新 编 地 图 学 教 程第 2 章 地图的数学基础3 3 地地 图图 投投 影影 3.1 地图投影的意义 地球椭球体表面是不可展曲面，要将曲面上的客观事物表示在有限的平面图纸上，必须经过由曲面到平面的转换。 地图投影： 在地球椭球面和平面之间建立点与点之间函数关系的数学方法，称为地图投影。 x = f1(j , l ) y = f2(j , l )F地图投影的实质： 是将地球椭球面上的经纬线网按照一定的数学法则转移到平面上。地图投影是在几何投影的基础上发展起来的平面球面F（，） f（x,y） 地图投影的实质地图投影的实质 地图投影数学上的投影面1面2几何学透视原理承影面灯源物体（投）影 物体的形状、灯源的位置、以及承影面的形状都将影响投影的结果。F从不规则的地球表面到制成地图，要经过两个过程。首先将地球自然表面上的点沿垂直方向投影到地球椭球面上，然后再将投影到椭球面上的点运用数学方法投影到某种可展面上。F由球面到平面，必然会产生变形，在实际制图中，要根据不同要求和各种投影的特点选择合适的投影，减小投影变形。3.2 地图投影变形1. 投影变形的概念 把地图上和地球仪上的经纬线网进行比较，可以发现变形表现在长度、面积和角度三个方面。 取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的影响，把它当作平面看待），它投影到平面上通常影响，把它当作平面看待），它投影到平面上通常会变为椭圆，通过对这个椭圆的研究，分析地图投会变为椭圆，通过对这个椭圆的研究，分析地图投影的变形状况。这种图解方法就叫影的变形状况。这种图解方法就叫变形椭圆变形椭圆。 长度比长度比和长度变形长度变形： 投影面上一微小线段（变形椭圆半径）和球面上相应微小线段（球面上微小圆半径，已按规定的比例缩小）之比。 m表示长度比长度比，Vm表示长度变形长度变形 长度比是变量，随位置和方向的变化而变化。= 0 不变 0 变大 0 变小例题下列有关投影变形的叙述正确的是：（ ） A.只有等距投影，长度才不变形 B.面积不变形，则长度也不变形 C.角度不变形，则长度也不变形 D.对某一地图投影来讲，不存在这种变形，则必然存在另外一种或两种变形3.3 地图投影分类1. 按地图投影的构成方法分类 （1）几何投影几何投影: 将椭球面上的经纬线网投影到几何面上，然后将几何面展为平面。 方位投影: 以平面作投影面，使平面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到平面上而成。 圆柱投影: 以圆柱面作投影面，使圆柱面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆柱面展为平面而成。 圆锥投影: 以圆锥面作投影面，使圆锥面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥面展为平面而成。 （2）非几何投影非几何投影： 根据某些条件，用数学解析法确定球面与平面之间点与点的函数关系。伪方位投影：在方位投影的基础上，根据某些条件改变经线形状而成，除中央经线为直线外，其余均投影为对称中央经线的曲线。伪圆柱投影：在圆柱投影基础上，根据某些条件改变经线形状而成，无等角投影。除中央经线为直线外，其余均投影为对称中央经线的曲线。伪圆锥投影：在圆锥投影基础上，根据某些条件改变经线形状而成，无等角投影。除中央经线为直线外，其余均投影为对称中央经线的曲线。多圆锥投影：设想有更多的圆锥面与球面相切，投影后沿一母线剪开展平。纬线投影为同轴圆弧，其圆心都在中央经线的延长线上。中央经线为直线，其余经线投影为对称于中央经线的曲线。正轴切圆锥投影 正轴割圆锥投影横轴切圆锥投影 横轴割圆锥投影横轴切圆柱投影 横方位投影正轴割圆柱投影 斜轴切圆柱投影斜轴切圆锥投影 正轴切圆柱投影正方位投影 斜方位投影2. 按地图投影的变形性质分类 等角投影等角投影: 投影面上某点的任意两方向线夹角与椭球面上相应两线段夹角相等，即角度变形为零 =0（或 a=b，m=n）面积变形最大。 等积投影等积投影: 投影面与椭球面上相应区域的面积相等，即面积变形为零 Vp=0（或 P=1，a=1/b）角度变形最大。 任意投影任意投影: 投影图上，长度、面积和角度都有变形，它既不等角又不等积。其中，等距投影是在特定方向上没有长度变形的任意投影（m=1）。例题：1 地图上某点的最大长度比为2，最小长度比为，则该投影为：（ ） A.等距投影 B.等角投影 C.等积投影 D.任意投影2 用变形椭圆解释保持等角的条件是球面上任意微分圆投影到平面上之后是正圆，而保持等积的条件是变形椭圆的最大长度比和最小长度比互为 。3 若由赤道向两极变形椭圆的形状变化为短半径不变，长半径逐渐增大，则该投影的变形性质为：（ ） A.等积投影 B.等角投影 C.任意投影 D.方位投影投影举例之方位投影：1、正轴方位投影经纬线形状：经纬线形状：特点：特点：投影中心为极投影中心为极点，纬线为同心圆，点，纬线为同心圆，经线为同心圆的半径，经线为同心圆的半径，两条经线间的夹角与两条经线间的夹角与实地相等。等变形线实地相等。等变形线都是以投影中心为圆都是以投影中心为圆心的同心圆。心的同心圆。 包括等包括等角、等积、等距三种角、等积、等距三种变形性质，主要用于变形性质，主要用于制作两极地区图。制作两极地区图。适合制作：适合制作：两极地区两极地区图图2、横轴方位投影特点：特点：平面与球面相平面与球面相切，其切点位于赤道切，其切点位于赤道上的任意点。特点：上的任意点。特点：通过投影中心的中央通过投影中心的中央经线和赤道投影为直经线和赤道投影为直线，其他经纬线投影线，其他经纬线投影后都是对称于中央经后都是对称于中央经线和赤道的曲线。线和赤道的曲线。适合制作：适合制作： 赤道附近赤道附近圆形区域地图圆形区域地图经纬线形状：经纬线形状：3、斜轴方位投影特点：特点：投影面切于两投影面切于两极和赤道间的任意一极和赤道间的任意一点上。在这种投影中，点上。在这种投影中，中央经线投影为直线，中央经线投影为直线，其他经线投影为对称其他经线投影为对称于中央经线的曲线，于中央经线的曲线，纬线投影为曲线。纬线投影为曲线。 适合制作：适合制作：中纬度地中纬度地区圆形区域地图区圆形区域地图经纬线形状：经纬线形状：投影举例之圆柱投影投影举例之圆柱投影几何概念：几何概念：以圆柱面作为投影面，按某种投影条以圆柱面作为投影面，按某种投影条件，将地球椭球面上的经纬线投影于圆柱面上，件，将地球椭球面上的经纬线投影于圆柱面上，并沿圆柱的母线切开成平面的一种投影。并沿圆柱的母线切开成平面的一种投影。正轴圆柱投影正轴圆柱投影横轴圆柱投影横轴圆柱投影斜轴圆柱投影斜轴圆柱投影正轴圆柱投影定义：正轴圆柱投影定义：纬线投影为一组平行直线，经线纬线投影为一组平行直线，经线投影为与纬线正交的另一组平行直线，两经线间的间投影为与纬线正交的另一组平行直线，两经线间的间隔与相应的经度差成正比。隔与相应的经度差成正比。1、等角正圆柱投影（墨卡托投影）特性：特性：地球面上的等角航线投影为直线。地球面上的等角航线投影为直线。等角航线在地球面上是一条以极点为渐近点的螺旋曲线。等角航线在地球面上是一条以极点为渐近点的螺旋曲线。等角正圆柱投影（墨卡托投影）F在墨卡托投影中，面积变形最大。在纬度60度地区，经线和纬线比都扩大了2倍，面积比P=m*n=2*2=4，扩大了4倍，愈接近两极，经纬线扩大的越多。F在墨卡托投影上等角航线表现为直线（在球心投影上大圆航线表现为直线。等角航线就是指地球表面上与经线交角都相同的曲线，等角航线在墨卡托投影图上表现为直线，这一点对于航海航空具有重要意义。因为有这个特征，航行时，在墨卡托投影图上只要将出发地和目的地连一直线，用量角器测出直线与经线的夹角，船船上的航海罗盘按照这个角度指示船只航行，就能达到目的地。墨卡托投影特点本节思考1 地图投影变形表现在哪几个方面？为什么说长度变形是主要变形？ 2 何谓变形椭圆？研究变形椭圆有何意义？ 答案：答案： 地图投影变形表现在三个方面：长度变形、面积变形和角度变形。长度变形是最主要变形，因为长度变形制约着面积和角度变形。答案：答案：取地面上一个微分圆，将它投影后常常变为椭圆，通常研究其在投影平面上的变化，作为地图投影变形的几何解释，这样的椭圆称为变形椭圆。利用变形椭圆的图解及理论能更为科学和准确地阐述地图投影 变形的概念、变形的性质及变形大小。 复习F高斯克吕格投影FUTM投影