向向 量量 代代 数数与与 空空 间间 解解 析析 几几 何何 习题课习题课2021/3/112021/3/111 1一、主要内容一、主要内容（一）向量代数（一）向量代数（二）空间解析几何（二）空间解析几何2021/3/112021/3/112 2向量的向量的线性运算线性运算向量的向量的表示法表示法向量积向量积数量积数量积混合积混合积向量的积向量的积向量概念向量概念（一）向量代数（一）向量代数2021/3/112021/3/113 31 1、向量的概念、向量的概念向量的模、向量的模、单位向量、单位向量、零向量、零向量、自由向量、自由向量、 相等向量、相等向量、 负向量、负向量、平行向量、平行向量、 向径向径.2 2、向量的线性运算、向量的线性运算加、减、数乘加、减、数乘3 3、向量的表示法、向量的表示法向量的分解式：向量的分解式：在三个坐标轴上的分向量：在三个坐标轴上的分向量：2021/3/112021/3/114 4向量的坐标表示式：向量的坐标表示式：向量的坐标：向量的坐标：模、方向余弦的坐标表示式模、方向余弦的坐标表示式4 4、数量积、向量积、混合积、数量积、向量积、混合积各种积的坐标表达式各种积的坐标表达式两向量平行、垂直的条件两向量平行、垂直的条件2021/3/112021/3/115 5直直 线线曲面曲面曲线曲线平平 面面参数方程参数方程旋转曲面旋转曲面柱柱 面面二次曲面二次曲面一般方程一般方程参数方程参数方程一般方程一般方程对称式方程对称式方程 点法式方程点法式方程一般方程一般方程空间直角坐标系空间直角坐标系（二）空间解析几何（二）空间解析几何2021/3/112021/3/116 61 1、空间直角坐标系、空间直角坐标系2 2、曲面、曲面旋转曲面、旋转曲面、 柱面、柱面、 二次曲面二次曲面3 3、空间曲线、空间曲线4 4、平面、平面5 5、空间直线、空间直线线面关系、线线关系、夹角、点到线面的距离线面关系、线线关系、夹角、点到线面的距离两直线共面的条件两直线共面的条件2021/3/112021/3/117 7共面共面6 6、平面束、平面束2021/3/112021/3/118 8二、典型例题二、典型例题例例1 1解解由题设条件得由题设条件得解得解得2021/3/112021/3/119 9例例2设设的三边的三边三边中点分别为三边中点分别为 D、E、F 试用试用表示表示并证明并证明证证ABCDEF2021/3/112021/3/111010例例3已知已知证明证明证证ADCB2021/3/112021/3/111111而而因因2021/3/112021/3/111212令令得唯一驻点得唯一驻点而而时时面积最大面积最大例例4设设求求解解由题设知由题设知2021/3/112021/3/111313两式相减得两式相减得代入前式有代入前式有故故2021/3/112021/3/111414例例5已知向量已知向量求与求与同时垂直，且在同时垂直，且在上投影为上投影为 1的向量的向量解解由于由于同时垂直于同时垂直于而而故可设故可设2021/3/112021/3/111515而而故故故，所求向量为故，所求向量为2021/3/112021/3/111616例例6 6解解过已知直线的平面束方程为过已知直线的平面束方程为2021/3/112021/3/111717由题设知由题设知由此解得由此解得代回平面束方程为代回平面束方程为2021/3/112021/3/111818例例7 7解解将两已知直线方程化为参数方程为将两已知直线方程化为参数方程为2021/3/112021/3/111919即有即有2021/3/112021/3/1120202021/3/112021/3/112121例例8求过点求过点且平行于平面且平行于平面又与直线又与直线相交的直线方程相交的直线方程解解设所求直线的方向数为设所求直线的方向数为则直线方程为则直线方程为化成参数方程，有化成参数方程，有2021/3/112021/3/112222代入已知直线方程，得代入已知直线方程，得又所求直线与已知平面平行又所求直线与已知平面平行（两边同乘以（两边同乘以 ）解得解得直线方程为直线方程为2021/3/112021/3/112323例例9 9解解2021/3/112021/3/112424所求投影直线方程为所求投影直线方程为2021/3/112021/3/112525例例10 求直线求直线在三个坐标面及平面在三个坐标面及平面上的投影上的投影解解分别令参数方程中的分别令参数方程中的 x , y , z 为为 0 即可得即可得直线在三个坐标面上的投影方程直线在三个坐标面上的投影方程过直线作一平面与已知平面垂直过直线作一平面与已知平面垂直直线的方向向量直线的方向向量已知平面的法向量已知平面的法向量2021/3/112021/3/112626即为所求平面的法向量即为所求平面的法向量又点又点在所求平面上在所求平面上 故所求平面的方程为故所求平面的方程为即即已知直线在所给平面上的投影直线的方程为已知直线在所给平面上的投影直线的方程为2021/3/112021/3/112727例例1111解解由于高度不变由于高度不变,2021/3/112021/3/112828故所求旋转曲面方程为故所求旋转曲面方程为2021/3/112021/3/112929例例12 求点求点到直线到直线的距离的距离 解一解一如图所示如图所示所求点到直线的距离所求点到直线的距离等于平行四边形的高等于平行四边形的高由向量积的几何意义得由向量积的几何意义得2021/3/112021/3/113030解二解二过过M作一平面作一平面则平面的方程为则平面的方程为2021/3/112021/3/113131再求直线和平面的交点再求直线和平面的交点直线的参数方程为直线的参数方程为代入平面方程，有代入平面方程，有2021/3/112021/3/113232交点坐标交点坐标点到直线的距离为点到直线的距离为例例13设设和和为异面直线为异面直线求它们之间的距离求它们之间的距离 2021/3/112021/3/113333解一解一所谓异面直线间的距离，即公垂线上两垂足所谓异面直线间的距离，即公垂线上两垂足之间的距离。之间的距离。由于公垂线与由于公垂线与都垂直都垂直故其方向向量为故其方向向量为过过 作平行于作平行于的平面的平面则则 到平面到平面的距离就是所求的的距离就是所求的异面直线间的距离异面直线间的距离2021/3/112021/3/113434由于由于 为为 的法向量的法向量的方程为的方程为公垂线长等于以公垂线长等于以 为棱的平行六面为棱的平行六面体的高体的高2021/3/112021/3/113535记记记记则则 到到 的距离的距离2021/3/112021/3/113636解二解二设两垂足的坐标分别为设两垂足的坐标分别为2021/3/112021/3/113737解出解出求得垂足，得求得垂足，得公垂线方程和公垂线长公垂线方程和公垂线长 异面直线间的距离异面直线间的距离2021/3/112021/3/113838例例14过点过点 作一直线，使和作一直线，使和 z 轴相交，且轴相交，且和直线和直线 垂直，求其方程垂直，求其方程分析分析求直线方程，或者求出直线所在的平面求直线方程，或者求出直线所在的平面得交面式方程，或者求出直线上一点及得交面式方程，或者求出直线上一点及方向向量得点向式方程，或者求出直线方向向量得点向式方程，或者求出直线上的两点得两点式方程上的两点得两点式方程解一解一用交面式用交面式直线直线 过点过点 B 且与且与 L 垂直垂直故直线故直线 在过在过 B 且与且与 L 垂直的平面垂直的平面 内内2021/3/112021/3/113939oxyzB即即2021/3/112021/3/114040又又 过过B且与且与z 轴相交轴相交故故 在由在由B 及及z 轴所组成的平面轴所组成的平面 内内即即所求直线方程为所求直线方程为2021/3/112021/3/114141解二解二用点向式用点向式已知已知 过过B，故只须求出其方向向量故只须求出其方向向量 而而故故又又 过过 B 且与且与z 轴相交，轴相交，即即 在由在由B及及z 轴所组成的平面内轴所组成的平面内亦即亦即 共面共面2021/3/112021/3/114242所求直线方程为所求直线方程为解三解三用两点式用两点式已知已知 过过B，故只须求出第二个点，故只须求出第二个点又又 与轴相交，可设法求出这个交点与轴相交，可设法求出这个交点2021/3/112021/3/114343过过B作平面作平面 ，使，使 得得即即求出求出 z 轴与轴与 的交点的交点将将 代入，有代入，有交点为交点为而而 在在 上又和上又和 z 轴相交，轴相交，现现 与与 z 轴只有唯一的交点轴只有唯一的交点oxyzB2021/3/112021/3/114444故故 即为即为 与与 z 轴的交点轴的交点即即2021/3/112021/3/114545