21、二次函数的一般形式是怎样的？二次函数的一般形式是怎样的？y=ax+bx+c2.2.下列下列函数中函数中,哪些是二次函数？哪些是二次函数？(a,b,c是常数是常数,a 0) （一）研究（一）研究y=ax2图象的画法图象的画法列表列表描点描点连线连线 描点法描点法3.如何画出反比例函数的图像？经过那些步骤？如何画出反比例函数的图像？经过那些步骤？你会用描点法画二次函数y=y=x2 2的图象吗的图象吗? ?观察观察y=y=x2 2的表达式的表达式, ,选择适当选择适当x值值, ,并计算并计算相应的相应的y y值值, ,完成下表：完成下表：x-3-3-2-2-1-10 01 12 2 3 3y=y=x2 29 94 41 11 10 04 49 91、列表、列表xy0 0-4-3-2-11234108642-2描点描点y= =x2 2?连线连线二次函数二次函数y=x2的图象的图象形如物体抛形如物体抛射时所经过射时所经过的路线的路线,我我们把它叫做们把它叫做抛物线抛物线这条抛物线关于这条抛物线关于y轴对称轴对称,y轴就轴就 是它的对称轴是它的对称轴. 对称轴与抛物对称轴与抛物线的交点叫做线的交点叫做抛物线的顶点抛物线的顶点.画画y=2y=2x2 2的图象的图象 做一做做一做xy=-x x2 2x-3-2-10123y=-x x2 2x 28 82 20 02 28 8在学中做在做中学列表：列表：xy0 0-4-3-2-11234108642-2描点描点y=2=2x2 2?连线连线 做一做做一做xy=-x x2 2x-3-2-10123y=-x x2 2x 在学中做在做中学列表：列表：xy0 0-4-3-2-11234108642-2描点描点?连线连线xy0 0-4-3-2-11234108642-2y= =x2 2?y=2=2x2 2当当x0 (在对称轴的在对称轴的右侧右侧)时时, y随着随着x的增大而的增大而增大增大. 当当x=-2时，时，y=4当当x=-1时，时，y=1当当x=1时，时，y=1当当x=2时，时，y=4抛物线抛物线y=x2在在x轴的轴的上方上方(除顶点外除顶点外),顶点顶点是它的最低点是它的最低点,开口开口向上向上,并且向上无限并且向上无限伸展伸展;当当x=0时时,函数函数y的值最小的值最小,最小值是最小值是0.在在横轴的上方，开口向上，横轴的上方，开口向上，(-2,4)(-1,1)(2,4)(1,1)当当x0时，函数值时，函数值y随随x的增大而增大。的增大而增大。当当x=0是是,函数函数 y=ax2 取得最小值，最小值取得最小值，最小值y=0。 议一议议一议(2)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?(4)当x0呢？(3)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么? 你是如何知道的？观察图象,回答问题：xyO(1)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点？(1)(1)二次函数二次函数y=-y=-x2 2的图象是什么形状？的图象是什么形状？ 做一做做一做(2)(2)先想一想，然后作出它的图象先想一想，然后作出它的图象xy=-x x2 2x-3-2-10123y=-x x2 2x -9-9-4-4-1-10 0-1-1-4-4-9-9在学中做在做中学列表：列表：做一做做一做xy0 0-4-3-2-11234-10-8-6-4-22-1描点描点, ,连线连线y=-=-x2 2?说说说说-2函数的性质函数的性质做一做做一做xy0 0-4-3-2-11234-10-8-6-4-22-1描点描点, ,连线连线y=-2=-2x2 2?-22做一做做一做xy0 0-4-3-2-11234-10-8-6-4-22-1描点描点, ,连线连线?xy0 0-4-3-2-11234-10-8-6-4-22-1y y=-=-x x2 2?y=-2=-2x2 2当当x0 (在对称轴在对称轴的右侧的右侧)时时, y随着随着x的增大而减小的增大而减小. y 当当x= -2时时,y= -4 当当x= -1时时,y= -1当当x=1时时,y= -1当当x= 2时时,y= -4抛物线抛物线y= -x2在在x轴的轴的下方下方(除顶点外除顶点外),顶点顶点是它的最高点是它的最高点,开口开口向下向下,并且向下无限并且向下无限伸展伸展;当当x=0时时,函数函数y的值最大的值最大,最大值是最大值是0.(-2,-4)(-1,-1)(2,-4)(1,-1)在横轴的下方，开口向下，在横轴的下方，开口向下，当当x0时，函数值时，函数值y随随x的增大而减小。的增大而减小。当当x=0是是,函数函数 y=ax2 取得最大值，最大值取得最大值，最大值y=0。xy0 0-3 -2 -112 3 4642y= =x2 2xy0 0-3 -2-11234-8-6-4-2y y=-=-x2 2二次函数y=ax2的性质1.抛物线抛物线y=ax2的顶点是的顶点是原点原点,对称轴是对称轴是y轴轴. 2.当当a0时，抛物线时，抛物线y=ax2的开口的开口向上向上； 当当a0a0a0a0图象图象二次函数y=ax2的性质位置位置开口开口方向方向对称性对称性顶点顶点最值最值增减性增减性开口向上在开口向上在x x轴上方轴上方开口向下在开口向下在x x轴下方轴下方a a的绝对值越大，开口越小的绝对值越大，开口越小关于关于y y轴对称，对称轴方程是直线轴对称，对称轴方程是直线x x0 0顶点坐标是原点（顶点坐标是原点（0 0，0 0）当当x=0x=0时，时，y y最小值最小值=0=0当当x=0x=0时，时，y y最大值最大值=0=0在对称轴左侧递减在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减在对称轴右侧递减1 1、函数、函数y=2xy=2x2 2的图象的开口的图象的开口 , ,对称轴对称轴 , ,顶点是顶点是 ; ; 在对称轴的左侧，在对称轴的左侧，y y随随x x的增的增大而大而 , ,在对称轴的右侧在对称轴的右侧, y, y随随x x的增大而的增大而 . . 2 2、函数、函数y=y=3x3x2 2的图象的开口的图象的开口 , ,对称轴对称轴 , ,顶点是顶点是 ; ;在对称轴的左侧在对称轴的左侧, y, y随随x x的增大的增大而而 , ,在对称轴的右侧在对称轴的右侧, y, y随随x x的增大而的增大而 . .3 3、观察函数、观察函数y=xy=x2 2的图象的图象, ,则下列判断中正确的是则下列判断中正确的是( ( ) )(A) (A) 若若a,ba,b互为相反数互为相反数, ,则则x=ax=a与与x=b x=b 的函数值相等的函数值相等; ;(B) (B) 对于同一个自变量对于同一个自变量x,x,有两个函数有两个函数 值与它对应值与它对应. .(C) (C) 对任一个实数对任一个实数y,y,有两个有两个x x和它对应和它对应. .(D) (D) 对任意实数对任意实数x,x,都有都有y y0.0.xyoA向上向上向下向下y轴轴y轴轴(0,0)(0,0)减小减小减小减小增大增大增大增大做一做做一做(1)抛物线抛物线y=2x2的顶点坐标是的顶点坐标是 ,对称轴是对称轴是 , 在对称轴在对称轴 侧侧,y随着随着x的增大而增大；在对称轴的增大而增大；在对称轴 侧侧, y随着随着x的增大而减小的增大而减小,当当x= 时时,函数函数y的值最小的值最小,最小最小 值是值是 ,抛物线抛物线y=2x2在在x轴的轴的 方方(除顶点外除顶点外).(2)抛物线抛物线 在在x轴的轴的 方方(除顶点外除顶点外),在对在对称轴的左侧称轴的左侧,y随着随着x的的 ；在对称轴的右侧；在对称轴的右侧,y随着随着x的的 ,当当x=0时时,函数函数y的值最大的值最大,最大值是最大值是 ,当当x 0时时,y0. 例例1、已知二次函数、已知二次函数y=ax2(a0)的图像的图像经过点经过点(-2,-3).(1)求求a的值，并写出这个二次函数的解析式的值，并写出这个二次函数的解析式.(2)说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴、说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴、开口方向和图像的位置开口方向和图像的位置.驶向胜利的彼岸练习二、若抛物线练习二、若抛物线y=ax2 （a 0），），过点过点（-1，3）。）。 （1）则）则a的值是的值是 ； （2）对称轴是）对称轴是 ，开口，开口 。（3）顶点坐标是）顶点坐标是 ，顶点是抛物线上的，顶点是抛物线上的 。 抛物线在抛物线在x轴的轴的 方（除顶点外）。方（除顶点外）。驶向胜利的彼岸练习一、已知抛物线练习一、已知抛物线y=ax2经过点经过点A（-2，-8）。）。 （1）求此抛物线的函数解析式；求此抛物线的函数解析式； （2）判断点）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上。是否在此抛物线上。 （3）求出此抛物线上纵坐标为）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。的点的坐标。解（解（1）把（）把（-2，-8）代入）代入y=ax2,得得 -8=a(-2)2,解出解出a= -2, 所求函数解析式为所求函数解析式为 y= -2x2.（2）因为）因为 ，所以点，所以点B（-1 ，-4）不在此抛物线上。不在此抛物线上。（3）由）由-6=-2x2 ,得得x2=3, 所以纵坐标为所以纵坐标为-6的点有两个，的点有两个，它们分别是它们分别是 y=-2x22、函数、函数yax2和函数和函数yaxa的图象在的图象在同一坐标系中大致是图中（同一坐标系中大致是图中（ ）2例例3 3、函数函数y=axy=ax2 2(a0)(a0)与与直线直线y=2xy=2x3 3交于点交于点(1,b).(1,b).求求: (1)a: (1)a与与b b的值的值; ; (2)(2)求求抛物线抛物线y=axy=ax2 2的的解析式解析式, ,并求顶点坐标和对称轴并求顶点坐标和对称轴; ; (3)x(3)x取何取何值时值时, ,二次函数二次函数y=axy=ax2 2的的 y y随随x x增大而增大增大而增大? ? (4)(4)求求抛物线与直线抛物线与直线y=y=2 2的两交点与顶点构成的三角的两交点与顶点构成的三角形的面积形的面积. .ABOxyy=y=2 2答案答案: :(1) a=b=(1) a=b=1 1(2) (2) 抛物线解析式为抛物线解析式为y=y=x x2 2, , 顶点坐标为顶点坐标为(0,0),(0,0),对对称轴为称轴为y y轴轴( (即直线即直线x=0)x=0)(3) (3) 当当x0x0x0时时,y,y随随x x的增大而减小的增大而减小. .(4) S(4) SABOABO =2 =22 2