角形，AB= =AD, ,AC= =AE,BAD=CAE=60,=60, CAD=BAD+CAB=60+=60+CAB, , BAE=CAE+CAB=60+=60+CAB, , CAD=BAE, , ADCBAE, , ADF=GBA又又AD= =AB, ,FAG=180-=180-BAD-CAE=60, =60, FAG=DAF=60, =60, ADFBAG, , AF= =AG, ,又又FAG=60,=60,DEF是等边三角形是等边三角形20;.例例9. 9. 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形三角形提示：本题为文字命题，首先应根据题意作图；写出已知，求证提示：本题为文字命题，首先应根据题意作图；写出已知，求证21;.已知：已知：CAE为为ABC的外角，的外角，1=21=2， ADBC. .求证：求证：AB= =ACABCDE12思路分析：欲证思路分析：欲证AB= =AC 可可先证先证B=C, ,又又1=21=2，所以应设法寻求，所以应设法寻求B、C与与1 1、2 2的关系，又由的关系，又由 ADBC易得结论易得结论. .22;.证明：证明： ADBC，1=1=B（两直线平行，（两直线平行， 同位同位角相等），角相等）， 2=2=C（两直线平行，（两直线平行， 内错角内错角相等）相等）1=21=2，B=C，AB= =AC（等边对等角）（等边对等角）ABCDE1223;.例例1010已知：已知：ABC中，中，ABC=3=3C, 1=2, 1=2,BEAE. .求证：求证：AC- -AB=2=2BE. .思路分析：延长思路分析：延长BE与与AC交于点交于点F, ,构造全等三角形构造全等三角形ABEAFE, ,则则2 2BE= =BF, ,AC- -AB= =CF, ,我们只要判定我们只要判定FBC为等腰三角形即可为等腰三角形即可F24;.证明：延长证明：延长BE与与AC交于点交于点F, , BEAE. .AEB=AEF=90=90 , , 1=2,1=2,AE= =AE, ,ABEAFE, ,22BE= =BF, ,AB= =AF, ,AC- -AB= =AC- -AF= =FC, , ABF=AFB=FBC+CABC=3=3C, ,ABF+FBC=3=3C, , F FBC+C+FBC=3=3C, , FBC=C, ,BF= =FC, ,AC- -AB=2=2BE. .25;.