一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系 第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算二、向量的概念二、向量的概念三、三、向量的加减法向量的加减法四、向量与数的乘法四、向量与数的乘法五、五、 向量在轴上的投影与投影定理向量在轴上的投影与投影定理六、六、 向量的模与方向余弦的坐标表示向量的模与方向余弦的坐标表示式式横轴横轴纵轴纵轴竖轴竖轴定点定点空间直角坐标系空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向三个坐标轴的正方向符合符合右手系右手系.一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系1、空间点的直角坐标、空间点的直角坐标面面面面面面空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限空间的点空间的点有序数组有序数组特殊点的表示特殊点的表示:坐标轴上的点坐标轴上的点坐标面上的点坐标面上的点2、空间两点间的距离、空间两点间的距离空间两点间距离公式空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为特殊地：若两点分别为解解原结论成立原结论成立.解解设设P点坐标为点坐标为所求点为所求点为向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量表示：向量表示：模长为模长为1 1的向量的向量. .零向量：零向量：模长为模长为0 0的向量的向量. .| |向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. .单位向量：单位向量：二、向量的概念二、向量的概念或或或或或或自由向量：自由向量：不考虑起点位置的向量不考虑起点位置的向量. .相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. .负向量：负向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. .向径：向径：空间直角坐标系中任一点空间直角坐标系中任一点 与原点与原点构成的向量构成的向量. . 1 加法：加法：（平行四边形法则）平行四边形法则）特殊地：若特殊地：若 分为同向和反向分为同向和反向（平行四边形法则有时也称为三角形法则）（平行四边形法则有时也称为三角形法则）三、向量的加减法三、向量的加减法向量的加法符合下列运算规律：向量的加法符合下列运算规律：（1 1）交换律：）交换律：（2 2）结合律：）结合律：（3）2 减减法法四、向量与数的乘法四、向量与数的乘法数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：（1 1）结合律：）结合律：（2 2）分配律：）分配律：两个向量的平行关系两个向量的平行关系证证充分性显然；充分性显然；必要性必要性两式相减，得两式相减，得按照向量与数的乘积的规定，按照向量与数的乘积的规定，上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量一个与原向量同方向的单位向量.例例1 1 化简化简解解例例2 2 试用向量方法证明：对角线互相平分的试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形四边形必是平行四边形.证证与与 平行且相等平行且相等, 结论得证结论得证. 向向量量在在 轴轴上上的的投投影影 向向量量在在 轴轴上上的的投投影影 向向量量在在 轴轴上上的的投投影影按基本单位向量的按基本单位向量的坐标分解式坐标分解式：在三个坐标轴上的在三个坐标轴上的分向量分向量：向量的向量的坐标坐标：向量的向量的坐标表达式坐标表达式：特殊地：特殊地：向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式解解设设为直线上的点，为直线上的点，由题意知：由题意知：向量在轴上的投影与投影定理向量在轴上的投影与投影定理空间两向量的夹角的概念：空间两向量的夹角的概念：类似地，可定义类似地，可定义向量与一轴向量与一轴或或空间两轴空间两轴的夹角的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在它们的夹角可在0与与 之间任意取值之间任意取值.空间一点在轴上的投影空间一点在轴上的投影空间一向量在轴上的投影空间一向量在轴上的投影关于向量的关于向量的投影定理（投影定理（1 1）证证定理定理1 1的说明：的说明：投影为正；投影为正；投影为负；投影为负；投影为零；投影为零；(4) 相等向量在同一轴上投影相等；相等向量在同一轴上投影相等；关于向量的关于向量的投影定理（投影定理（2 2）（可推广到有限多个）（可推广到有限多个）非零向量非零向量 的的方向角方向角：非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角. .向量的模与方向余弦的坐标表示式向量的模与方向余弦的坐标表示式由图分析可知由图分析可知向向量量的的方方向向余余弦弦方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向. .向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式当当 时，时，向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式方向余弦的特征方向余弦的特征特殊地：单位向量的方向余弦为特殊地：单位向量的方向余弦为解解所求向量有两个，一个与所求向量有两个，一个与 同向，一个反向同向，一个反向或或解解解解空间直角坐标系空间直角坐标系 空间两点间距离公式空间两点间距离公式（注意它与平面直角坐标系的（注意它与平面直角坐标系的区别区别）（轴、面、卦限）（轴、面、卦限）六、小结六、小结向量的概念向量的概念向量的加减法向量的加减法向量与数的乘法向量与数的乘法（注意与标量的区别）注意与标量的区别）（平行四边形法则）平行四边形法则）（注意数乘后的方向）注意数乘后的方向）向量的坐标表示向量的坐标表示 1 1、下列各点所在象限分别是：、下列各点所在象限分别是：一、填空题一、填空题练习题练习题练习题答案练习题答案练练 习习 题题练习题答案练习题答案