4.7破坏准则破坏准则4.7.1破坏包络面的形状及其表达破坏包络面的形状及其表达 在主应力空间坐标系（在主应力空间坐标系（1, 2, 3）中，）中， 将试验中获得的混凝土将试验中获得的混凝土多轴强度（多轴强度（f1， f2， f3）的数据，逐个地标在主应力坐标空间，相）的数据，逐个地标在主应力坐标空间，相邻各点以光滑曲面相连，可得混凝土的破坏包络曲面。邻各点以光滑曲面相连，可得混凝土的破坏包络曲面。破坏包络曲面与坐标平面的交线，即混凝土的二轴破坏包络线。破坏包络曲面与坐标平面的交线，即混凝土的二轴破坏包络线。1-fc2-fc1122ftftfttfcc坐标轴的顺序按右手螺旋法则规定-1-3-2312+(1, 2)-(1, 2) 在主应力空间中，在主应力空间中，与各坐标轴保持等距的各点连结成为静水与各坐标轴保持等距的各点连结成为静水压力轴（即各点应力状态均满足：压力轴（即各点应力状态均满足：1=2=3）。）。 此轴必通过坐标原点，且与各坐标轴的夹角相等，此轴必通过坐标原点，且与各坐标轴的夹角相等，均为均为 静水压力轴上一点与坐静水压力轴上一点与坐标原点的距离称为标原点的距离称为静水压静水压力（力（）；）； 其值为其值为3个主应力在静水个主应力在静水压力轴上的投影之和，故：压力轴上的投影之和，故：-1-3-2312+(1, 2)-(1, 2)静水压力轴静水压力轴垂直于静水压力轴的平面为偏平面。垂直于静水压力轴的平面为偏平面。3个主应力轴在偏平面上的投影各成个主应力轴在偏平面上的投影各成120o角。角。同一偏平面上的每一点的同一偏平面上的每一点的3个主个主应力之和为一常数：应力之和为一常数：I1为应力张量为应力张量ij的第一不变量的第一不变量偏平面与破坏包络曲面的交线成为偏平面包络线。偏平面与破坏包络曲面的交线成为偏平面包络线。不同静水压力下的偏平面不同静水压力下的偏平面包络线构成一族封闭曲线。包络线构成一族封闭曲线。 偏偏平平面面包包络络线线为为三三折折对对称称，有有夹夹角角60o范范围围内内的的曲曲线线段段，和和直直线线段段一一起起共共同同构构成成全全包包络络线线。取取主主应应力力轴轴正正方方向向处处为为=0o，负负方方向处为向处为=60o ，其余各处为，其余各处为0o60o。 在在偏偏平平面面上上，包包络络线线上上一一点点至至静静水水压压力力轴轴的的距距离离称称为为偏偏应应力力 r。偏偏应应力力在在=0o处处最最小小(rt），随随角角逐逐渐渐增增大大，至至=60o处处为为最最大大(rc），故），故rt rc 。 一一些些特特殊殊应应力力状状态态的的混混凝凝土土强强度度点点，在在破破坏坏包包络络面面上上占占有有特特定定的的位位置置。从从工工程程观观点点，混混凝凝土土沿沿各各个个方方向向的的力力学学性性能能可可看看作作相相同同，即即立立方方体体试试件件的的多多轴轴强强度度只只取取决决于于应应力力比比例例 1：2：3，而而与与各各应应力力的作用方向的作用方向X、Y、Z无关。例如：无关。例如： 混混凝凝土土的的单单轴轴抗抗压压强强度度 fc 和和抗抗拉拉强强度度 ft 不不论论作作用用在在哪哪一一个个方方向向，都都有有相相等等的的强强度度值值。在在包包络络面面各各有有3个个点点，分分别别位位于于3个个坐坐标标轴轴的的负负、正方向；正方向； 同同理理，混混凝凝土土的的二二轴轴等等压压（1=0，f2=f3=fcc）和和等等拉拉（ 3=0， f1=f2=ftt ）强强度度位位于坐标平面内的两个坐标轴的等分线上，于坐标平面内的两个坐标轴的等分线上，3个坐标面内各有一点；个坐标面内各有一点； 混凝土的三轴等拉强度（混凝土的三轴等拉强度（fl=f2=f3=fttt )只有一点且落在静水压力轴的正方向。只有一点且落在静水压力轴的正方向。 对对于于任任意意应应力力比比(flf2f3)的的三三轴轴受受压压、受受拉拉或或拉拉压压应应力力状状态态，从从工工程程观观点点考考虑虑混混凝凝土土的的各各向向同同性性，可可由由坐坐标标或或主主应应力力(fl，f2，f3 )值值的的轮轮换换（破破坏坏横横截截面面三三重重对称），在应力空间中各画出对称），在应力空间中各画出6个点，位于同一偏平面上，且夹角个点，位于同一偏平面上，且夹角值相等。值相等。 破坏包络曲面的三维立体图既不便绘制，又不适于理解和应用，常改用拉破坏包络曲面的三维立体图既不便绘制，又不适于理解和应用，常改用拉压子午面和偏平面上的平面图形来表示。压子午面和偏平面上的平面图形来表示。 拉压子午面拉压子午面为为静水压力轴与任一主应力轴（如图中的静水压力轴与任一主应力轴（如图中的3轴）组成的平面，轴）组成的平面，同时通过另两个主应力轴（同时通过另两个主应力轴（ 1 ， 2 ）的等分线）的等分线。此平面与破坏包络面的交。此平面与破坏包络面的交线，分别称为拉、压子午线。线，分别称为拉、压子午线。1、拉子午线的应力条件为、拉子午线的应力条件为1 2 = 3 ，线上特征强度点有单轴受拉，线上特征强度点有单轴受拉(ft,0,0)和二轴等压和二轴等压(0,-fcc,-fcc）在）在偏平面上的夹角为偏平面上的夹角为 =0o ;2、压子午线的应力条件则为、压子午线的应力条件则为1 = 2 3 ，线上有单轴受压，线上有单轴受压(0,0,-fc )和和二轴等拉二轴等拉(ftt, ftt, 0)，在偏平面上的，在偏平面上的夹角夹角 =60o。 3、拉、压子午线与静水压力轴同交、拉、压子午线与静水压力轴同交于一点，即三轴等拉于一点，即三轴等拉(fttt, fttt, fttt)。拉、压子午线至静水压力轴的垂直拉、压子午线至静水压力轴的垂直距离即为偏应力距离即为偏应力 rt 和和 rc。 =0o =60o 拉压子午线的命名，并非指应力状态的拉或压，而是相应于拉压子午线的命名，并非指应力状态的拉或压，而是相应于三轴试验过程。三轴试验过程。 若试件先施加静水应力若试件先施加静水应力1 = 2 = 3 ，后在一轴后在一轴1上施加拉力上施加拉力，得得1 2 = 3 ，称拉子午线；，称拉子午线； 若试件先施加静水应力若试件先施加静水应力1 = 2 = 3 ，后在另一轴后在另一轴3上施加压力上施加压力，得得1 =2 3 ，称压子午线。，称压子午线。 另外也可以理解为另外也可以理解为以单轴拉、以单轴拉、压条件定义拉、压子午线，压条件定义拉、压子午线，即即单单轴拉状态所在的子午线成为拉子轴拉状态所在的子午线成为拉子午线午线，而，而单轴压状态所在的子午单轴压状态所在的子午线成为压子午线线成为压子午线。 试验研究指出，混凝土的三维试验研究指出，混凝土的三维破坏面也破坏面也可用三维主应力空间破可用三维主应力空间破坏曲面的圆柱坐标坏曲面的圆柱坐标，r，来描述来描述，其本身也是应力不变量其本身也是应力不变量。 =0o =60o12oNr31 =2 = 3圆柱坐标系及主应圆柱坐标系及主应力空间应力分解力空间应力分解，r，的几何表示的几何表示12oNP(1 ,2 , 3)r3e=60o=0orcrt拉子午线拉子午线压子午线压子午线偏平面-3+3-(1, 2)等应力轴和一个主应力轴组成的平等应力轴和一个主应力轴组成的平面通过另两个主应力轴的等分线面通过另两个主应力轴的等分线转换过转换过程归纳程归纳偏平面偏平面1-12-2-33rN静水应力偏斜应力偏斜应力平面中矢量的方向P 将以上图形绕坐标原点逆时针方向旋转一角度将以上图形绕坐标原点逆时针方向旋转一角度(90o)，得到以，得到以静水压力轴静水压力轴()为横坐标、偏应力为横坐标、偏应力(r)为纵坐标的拉、压子午线。为纵坐标的拉、压子午线。 于是，空间的破坏包络面于是，空间的破坏包络面改为由子午面和偏平面上的包络曲线改为由子午面和偏平面上的包络曲线来表达来表达。破坏面。破坏面上任一点的直角坐标上任一点的直角坐标(fl ， f2， f3 )改为由圆柱坐改为由圆柱坐标标(,r,)来表示来表示，换算关系为：，换算关系为： 由上式可知，将上图的坐标缩由上式可知，将上图的坐标缩小小 可以用八面体正应力（可以用八面体正应力（oct）和剪应力（和剪应力（oct）坐标代替静水）坐标代替静水压力和偏应力坐标，得到相应的压力和偏应力坐标，得到相应的拉、压子午线和破坏包络线。拉、压子午线和破坏包络线。 根据试验结果绘制的拉、压子午线和偏平面包络线。根据试验结果绘制的拉、压子午线和偏平面包络线。 子午线按照偏平面夹角划分，试验点的子午线按照偏平面夹角划分，试验点的=3060o 分别列在横分别列在横坐标轴的上、下。坐标轴的上、下。试验时测试试验时测试=0o60o的扇形的扇形（其他的扇形是对称的）（其他的扇形是对称的） 偏平面包络线则以八面体应力值分段给出。图中曲线为混凝偏平面包络线则以八面体应力值分段给出。图中曲线为混凝土破坏准则的理论值。土破坏准则的理论值。 根据国内外混凝土多轴强根据国内外混凝土多轴强度的大量试验资料分析，破度的大量试验资料分析，破坏包络曲面的几何形状具有坏包络曲面的几何形状具有如下特征：如下特征：曲面连续、光滑、外凸；曲面连续、光滑、外凸；对静水压力轴三折对称，对静水压力轴三折对称，当应力状态为静水应力与单当应力状态为静水应力与单向拉应力叠加时，向拉应力叠加时，=0o，故，故=0o的子午线称为受拉子午的子午线称为受拉子午线。如将单向拉应力换为压线。如将单向拉应力换为压应力，则相应于受压子午线，应力，则相应于受压子午线，=60o。破坏曲线与等应力轴破坏曲线与等应力轴有关。在有关。在轴的正向，静水压力轴的拉端轴的正向，静水压力轴的拉端封闭，顶点为三轴等拉应力状态；在封闭，顶点为三轴等拉应力状态；在轴的负向，压端开口，不与轴的负向，压端开口，不与静水压力轴相交，破坏曲线的开口随静水压力轴相交，破坏曲线的开口随轴绝对值的增大而增大；轴绝对值的增大而增大；子午线上各点的偏应力或子午线上各点的偏应力或八面体剪应力值，八面体剪应力值，随静水压随静水压力或八面体正应力的力或八面体正应力的代数值代数值的减小而单调增大，但斜率的减小而单调增大，但斜率渐减，有极限值；渐减，有极限值；偏平面上的封闭曲线三折偏平面上的封闭曲线三折对称，其形状对称，其形状随静水压力或随静水压力或八面体正应力值的减小，由八面体正应力值的减小，由近似三角形近似三角形(rtrc0.5)逐渐逐渐外凸饱满，过渡为一圆外凸饱满，过渡为一圆(rtrc=1）。）。4.7.2破坏准则破坏准则 将混凝土的破坏包络曲面用数学函数加以描述，作将混凝土的破坏包络曲面用数学函数加以描述，作为判定混凝土是否达到破坏状态或极限强度的条件，为判定混凝土是否达到破坏状态或极限强度的条件，称为破坏准则或强度准则。称为破坏准则或强度准则。虽然它不属基于机理分析、虽然它不属基于机理分析、具有明确物理概念的强度理论，但它是大量试验结果具有明确物理概念的强度理论，但它是大量试验结果的总结，具有足够的计算准确性，对实际工程有重要的总结，具有足够的计算准确性，对实际工程有重要的指导意义。的指导意义。 1、分类：、分类： 借用古典强度理论的观点和计算式借用古典强度理论的观点和计算式; 以混凝土多轴强度试验资料为基础的经验回归式；以混凝土多轴强度试验资料为基础的经验回归式； 以包络曲面的几何形状特征为依据的纯数学推导式，以包络曲面的几何形状特征为依据的纯数学推导式，参数值由若干特征强度值标定。各个准则的表达方式参数值由若干特征强度值标定。各个准则的表达方式和简繁程度各异，适用范围和计算精度差别大，使用和简繁程度各异，适用范围和计算精度差别大，使用时应认真选择。时应认真选择。2、著名的古典强度理论包括：、著名的古典强度理论包括：最大主拉应力理论（最大主拉应力理论（Rankine)；最大主拉应变理论（最大主拉应变理论（Mariotto）；）；最大剪应力理论最大剪应力理论(Tresca)；统计平均剪应力理论（统计平均剪应力理论（Von Mises)；Mohr-Coulomb理论；理论；Drucker-Prager理论。理论。 共同特点：共同特点： 针对某种特定材料而提出，对于解释材料破坏的内在原因和针对某种特定材料而提出，对于解释材料破坏的内在原因和规律有明确的理论（物理）观点，有相应的试验验证，破坏包规律有明确的理论（物理）观点，有相应的试验验证，破坏包络面的几何形状简单，计算式简明，只含络面的几何形状简单，计算式简明，只含1个或个或2个参数，其值个参数，其值易于标定。因而，它们应用于相适应的材料时，可在工程实践易于标定。因而，它们应用于相适应的材料时，可在工程实践中取得良好的效果。例如中取得良好的效果。例如.Von Mises准则适用于塑性材料（如软准则适用于塑性材料（如软钢），在金属的塑性力学中应用最广；钢），在金属的塑性力学中应用最广；Mohr-Coulomb准则反映准则反映了材料抗拉和抗压强度不等（了材料抗拉和抗压强度不等（ ftfc）的特点，适用于脆性的土）的特点，适用于脆性的土壤、岩石类材料，在岩土力学中广为应用。壤、岩石类材料，在岩土力学中广为应用。3、以混凝土多轴强度试验资料为基础的经验回归式、以混凝土多轴强度试验资料为基础的经验回归式 随试验数据的积累，许多研究人员提出了若干基于试验结果、随试验数据的积累，许多研究人员提出了若干基于试验结果、较为准确、但数学形式复杂的混凝土破坏准则。准则中一般需较为准确、但数学形式复杂的混凝土破坏准则。准则中一般需要包含要包含45个参数。个参数。这些破坏准则的原始表达式中采用了不同的应力量作这些破坏准则的原始表达式中采用了不同的应力量作为变量，分为变量，分5种：种：主应力主应力fl , f2, f3 ;应力不变量应力不变量Il ,J2,J3 ;静水压力和偏应力静水压力和偏应力 , r,;八面体应力八面体应力 oct ,oct ;平均应力平均应力m ,m 。 采用上述应力量致使准则的数学形式差别很大，不采用上述应力量致使准则的数学形式差别很大，不便作深入对比分析。但这些应力量借助下列基本公式便作深入对比分析。但这些应力量借助下列基本公式可以很方便地互相变换：可以很方便地互相变换： 采用上述应力量致使准则的数学形式差别很大，不便作深人对采用上述应力量致使准则的数学形式差别很大，不便作深人对比分析。但这些应力量借助下列基本公式可以很方便地互相变比分析。但这些应力量借助下列基本公式可以很方便地互相变换：换： 最终可统一用相对八面体强度（最终可统一用相对八面体强度（ 0 = oct / fc和和0= oct / fc ）表达，）表达，经归纳得子午线方程的经归纳得子午线方程的3种基本形式：种基本形式： 最终可统一用相对八面体强度（最终可统一用相对八面体强度（ 0 = oct / fc和和0= oct / fc ）表达，经归纳得子午线方程的）表达，经归纳得子午线方程的3种基本形式：种基本形式： 一些常用的、有代表性的混凝土破坏准则列于下表一些常用的、有代表性的混凝土破坏准则列于下表,同时给出了原始表达式和统一表达式，可看到两者中同时给出了原始表达式和统一表达式，可看到两者中参数的互换关系。参数的互换关系。 过镇海、王传志、张秀琴等搜集了国内外大量的混过镇海、王传志、张秀琴等搜集了国内外大量的混凝士多轴强度试验数据，与按上述准则计算的理论值凝士多轴强度试验数据，与按上述准则计算的理论值进行全面比较，根据三项标准：进行全面比较，根据三项标准：计算值与试验强度的相符程度；计算值与试验强度的相符程度；适用的应力范围宽窄；适用的应力范围宽窄；理论破坏包络面几何特征的合理性等加以评定。理论破坏包络面几何特征的合理性等加以评定。所得结论为：所得结论为：较好的准则：过较好的准则：过王、王、Ottosen和和Podgorski准则；准则；一般的准则：一般的准则：Hsieh-Ting-Chen，Kotsovos， Willam-Warnke准则；准则；较差准则：较差准则：Bresler-Pister准则。准则。 在结构的有限元分析中，可根据结构的应力范围和在结构的有限元分析中，可根据结构的应力范围和准确度要求选用合理的混凝土破坏准则。准确度要求选用合理的混凝土破坏准则。4、以包络曲面的几何形状特征为依据的纯数学推导公式以包络曲面的几何形状特征为依据的纯数学推导公式 模式规范模式规范CEB FIP MC90C采纳了采纳了Ottosen准则。它根据偏平面准则。它根据偏平面包络线由三角形过渡为圆形的特点、应用薄膜比拟法：即在等边包络线由三角形过渡为圆形的特点、应用薄膜比拟法：即在等边三角形边框上蒙上一薄膜，承受均匀压力后薄膜鼓起，等高线的三角形边框上蒙上一薄膜，承受均匀压力后薄膜鼓起，等高线的形状由外向内的变化恰好相同据此建立了二阶偏微分方程，求形状由外向内的变化恰好相同据此建立了二阶偏微分方程，求解后转换得到以应力不变量表达的破坏准则式：解后转换得到以应力不变量表达的破坏准则式：其中：其中： a和和b决定子午线的形状，决定子午线的形状， k1和和k2分别决定偏平面包分别决定偏平面包络线的大小和形状。络线的大小和形状。标定参数值的标定参数值的4个特征强度值取为：个特征强度值取为：单轴抗压单轴抗压(- fc)、单轴抗拉、单轴抗拉(ft）、二轴等压）、二轴等压(fcc=1.16 fc) 三轴抗压强度三轴抗压强度三轴抗压强度三轴抗压强度按下式计算各特征强度的按下式计算各特征强度的代入代入 得得4阶联立方程，解得各参数值。若取阶联立方程，解得各参数值。若取ft=0.1fc，解得，解得的的4个参数为：个参数为：a=1. 2759, b=3.1962 k111.7365，k2=0.9801Hsieh-Ting-Chen和和Podgorski准则是对准则是对Ottosen准则的简准则的简化和修正。化和修正。 我国的混凝土结构设计规范附录我国的混凝土结构设计规范附录C.4中采纳了过中采纳了过王准则，王准则，其与试验结果相符较好、以八面体应力无量纲量表达、应用幕其与试验结果相符较好、以八面体应力无量纲量表达、应用幕函数拟合混凝土的破坏包络面，一般计算式为函数拟合混凝土的破坏包络面，一般计算式为:4.7.3、规范中的破坏准则、规范中的破坏准则 破坏准则的计算公式破坏准则的计算公式式中式中5个参数都有明确的几何（物理）意义：个参数都有明确的几何（物理）意义： 当当 a=0,max时，时，0时时0有极限值（高压应力状态），即有极限值（高压应力状态），即参数参数b，当，当oct/ fc=0时，时，b= oct/ fc即包络面或子午线与静水即包络面或子午线与静水压力轴交点的坐标；故压力轴交点的坐标；故b值为混凝土三轴等拉强度（值为混凝土三轴等拉强度（ f1= f2 = f3= fttt）与单轴抗压强度的比值与单轴抗压强度的比值 符合破坏曲面包络线随符合破坏曲面包络线随oct的增大由近似三角形趋向圆柱面过渡的增大由近似三角形趋向圆柱面过渡的特性；即，此时，拉、压子午线与静水压力轴平行切等距的特性；即，此时，拉、压子午线与静水压力轴平行切等距（rc=rt），偏平面上包络线为一半径），偏平面上包络线为一半径a的圆，破坏包络面趋于圆的圆，破坏包络面趋于圆柱形。柱形。 0d1. 0时，时， =0o时时c=ct，=60o时。时。 c=cc ，代人上式分别得拉、，代人上式分别得拉、压子午线，即为拉、压子午线对应的剪切强度。压子午线，即为拉、压子午线对应的剪切强度。 当当=0o增加到增加到60o时，时，ct逐渐增加至逐渐增加至cc，符合光滑、外凸的，符合光滑、外凸的特性；特性； 其导数在其导数在 oct/ fc=b处的数值为处的数值为，即切线垂直于横，即切线垂直于横坐标，拉、压子午线在此处连续，破坏包络面顶点处坐标，拉、压子午线在此处连续，破坏包络面顶点处连续、光滑；连续、光滑； 另外，由于该破坏准则是根据包括整个应力空间另外，由于该破坏准则是根据包括整个应力空间8个个象限的各种应力状态的上千个试验点建立起来的，所象限的各种应力状态的上千个试验点建立起来的，所以它不仅在中、高静水压力区域实验值符合较好，而以它不仅在中、高静水压力区域实验值符合较好，而且在拉区乃至三向等拉状态也能较好地反映实际受力且在拉区乃至三向等拉状态也能较好地反映实际受力情况。情况。 该准则适用于平面应力、平面应变、三向受压、三该准则适用于平面应力、平面应变、三向受压、三向受拉、乃至三向拉压等多种应力状态，且计算简单，向受拉、乃至三向拉压等多种应力状态，且计算简单，便于工程设计和非线性分析应用。便于工程设计和非线性分析应用。 计算参数值的确定计算参数值的确定 混凝土破坏准则中包含的混凝土破坏准则中包含的5个参数，可以用全部试验个参数，可以用全部试验数据进行回归分析拟定，也可在破坏包络面上，或拉、数据进行回归分析拟定，也可在破坏包络面上，或拉、压子午线上选定任意压子午线上选定任意5个特征强度值加以标定。前者计个特征强度值加以标定。前者计算工作量大，一般取用后者。算工作量大，一般取用后者。 单轴抗压和抗拉强度是混凝土的基本强度指标，应单轴抗压和抗拉强度是混凝土的基本强度指标，应作为首选的二个特征强度值。其余作为首选的二个特征强度值。其余3个特征强度可以选个特征强度可以选用：包络面顶端，即拉压子午线交点处的三轴等拉强用：包络面顶端，即拉压子午线交点处的三轴等拉强度；试验数量较多的二轴等压强度；和一个强度较高度；试验数量较多的二轴等压强度；和一个强度较高的常规三轴抗压强度的常规三轴抗压强度(0 f1= f2 f3，=60o ）。这样）。这样使拉、压子午线上各有使拉、压子午线上各有3个控制点，可以较好地拟合试个控制点，可以较好地拟合试验结果。验结果。 将这将这5个特征值的应力状态分别代入式个特征值的应力状态分别代入式计算计算并代人破坏准则计算式，并代人破坏准则计算式，可得可得5个联立方程如下：个联立方程如下：从这些方程求解从这些方程求解5个参数值，个参数值，难有显式解，可采用迭代难有显式解，可采用迭代法进行数值计算：法进行数值计算： 由式由式直接得：直接得：其中：其中：由其余由其余4式消去参数式消去参数a，有：，有：由式由式得参数得参数 d 的计算式：的计算式：由式由式取取得得由式由式取取得得最后由式最后由式中任意一式计算参数中任意一式计算参数a，取，取式得：式得： 在在设设定定了了5个个特特征征强强度度值值后后、即即S60、T60、 S0、T0等等值值已已知知，可可应应用用这这些些方方程程进进行行迭迭代代计计算算，以以确确定定混混凝凝土土破破坏坏准准则则的的5个个参参数值。其步骤如下：数值。其步骤如下：计算参数计算参数b； 设定设定n（1）的初始值，如）的初始值，如n0=0.98；代入代入计算参数计算参数d；由式由式代入代入计算计算K1和和K2；由式由式计算参数计算参数cc和和ct；代入代入得得n的第一次近似值的第一次近似值n1，计算误，计算误差，差，若不满足精度要求（取若不满足精度要求（取0.0001），），则按步骤则按步骤继续迭代计算；继续迭代计算；代入代入计算参数计算参数a。 确定这确定这5个参数采用的混凝土特征强度值为：个参数采用的混凝土特征强度值为：单轴抗压（单轴抗压（ - fc)； 单轴抗拉单轴抗拉(ft=0.1 fc，F=0.1）；）；二轴等压二轴等压(fcc =1.28 fc ， S0 = -0.8533， T0= 0.6034）；）；三轴等拉三轴等拉(fttt=0.9 ft ，=0.9）；）；三轴抗压强度三轴抗压强度 （=60o， S60 = oct/fc=4， T60= oct/fc =2.7 ）。）。 分别代入上式，用迭代法计算的参数值：分别代入上式，用迭代法计算的参数值： a6.9638 b=0.09 d=0.9297 ct12.2445 cc7.3319 按此公式可计算各种应力状态下的混凝土多轴强度按此公式可计算各种应力状态下的混凝土多轴强度理论值，并绘制子午线和偏平面包络线，以及二轴和理论值，并绘制子午线和偏平面包络线，以及二轴和三轴包络线。按此准则计算的混凝土多轴强度值与国三轴包络线。按此准则计算的混凝土多轴强度值与国内外的试验结果比较吻合。内外的试验结果比较吻合。 将所得参数值代入基本方程，即得混凝土的破坏准将所得参数值代入基本方程，即得混凝土的破坏准则公式：则公式： 需要说明，选用的上述需要说明，选用的上述5个特征强度值，是分析了国个特征强度值，是分析了国内外众多研究者的试验结果而确定的，与此相应的混内外众多研究者的试验结果而确定的，与此相应的混凝土破坏准则（上两式）可适用于各种试验条件和全凝土破坏准则（上两式）可适用于各种试验条件和全部多轴应力范围，总体计算准确度较高。如果针对某部多轴应力范围，总体计算准确度较高。如果针对某一种特定的混凝土材料，或者在有限的应力比或静水一种特定的混凝土材料，或者在有限的应力比或静水压力范围（如二轴应力状态）内，为了得到更准确的压力范围（如二轴应力状态）内，为了得到更准确的破坏准则，可以通过试验测定，或参照已有试脸资料破坏准则，可以通过试验测定，或参照已有试脸资料另行设定另行设定5个特征强度值，用上述迭代法计算参数值，个特征强度值，用上述迭代法计算参数值，得相应的破坏准则计算式。得相应的破坏准则计算式。4.7.4多轴强度验算举例多轴强度验算举例 二维和三维结构在线弹性或非线性分析后获得了混凝土的多二维和三维结构在线弹性或非线性分析后获得了混凝土的多轴应力状态，轴应力状态，可按多轴强度设计值进行验算可按多轴强度设计值进行验算（如（如4.5所述），所述），也可采用破坏准则进行验算也可采用破坏准则进行验算，通常将混凝土的破坏准则编成程通常将混凝土的破坏准则编成程序，附在结构分析之后，由计算机完成混凝土的应力分析和多序，附在结构分析之后，由计算机完成混凝土的应力分析和多轴强度验算。轴强度验算。 下面列举几个手算例题，说明具体的计算方法和步骤，有助下面列举几个手算例题，说明具体的计算方法和步骤，有助于对混凝土破坏准则的理解。于对混凝土破坏准则的理解。例例4-7 混凝土三向受压，应力比为混凝土三向受压，应力比为1 :2 :3 -0.15:-0.3:-1，用上述破坏准则计算相应的多轴强度值。用上述破坏准则计算相应的多轴强度值。解：设三轴抗压强度为：解：设三轴抗压强度为：另二个方向分别为：另二个方向分别为：其中其中 x 为待定值。为待定值。 计算无量纲的八面体正、剪应力和偏平面夹角：计算无量纲的八面体正、剪应力和偏平面夹角：代入代入由准则：由准则：建立建立为一超越方程，解此超越方程得：为一超越方程，解此超越方程得： x=4.48混凝土的三轴抗压强度为：混凝土的三轴抗压强度为：试验结果表明，上述比例下的混凝土三轴抗压强度约为：试验结果表明，上述比例下的混凝土三轴抗压强度约为：与计算值接近。与计算值接近。 另一方面，若按混凝土规范三轴抗压强度设计值进行验算，另一方面，若按混凝土规范三轴抗压强度设计值进行验算，相同应力比例下的三轴抗压强度仅为：相同应力比例下的三轴抗压强度仅为： 比按前述破坏准则的计算值低很多。其主要原因是：给定的多比按前述破坏准则的计算值低很多。其主要原因是：给定的多轴压强度设计值有意比试验值偏低；未考虑第轴压强度设计值有意比试验值偏低；未考虑第2主应力主应力2的有利的有利作用。作用。例例4-8 一钢筋混凝土平面结构，在荷载设计值作用下，按线弹一钢筋混凝土平面结构，在荷载设计值作用下，按线弹性分析得最不利位置处的主应力为（性分析得最不利位置处的主应力为（5、 16N/mm2），试确），试确定混凝土的强度等级。用混凝土破坏准则进行计算。定混凝土的强度等级。用混凝土破坏准则进行计算。解：该处混凝土的应力状态写成三轴应力形式：解：该处混凝土的应力状态写成三轴应力形式：设三轴抗压强度为：设三轴抗压强度为： 相应有：相应有： 计算破坏准则的各项指标和参数值：计算破坏准则的各项指标和参数值：代入代入由准则：由准则：为一超越方程，解此超越方程得：为一超越方程，解此超越方程得： x=1.37此强度值大于按下图所给的混凝土多轴抗压强度设计值。此强度值大于按下图所给的混凝土多轴抗压强度设计值。试选试选C30混凝土，其单轴抗压强度设计值为混凝土，其单轴抗压强度设计值为fc=14.3N/mm2，故，故若该选若该选C25混凝土，其单轴抗压强度设计值为混凝土，其单轴抗压强度设计值为fc=11.9N/mm2，也可满足承载能力要求，也可满足承载能力要求，例例4-9 若混凝土三方向的应力比为：若混凝土三方向的应力比为：（+0.1 : + 0.06:1）和）和（+0.04: 0.5 : 1），确定相应的三轴拉），确定相应的三轴拉-压强度。用混凝压强度。用混凝土破坏准则进行计算。土破坏准则进行计算。 解：解： 三轴拉三轴拉-拉拉-压应力状态的应力比为：压应力状态的应力比为：设三轴抗压强度为：设三轴抗压强度为： 代入相应计算公式：代入相应计算公式： 由准则得：由准则得：解此超越方程得：解此超越方程得： x=0.571三轴拉压强度分别为：三轴拉压强度分别为：解：解： 三轴拉三轴拉-拉拉-压应力状态的应力比为：压应力状态的应力比为：设三轴抗压强度为：设三轴抗压强度为： 代入相应计算公式：代入相应计算公式： 由准则得：由准则得：解此超越方程得：解此超越方程得： x=1.044三轴拉压强度分别为：三轴拉压强度分别为： 按混凝土破坏准则计算的这些应力比例下的三轴拉按混凝土破坏准则计算的这些应力比例下的三轴拉-压强度，与压强度，与按二轴拉按二轴拉-压强度设计值计算的结果接近，二者相差不到压强度设计值计算的结果接近，二者相差不到10%。4.8本构关系本构关系4.8.1本构关系的概念本构关系的概念 一切结构的力学分析，例如杆系结构的内力和变形分析，一切结构的力学分析，例如杆系结构的内力和变形分析，二、三维结构的应力和变形分析，以及构件的截面承载力和正二、三维结构的应力和变形分析，以及构件的截面承载力和正常使用阶段性能的分析等，都必须使用和满足三类基本方程，常使用阶段性能的分析等，都必须使用和满足三类基本方程，即：即：力学平衡方程；力学平衡方程；变形协调条件；变形协调条件；本构关系。本构关系。 力学平衡方程力学平衡方程，无论是结构的整体或局部、静力或动力荷载，无论是结构的整体或局部、静力或动力荷载的作用、分析的准确解或近似解都必须满足，这是混凝土结构的作用、分析的准确解或近似解都必须满足，这是混凝土结构进行结构分析最基本的条件。进行结构分析最基本的条件。 变形协调条件，变形协调条件，是几何或机动方程。结构是连续体，在荷载是几何或机动方程。结构是连续体，在荷载作用下会发生变形和位移，但仍应为连续体。几个部分的变形作用下会发生变形和位移，但仍应为连续体。几个部分的变形应该是协调的，在边界、支座、节点等处仍能互相吻合，这就应该是协调的，在边界、支座、节点等处仍能互相吻合，这就是满足变形协调条件。但有时为对结构计算简图作某些简化，是满足变形协调条件。但有时为对结构计算简图作某些简化， 本构关系本构关系则是联系前二者，即力和变形间的物理方程，例如材则是联系前二者，即力和变形间的物理方程，例如材料的应力料的应力-应变（应变（-、-）或构件截面的弯矩）或构件截面的弯矩-曲率、轴力曲率、轴力-伸伸长（缩短）、扭矩长（缩短）、扭矩-转角等，转角等，之间的关系，之间的关系，统称为本构关系。统称为本构关系。 各种材料的、不同形式和体系的结构，在力学分析时所用的前各种材料的、不同形式和体系的结构，在力学分析时所用的前二类方程原则相同、数学形式相近，而本构关系可有很大差别。二类方程原则相同、数学形式相近，而本构关系可有很大差别。例如，本构关系有弹性的、塑性的，还有与时间相关的黏弹性、例如，本构关系有弹性的、塑性的，还有与时间相关的黏弹性、黏塑性的，与温度相关的热弹性、热塑性等。每一种特定的本构黏塑性的，与温度相关的热弹性、热塑性等。每一种特定的本构关系都可发展成为一个相对独立的力学分支，如弹性力学、塑性关系都可发展成为一个相对独立的力学分支，如弹性力学、塑性力学、黏弹（塑）性力学，热弹（塑）性力学等。近期发展的断力学、黏弹（塑）性力学，热弹（塑）性力学等。近期发展的断裂力学、损伤力学等，也各有相应的本构关系。由于本构关系的裂力学、损伤力学等，也各有相应的本构关系。由于本构关系的不同，这些力学分支各有独特的分析思路和求解方法，并获得相不同，这些力学分支各有独特的分析思路和求解方法，并获得相应的计算结果。应的计算结果。分析计算作了某些假定，造成难以完全满足各单元之间的变形协分析计算作了某些假定，造成难以完全满足各单元之间的变形协调，特别是难以满足边界约束条件。因此，也不一定要求从微观调，特别是难以满足边界约束条件。因此，也不一定要求从微观上严格满足变形协调，但在宏观上，即整体上，仍能满足变形协上严格满足变形协调，但在宏观上，即整体上，仍能满足变形协调条件，使结构分析的结果与实际情况不致有较大的出入。调条件，使结构分析的结果与实际情况不致有较大的出入。 钢筋混凝土是一种特殊的组合结构材料。除了钢筋钢筋混凝土是一种特殊的组合结构材料。除了钢筋（材）和混凝土本身的材料本构关系因所用材料的品种（材）和混凝土本身的材料本构关系因所用材料的品种和强度等级而不同外，还因二者的配合和相对比例、如和强度等级而不同外，还因二者的配合和相对比例、如面积比、强度比、弹性模量比、面积比、强度比、弹性模量比、等的变化，而又有等的变化，而又有更复杂的组合本构关系，如平均应力更复杂的组合本构关系，如平均应力-应变、截面弯矩应变、截面弯矩-平均曲率、平均曲率、等。将这些钢筋混凝土的特殊本构关系等。将这些钢筋混凝土的特殊本构关系引入结构的非线性分析，完全有理由称之为钢筋混凝土引入结构的非线性分析，完全有理由称之为钢筋混凝土力学。事实上，这已是混凝土结构和构件分析的重要发力学。事实上，这已是混凝土结构和构件分析的重要发展方向。展方向。 混凝土在简单应力状态下的本构关系，即单轴受压和混凝土在简单应力状态下的本构关系，即单轴受压和受拉时的应力受拉时的应力-应变关系比较明确，可以相当准确地在相应变关系比较明确，可以相当准确地在相应的试验中测定，并用合理的经验回归式加以描述。即应的试验中测定，并用合理的经验回归式加以描述。即使如此，仍然因为混凝土材性的离散、变形成分的多样使如此，仍然因为混凝土材性的离散、变形成分的多样和影响因素的众多等而在一定范围内变动。和影响因素的众多等而在一定范围内变动。 混凝土在多轴应力状态下的本构关系，当然更要复杂混凝土在多轴应力状态下的本构关系，当然更要复杂得多。得多。3个方向主应力的共同作用，使各方向的正应变个方向主应力的共同作用，使各方向的正应变和横向变形效应相互约束和牵制，影响内部微裂缝的出和横向变形效应相互约束和牵制，影响内部微裂缝的出现和发展程度。而且，现和发展程度。而且，混凝土多轴抗压强度的成倍增长混凝土多轴抗压强度的成倍增长和多轴拉压强度的降低，扩大了混凝土的应力值范围，和多轴拉压强度的降低，扩大了混凝土的应力值范围，改变了各部分变形成分的比例，出现了不同的破坏过程改变了各部分变形成分的比例，出现了不同的破坏过程和形态。和形态。这些都使得混凝土多轴变形的变化范围大，形这些都使得混凝土多轴变形的变化范围大，形式复杂。另一方面，混凝土多轴试验方法的不统一和应式复杂。另一方面，混凝土多轴试验方法的不统一和应变量测技术的困难，又加大了应变量测数据的离散度，变量测技术的困难，又加大了应变量测数据的离散度，给研究本构关系造成更大困难。给研究本构关系造成更大困难。 有限元方法和计算机技术的发展为混凝土结构和构件有限元方法和计算机技术的发展为混凝土结构和构件的非线性分析创建了便利条件。任何类型、体系和受力的非线性分析创建了便利条件。任何类型、体系和受力状况的结构或其局部都可依靠非线性分析方法求解。但状况的结构或其局部都可依靠非线性分析方法求解。但是，是，计算结果的可靠性和准确度主要取决于所采用的钢计算结果的可靠性和准确度主要取决于所采用的钢筋混凝土各项非线性本构关系是否准确、合理筋混凝土各项非线性本构关系是否准确、合理。因此，。因此，建立或选择本构关系是结构非线性分析的关键问题，成建立或选择本构关系是结构非线性分析的关键问题，成为近为近20年混凝土结构的一个重要研究方向。确定了合适年混凝土结构的一个重要研究方向。确定了合适的本构关系、进行非线性的全过程分析，有可能改变目的本构关系、进行非线性的全过程分析，有可能改变目前的钢筋混凝土结构的内力弹性分析和截面承载力经验前的钢筋混凝土结构的内力弹性分析和截面承载力经验性计算等不尽理想的景况，走向更完善、准确的理论解性计算等不尽理想的景况，走向更完善、准确的理论解方向。方向。4.8.2非线性分析中的各种本构关系非线性分析中的各种本构关系 结构分析时，无论采用解析法和有限元法都要将整体结构离结构分析时，无论采用解析法和有限元法都要将整体结构离散化、分解成各种计算单元。例如二、三维结构的解析法取为二散化、分解成各种计算单元。例如二、三维结构的解析法取为二维或三维应力状态的点（微体），有限元法取为形状和尺寸不同维或三维应力状态的点（微体），有限元法取为形状和尺寸不同的块体；杆系结构可取为各杆件的截面、或其一段、或全长；结的块体；杆系结构可取为各杆件的截面、或其一段、或全长；结构整体分析可取其局部，如高层建筑的一层作为基本计算单元。构整体分析可取其局部，如高层建筑的一层作为基本计算单元。因此，本构关系可建立在结构的不同层次和分析尺度上当然最因此，本构关系可建立在结构的不同层次和分析尺度上当然最基本的是材料一点的应力基本的是材料一点的应力-应变关系，由此决定或推导其他各种应变关系，由此决定或推导其他各种本构关系。本构关系。 各种计算单元的本构关系一般是以标准条件下，即常温下短各种计算单元的本构关系一般是以标准条件下，即常温下短时一次加载试验的测定值为基础确定的。当结构的环境和受力条时一次加载试验的测定值为基础确定的。当结构的环境和受力条件有变化时，如反复加卸载、动载、荷载长期作用或高速冲击作件有变化时，如反复加卸载、动载、荷载长期作用或高速冲击作用、高温或低温状况、用、高温或低温状况、等，混凝土的性能和本构关系随之有等，混凝土的性能和本构关系随之有不同程度的变化、必须进行相应修正，甚至重新建立专门的本构不同程度的变化、必须进行相应修正，甚至重新建立专门的本构关系。关系。 所以，钢筋混凝土非线性本构关系的内容非常丰富，试验和所以，钢筋混凝土非线性本构关系的内容非常丰富，试验和理论研究也有一定难度。经过各国研究人员的多年努力，本构关理论研究也有一定难度。经过各国研究人员的多年努力，本构关系的研究已在宽广的领域内取得了大量成果，其中比较重要和常系的研究已在宽广的领域内取得了大量成果，其中比较重要和常用的本构关系有：用的本构关系有： 混凝土的单轴受压和受拉应力混凝土的单轴受压和受拉应力-应变关系；应变关系； 混凝土的多轴强度（破坏准则）和应力混凝土的多轴强度（破坏准则）和应力-应变关系；应变关系； 多种环境和受力条件下的混凝土应力多种环境和受力条件下的混凝土应力-应变关系，包括受压应变关系，包括受压卸载和再加载，压拉反复加卸载，多次重复荷载（疲劳），快卸载和再加载，压拉反复加卸载，多次重复荷载（疲劳），快速（毫秒或微秒级）加载和变形，高温（速（毫秒或微秒级）加载和变形，高温（l00oC）和低温）和低温0oC）状况下的加卸载，）状况下的加卸载，； 与时间有关的混凝土受力性能，如定应力或变应力作用下的与时间有关的混凝土受力性能，如定应力或变应力作用下的徐变（松弛）、收缩、徐变（松弛）、收缩、； 钢材（筋）的应力钢材（筋）的应力-应变关系，和反复应力作用的应变关系，和反复应力作用的Bauschinger效应；效应； 钢筋和混凝土界面的粘结应力钢筋和混凝土界面的粘结应力-相对滑移（相对滑移（-s）关）关系，包括单调和反复荷载作用；系，包括单调和反复荷载作用； 混凝土受拉开裂后，沿裂缝面有骨料咬合作用；与混凝土受拉开裂后，沿裂缝面有骨料咬合作用；与裂缝相交的钢筋，纵向有受拉刚化效应，横向有销栓作裂缝相交的钢筋，纵向有受拉刚化效应，横向有销栓作用；用； 横向约束混凝土，包括螺旋箍筋、矩形箍筋和钢管横向约束混凝土，包括螺旋箍筋、矩形箍筋和钢管混凝土等的应力混凝土等的应力-应变关系；应变关系； 构件（截面）在单调荷载作用下的弯矩构件（截面）在单调荷载作用下的弯矩-曲率关系，曲率关系，在（地震）反复荷载作用下的弯矩在（地震）反复荷载作用下的弯矩-曲率恢复力模型；曲率恢复力模型； 二维和三维钢筋混凝土有限单元的各种本构关系，二维和三维钢筋混凝土有限单元的各种本构关系，如分离式、组合式或整体式模型，以及钢筋和混凝土界如分离式、组合式或整体式模型，以及钢筋和混凝土界面的联结单元模型，面的联结单元模型，； 。4.8.3确定本构关系（模型）的方法确定本构关系（模型）的方法 结构分析中所需的某种计算单元的本构关系，研究人员可通结构分析中所需的某种计算单元的本构关系，研究人员可通过试验的、理论的、或半经验半理论的方法，建立多种具体的本过试验的、理论的、或半经验半理论的方法，建立多种具体的本构模型。例如，混凝土的多轴本构（应力构模型。例如，混凝土的多轴本构（应力-应变）关系可分作线应变）关系可分作线弹性、非线（性）弹性、塑性理论或其他力学理论为及其础的多弹性、非线（性）弹性、塑性理论或其他力学理论为及其础的多种模型。其中较实用的非线（性）弹性模型，又细分为各向同性、种模型。其中较实用的非线（性）弹性模型，又细分为各向同性、正交异性和各向异性类，同一类中又有数种不同的具体数学模型。正交异性和各向异性类，同一类中又有数种不同的具体数学模型。 同一种本构关系出现多种不同的具体模型，且形式有繁有简，同一种本构关系出现多种不同的具体模型，且形式有繁有简，或精或粗，相差悬殊，其计算结果也不尽相同。这种情况既因为或精或粗，相差悬殊，其计算结果也不尽相同。这种情况既因为混凝土材性的复杂多变和离散性较大，也反映了研究者学术观点混凝土材性的复杂多变和离散性较大，也反映了研究者学术观点和研究方法的不同。许多模型各有利弊和适用范围，难以求得统和研究方法的不同。许多模型各有利弊和适用范围，难以求得统一。因此，在设计和分析结构时应选择合理和适用的本构模型。一。因此，在设计和分析结构时应选择合理和适用的本构模型。 确定本构模型有三种方法：确定本构模型有三种方法： 用与工程结构相同的混凝土材料，专门制作足量的试件、通用与工程结构相同的混凝土材料，专门制作足量的试件、通过试验测定和分析后确定；过试验测定和分析后确定； 选定适合该结构的合理本构模型形式，其数学表达式中所需选定适合该结构的合理本构模型形式，其数学表达式中所需的参数值由少量试验加以标定；的参数值由少量试验加以标定； 采用经过试验验证或工程经验证明可行的具体本构（数学）采用经过试验验证或工程经验证明可行的具体本构（数学）模型。模型。 为了保证本构关系的可靠性，上述方法按优选次序排列。由于为了保证本构关系的可靠性，上述方法按优选次序排列。由于混凝土大量地采用地方性材料，施工制作工艺和质量控制水平出混凝土大量地采用地方性材料，施工制作工艺和质量控制水平出入较大，使混凝土的实际力学性能有较大的变异性和离散度。结入较大，使混凝土的实际力学性能有较大的变异性和离散度。结构分析所需的各项本构关系应根据建筑物的重要性、结构体系的构分析所需的各项本构关系应根据建筑物的重要性、结构体系的类型、要求的计算精度、实际施工水平，和具备的试验条件等慎类型、要求的计算精度、实际施工水平，和具备的试验条件等慎重地加以选择。重地加以选择。 在结构设计计算和有限元分析中须引入混凝土的多轴本构关在结构设计计算和有限元分析中须引入混凝土的多轴本构关系，许多学者进行了大量的试验和理论研究，提出了多种多样系，许多学者进行了大量的试验和理论研究，提出了多种多样的混凝土本构模型。根据这些模型对混凝土材料力学性能特征的混凝土本构模型。根据这些模型对混凝土材料力学性能特征的概括，分成的概括，分成4大类：大类：线弹性模型；线弹性模型； (弹性模型弹性模型)非线（性）弹性模型；非线（性）弹性模型； (弹性模型弹性模型)塑性理论模型；塑性理论模型； (非弹性模型非弹性模型)其它力学理论类模型。其它力学理论类模型。 (非弹性模型非弹性模型) 各类本构模型的理论基础、观点和方法迥异，表达形式多样，各类本构模型的理论基础、观点和方法迥异，表达形式多样，简繁相差悬殊，适用范围和计算结果的差别大。很难确认一个简繁相差悬殊，适用范围和计算结果的差别大。很难确认一个通用的混凝土本构模型，只能根据结构的特点、应力范围和精通用的混凝土本构模型，只能根据结构的特点、应力范围和精度要求等加以适当选择。至今，度要求等加以适当选择。至今，实际工程中应用最广泛的还是实际工程中应用最广泛的还是源自试验、计算精度有保证、形式简明和使用方便的非线弹性源自试验、计算精度有保证、形式简明和使用方便的非线弹性类本构模型。类本构模型。4.8.4本构关系（模型）的分类本构关系（模型）的分类4.8.5线弹性本构关系线弹性本构关系 这是最简单、最基本的材料本构关系。它假设材料的各方向这是最简单、最基本的材料本构关系。它假设材料的各方向应力与相应应变符合线性比例关系，加载和卸载沿同一直线往应力与相应应变符合线性比例关系，加载和卸载沿同一直线往返变化，完全卸载后无残余应变如图。返变化，完全卸载后无残余应变如图。 因而应力和应变有确定的唯因而应力和应变有确定的唯一关系，其比值称弹性常数，一关系，其比值称弹性常数，或弹性模量。考虑材料各方向或弹性模量。考虑材料各方向性能的异同，可分别建立各向性能的异同，可分别建立各向异性的、正交异性的或各向同异性的、正交异性的或各向同性的线弹性本构模型。性的线弹性本构模型。1、各向同性本构模型、各向同性本构模型 结构中的任何一点，共有结构中的任何一点，共有6个独立的应力分量：个独立的应力分量：即正应力即正应力11、 22 、 33 剪应力剪应力12=21、 23=32 、 31=13 。相应地也有相应地也有6个应变分量：个应变分量：为正应变为正应变11、 22 、 33剪应变剪应变12=21、 23=32 、 31=13 假设材料的各方向同性、有相等的弹性常数，即可建立正应假设材料的各方向同性、有相等的弹性常数，即可建立正应力力-正应变和剪应力正应变和剪应力-剪应变之间的关系如下：剪应变之间的关系如下：这就是众所熟知的广义虎克定律。其中包含了这就是众所熟知的广义虎克定律。其中包含了3个弹性常数：个弹性常数： E 弹性模量（弹性模量（N/mm2）；）； 横向变形系数、即泊松比；横向变形系数、即泊松比； G 剪切模量（剪切模量（N/mm2）。）。且由于且由于独立的弹性常数只有独立的弹性常数只有2个，一般以个，一般以E和和表示。表示。将式（将式（1）合并）合并将式（将式（1）合并后求逆，即得刚度矩阵表示的应力）合并后求逆，即得刚度矩阵表示的应力-应应变关系式：变关系式： 这就是各向同性材料的线弹性本构模型。对于任一种这就是各向同性材料的线弹性本构模型。对于任一种材料，只需测材料，只需测 定或给定其弹性模量定或给定其弹性模量E和泊松比和泊松比，即可，即可确定其全部本构关系。确定其全部本构关系。 各向同性的线弹性本构模型，是迄今发展最成熟，应用最广各向同性的线弹性本构模型，是迄今发展最成熟，应用最广泛的材料本构模型。经典的弹性力学就是以此模型作为物理基泛的材料本构模型。经典的弹性力学就是以此模型作为物理基础，对许多二维、三维结构，包括扳、壳结构等的分析给出了准础，对许多二维、三维结构，包括扳、壳结构等的分析给出了准确的解析解。现今，分析二维和三维结构最常用的有限元方法，确的解析解。现今，分析二维和三维结构最常用的有限元方法，也以此本构模型为基础推导基本公式，并编制成多种通用的或专也以此本构模型为基础推导基本公式，并编制成多种通用的或专用的结构分析程序，例如用的结构分析程序，例如ANSYS、 SAP、ADINA等，已在实际等，已在实际工程中广为应用，卓有成效。工程中广为应用，卓有成效。2、 各向异性和正交异性本构模型各向异性和正交异性本构模型 如果考虑一点的如果考虑一点的6个应力分量和个应力分量和6个应变分量之间的弹性常数都个应变分量之间的弹性常数都不相同，即可建立最一般性材料的各向异性本构关系：不相同，即可建立最一般性材料的各向异性本构关系：式中式中 Kii,ii正应力正应力ii和正应变和正应变ii间的刚度系数，即弹性模量；间的刚度系数，即弹性模量； Gij,ij剪应力剪应力ij和剪应变和剪应变ij间的刚度系数，即剪切模量；间的刚度系数，即剪切模量； Yii,ij正应力正应力ii和剪应变和剪应变ii间的刚度系数；间的刚度系数； Hij,ii剪应力剪应力ij和正应变和正应变ii间的刚度系数。间的刚度系数。 Y和和H合称为耦合刚度系数（模量）合称为耦合刚度系数（模量） 上式中可见，各向异性材料的本构模型中共包含了上式中可见，各向异性材料的本构模型中共包含了66=36个弹个弹性常数（模量），数值可能各不相同，需要通过相应的材性常数（模量），数值可能各不相同，需要通过相应的材料试验分别地加以测定。料试验分别地加以测定。 上面以刚度矩阵表达的各向异性本构关系（上面以刚度矩阵表达的各向异性本构关系（4）式，求逆后可用）式，求逆后可用柔度矩阵表达。柔度矩阵中同样有柔度矩阵表达。柔度矩阵中同样有36个材料的弹性常致，每一个个材料的弹性常致，每一个元素都是正（剪）应变和正（剪）应力对应的柔度系数。元素都是正（剪）应变和正（剪）应力对应的柔度系数。 实际工程中的结构材料都没有如此复杂的力学性能，因而本构实际工程中的结构材料都没有如此复杂的力学性能，因而本构关系可作简化。最典型的是正交异性材料，其力学性能的主要特关系可作简化。最典型的是正交异性材料，其力学性能的主要特点为：点为： 三个方向各有不同的弹性常数（弹性模量和泊松比），但三个方向各有不同的弹性常数（弹性模量和泊松比），但正应正应力的作用不产生剪应变（力的作用不产生剪应变（Y=），剪应力的作用也不产生正应变），剪应力的作用也不产生正应变（H =），），且且不对其他平面产生剪应变不对其他平面产生剪应变。 例如，处于三轴应力状态的混凝土，各方向的正应力值不等，例如，处于三轴应力状态的混凝土，各方向的正应力值不等，又有拉压之分，应有不等的弹性常数值。又有拉压之分，应有不等的弹性常数值。 依据正交异性材料的特点，可将各向异性材料的依据正交异性材料的特点，可将各向异性材料的 6 阶本构方程阶本构方程组（组（4）解耦，降为二个）解耦，降为二个3阶方程组，分别建立正应力阶方程组，分别建立正应力-正应变的正应变的本构关系如下：本构关系如下： 式（式（5）中的刚度矩阵对称，独立的弹性常数只有）中的刚度矩阵对称，独立的弹性常数只有6个，加上式个，加上式（6）中的）中的3个常数，故正交异性材料的独立弹性常数共为个常数，故正交异性材料的独立弹性常数共为9个。个。 若将弹性常数用工程界熟悉的若将弹性常数用工程界熟悉的E、和和G表示，正交异性材料的表示，正交异性材料的本构关系可改写成简明的柔度矩阵形式：本构关系可改写成简明的柔度矩阵形式：剪应力剪应力-剪应变的本构关系如下：剪应变的本构关系如下：式中式中 E1、 E2、 E3 3个相互垂直方向的弹性模量；个相互垂直方向的弹性模量； G12、 G23 、 G31 3个相互垂直方向的剪切模量；个相互垂直方向的剪切模量； 12、应力应力22对方向对方向1的横向变形系数（泊松比），的横向变形系数（泊松比）， 其余类推。其余类推。由于式（由于式（7）中柔度矩阵的对称性，可得）中柔度矩阵的对称性，可得3个附加方程：个附加方程： 故本构关系中同样是故本构关系中同样是9个独立的弹性常数。个独立的弹性常数。式（式（7）和式（）和式（8）分别求逆后，即可得式（）分别求逆后，即可得式（5）和式（）和式（6）中的刚）中的刚度矩阵和相应的元素。度矩阵和相应的元素。4.8.6非线弹性本构关系非线弹性本构关系 混凝土当然不是线弹性材料，上述线弹性本构关系用于分析混混凝土当然不是线弹性材料，上述线弹性本构关系用于分析混凝土结构时，其适用范围和计算精度显然都受限制，因而建立和凝土结构时，其适用范围和计算精度显然都受限制，因而建立和发展了非线（性）弹性类本构关系。这类本构关系的主要特点是发展了非线（性）弹性类本构关系。这类本构关系的主要特点是反映了材料（混凝土）反映了材料（混凝土）应变随着应力的增大而非线性地增长的基应变随着应力的增大而非线性地增长的基本规律。同时，为了简化计算又假设卸载时应变沿加载线返回，本规律。同时，为了简化计算又假设卸载时应变沿加载线返回，全部卸载后不留残余应变，如图，应力与应变有惟一对应关系，全部卸载后不留残余应变，如图，应力与应变有惟一对应关系，因而材料又是弹性的。因而材料又是弹性的。 应力应力-应变曲线的具体形状和计应变曲线的具体形状和计算式，一般都根据混凝土的单轴算式，一般都根据混凝土的单轴和多轴应力状态的试验结果加以和多轴应力状态的试验结果加以标定，或者采用经验公式进行回标定，或者采用经验公式进行回归拟合。归拟合。 非线（性）弹性本构关系的显而易见的优点是：非线（性）弹性本构关系的显而易见的优点是：突出了混凝土非线性变形的主要特点，计算式直接突出了混凝土非线性变形的主要特点，计算式直接由试验数据确定，因而在一次单调比例加载情况下有由试验数据确定，因而在一次单调比例加载情况下有较高的计算精度。较高的计算精度。简化了卸载途径，便于分析和减少计算量；简化了卸载途径，便于分析和减少计算量；可利用线弹性本构关系的已有分析和计算程序；可利用线弹性本构关系的已有分析和计算程序；与其他（非弹性）类本构关系相比，其概念、形式与其他（非弹性）类本构关系相比，其概念、形式和应用都更简单；数学表达式简明、直观，易被工程和应用都更简单；数学表达式简明、直观，易被工程师们接受和应用，因而在至今的工程实践中应用最广。师们接受和应用，因而在至今的工程实践中应用最广。其主要缺点是不能反映混凝土更复杂的性能，如卸载和其主要缺点是不能反映混凝土更复杂的性能，如卸载和加载曲线不重合，存在滞回环，卸载后留有残余应变，加载曲线不重合，存在滞回环，卸载后留有残余应变，多次重复加卸载时的刚度退化，以及三方向应力的不同多次重复加卸载时的刚度退化，以及三方向应力的不同施加途径有不等的应变值等。因此，非线弹性本构关系施加途径有不等的应变值等。因此，非线弹性本构关系不能适用于分析混凝土结构的卸载、加卸载循环和非比不能适用于分析混凝土结构的卸载、加卸载循环和非比例加载等复杂的受力过程。例加载等复杂的受力过程。 已有的混凝土多轴试验和理论研究的文献中，提出了已有的混凝土多轴试验和理论研究的文献中，提出了许多种非线弹性类本构模型，按照对材料各方向性能异许多种非线弹性类本构模型，按照对材料各方向性能异同的考虑，也可分作各向同性的、正交异性的和各向异同的考虑，也可分作各向同性的、正交异性的和各向异性的本构模型。性的本构模型。 各种本构模型的理论概念、建立方法、数学表达形式和计算参各种本构模型的理论概念、建立方法、数学表达形式和计算参数值等都有较大差别，给出的计算结果也不尽相同、甚至有较大数值等都有较大差别，给出的计算结果也不尽相同、甚至有较大出入。而且，各模型的适用范围也有不同，有些模型可应用于三出入。而且，各模型的适用范围也有不同，有些模型可应用于三轴应力的任意拉压组合，且可给出应力轴应力的任意拉压组合，且可给出应力-应变曲线的上升段和下应变曲线的上升段和下降段，另一些模型只限用于二轴应力状态，或受压应力状态，或降段，另一些模型只限用于二轴应力状态，或受压应力状态，或应力应力-应变曲线的上升段。在结构分析时，应慎重地选择合理的应变曲线的上升段。在结构分析时，应慎重地选择合理的混凝土本构模型，必要时进行理论的或试验的验证。混凝土本构模型，必要时进行理论的或试验的验证。 至今国内外在混凝土结构的非线性有限元分析中常用的非线弹至今国内外在混凝土结构的非线性有限元分析中常用的非线弹性本构模型有性本构模型有 Ottosen 模型和模型和 Darwin Pecknold 模型等，有些国模型等，有些国际规范也明确建议采用这两种模型。此二模型的主要计算原则简际规范也明确建议采用这两种模型。此二模型的主要计算原则简要介绍如下，详细的计算公式、推导过程和参数值等请见有关文要介绍如下，详细的计算公式、推导过程和参数值等请见有关文献。献。 1、Ottosen 模型模型 此本构模型属三轴的、此本构模型属三轴的、各向同性的非线弹性类各向同性的非线弹性类模型。它以混凝土的单模型。它以混凝土的单轴受压应力轴受压应力-应变曲线应变曲线方程为基础，推导得多方程为基础，推导得多轴应力状态下混凝土割轴应力状态下混凝土割线弹性模量如图。线弹性模量如图。计算公式如下：计算公式如下： E0 混凝土单轴受压的初始切线弹性模量；混凝土单轴受压的初始切线弹性模量； Ef 混凝土达多轴强度时相应的峰值割线模量（混凝土达多轴强度时相应的峰值割线模量（fc3 /c3），由单轴受压峰值割线模量（由单轴受压峰值割线模量（f3 /3），和三轴应力状态（，和三轴应力状态（1、 2、 fc3)进行计算；进行计算； 非线性指数，取为混凝土当前应力（非线性指数，取为混凝土当前应力（1、 2、 3）和按破坏准则计算强度（和按破坏准则计算强度（ fc1= 1 、 fc2= 2 、 fc3 ）的比值：）的比值： 显然，当混凝土开始受力直至破坏，显然，当混凝土开始受力直至破坏，值由值由0增大至增大至1，其割线，其割线弹性模量由弹性模量由E0单调地减小、直至单调地减小、直至 Ef 。 混混 凝凝 土土 的的 割割 线线 泊泊 松松 比比 按按 图图 取取 值。值。式中式中 0 混凝土的初始泊松比，可取为混凝土的初始泊松比，可取为0.160.20。 可见泊松比值随应力（或可见泊松比值随应力（或）的增大而单）的增大而单调地增长。调地增长。计算公式如下：计算公式如下： Ottosen本构模型给出的割线弹性模量本构模型给出的割线弹性模量 Es和泊松比和泊松比s ，适用于，适用于全量式的非线性（有限元）分析。当按照荷载步长逐步地进行计全量式的非线性（有限元）分析。当按照荷载步长逐步地进行计算时，由当前的混凝土主应力算时，由当前的混凝土主应力（1、 2、 3）值确定非线性指数）值确定非线性指数，再由式（，再由式（10）和式（）和式（12）计算）计算Es和和s代入各向同性的线弹性本代入各向同性的线弹性本构关系式构关系式(1)或式或式(3)，即可行结构的有限元分析运算。由于各荷，即可行结构的有限元分析运算。由于各荷载步的应力水平（或载步的应力水平（或值）不等，值）不等， Es和和s随之变化，完成全部荷随之变化，完成全部荷载步的分析后，可得结构受力的非线性全过程。载步的分析后，可得结构受力的非线性全过程。 （12） 2、Darwin-Pecknold模型模型 此本构关系属二轴的、正交异性的非线弹性模型。其建立增此本构关系属二轴的、正交异性的非线弹性模型。其建立增量式得本构关系计算公式，由前述量式得本构关系计算公式，由前述、二式简化二式简化 得二轴应力状态的形式为：得二轴应力状态的形式为： （13）因柔度矩阵对称因柔度矩阵对称取取柔度矩阵求逆后得刚度矩阵表达的本构关系：柔度矩阵求逆后得刚度矩阵表达的本构关系： （14）（15）对主应力方向则简化为：对主应力方向则简化为： （16）式中式中 E1、 E2 主方向的切线弹性模量；主方向的切线弹性模量； 等效的切线泊松比；等效的切线泊松比； 式中的式中的12和和21二个方向的横向二个方向的横向变形系数（泊松比）。变形系数（泊松比）。 混凝土的二轴切线弹性模量，按定义为其应力混凝土的二轴切线弹性模量，按定义为其应力-应变曲线的斜率应变曲线的斜率（一阶导数），即（一阶导数），即 混凝土的二轴切线弹性模量，按定义为其应力混凝土的二轴切线弹性模量，按定义为其应力-应变曲线的斜应变曲线的斜率（一阶导数），即率（一阶导数），即 （17） 该该模型建议二轴应力模型建议二轴应力-应变曲线方程取为等效的单轴受压应力应变曲线方程取为等效的单轴受压应力-应变曲线方程，但用混凝土的二轴强度应变曲线方程，但用混凝土的二轴强度 fci 和相应峰值应变和相应峰值应变ci代替代替原式中的单轴强度原式中的单轴强度 fc 和峰值应变和峰值应变c 。 混凝土的二轴强度混凝土的二轴强度fci按确定的破坏准则进行计算，二轴峰值应按确定的破坏准则进行计算，二轴峰值应变变ci和等效泊松比和等效泊松比，区别二轴压，区别二轴压-压、拉压、拉-压和拉压和拉-拉应力状态，拉应力状态，各按经验公式进行计算。各按经验公式进行计算。 Darwin-Pecknold本构模型给出的切线弹性模量（本构模型给出的切线弹性模量（E1、E2）和）和泊松比泊松比 ，适用于增量式的非线性（有限元）分析。当按照荷载，适用于增量式的非线性（有限元）分析。当按照荷载步每一步进行计算时，由当前应力（变）状态确定步每一步进行计算时，由当前应力（变）状态确定E1、E2和和值，值，代入式（代入式（15）或式（）或式（16）的本构方程计算应力（或应变）的增量，）的本构方程计算应力（或应变）的增量，和前此的增量和累加作为下一步计算的依据，直至完成全部荷载和前此的增量和累加作为下一步计算的依据，直至完成全部荷载步的分析，获得最终的应力（变）状态和受力的非线性全过程。步的分析，获得最终的应力（变）状态和受力的非线性全过程。3、过镇海建议的模型、过镇海建议的模型 上两个本构模型都是以混凝土单轴受压应力上两个本构模型都是以混凝土单轴受压应力-应变曲线方程为应变曲线方程为基础建立的，所得多轴应力基础建立的，所得多轴应力-应变理论曲线与单轴和二轴受压类应变理论曲线与单轴和二轴受压类的试验曲线相符，但对三轴受压、受拉应力的试验曲线相符，但对三轴受压、受拉应力-应变曲线有不同程应变曲线有不同程度的误差。度的误差。 过镇海提出的正交异性的非线弹性本构模型，根据试验中发现过镇海提出的正交异性的非线弹性本构模型，根据试验中发现的混凝土变形规律，确定了以下原则：的混凝土变形规律，确定了以下原则： 引入一拉应力指标引入一拉应力指标，以区别混凝土在不同应力状态下，以区别混凝土在不同应力状态下的破坏形态和应力的破坏形态和应力-应变曲线的分类；应变曲线的分类； 对三类形状的应力对三类形状的应力-应变曲线采用统一的等效单轴应力应变曲线采用统一的等效单轴应力-应变应变方程，但式中参数值随拉应力指标方程，但式中参数值随拉应力指标和应力比例和应力比例1/2而异，加以而异，加以区别；区别； 引入应力水平指称引入应力水平指称 ，以确定当前应力，以确定当前应力值（值（1、 2、 3）与破坏包络面）与破坏包络面（即多轴强度值（即多轴强度值f1、 f2、 f3）接近程度，反映混凝土塑性变形的发展状况；接近程度，反映混凝土塑性变形的发展状况； 对受压和受拉应力状态下的泊松比分别给出不同的计算公式，对受压和受拉应力状态下的泊松比分别给出不同的计算公式，以反映随应力增大，受压泊松比逐渐增大，而受拉泊松比逐渐减以反映随应力增大，受压泊松比逐渐增大，而受拉泊松比逐渐减小的试验规律。小的试验规律。 正交异性材料的本构方程式（正交异性材料的本构方程式（7）中柔度矩阵对称式（）中柔度矩阵对称式（9） ，若，若改为以主应力（改为以主应力（1、 2、 3）和主应变（和主应变（1、 2、 3）表示，并求逆后可得刚度矩阵表达的本构方程：表示，并求逆后可得刚度矩阵表达的本构方程：（18）式中式中（19）（20）正交异性材料的本构方程式（正交异性材料的本构方程式（7）中柔度矩阵对称式（）中柔度矩阵对称式（9） ，若，若改为以主应力（改为以主应力（1、 2、 3）和主应变（和主应变（1、 2、 3）表示，并求逆后可得刚度矩阵表达的本构方程：表示，并求逆后可得刚度矩阵表达的本构方程： 在结构的非线性（有限元）分析过程中，应用此本构在结构的非线性（有限元）分析过程中，应用此本构模型所需的主方向割线弹性模量（模型所需的主方向割线弹性模量（E1、E2、 E3）可按照）可按照上述原则，由当前应力值（上述原则，由当前应力值（1、 2、 3）确定应力水平确定应力水平指标指标后，依据不同破坏形态设定的等效单轴应力后，依据不同破坏形态设定的等效单轴应力-应变应变曲线方程进行计算。泊松比则区分拉、压应力状态分别曲线方程进行计算。泊松比则区分拉、压应力状态分别选用不同公式进行计算。选用不同公式进行计算。 式（式（18）为全量式本构模型，具体的数学公式、参数）为全量式本构模型，具体的数学公式、参数值和计算步骤、框图等详见文献值和计算步骤、框图等详见文献过镇海，混凝土的强过镇海，混凝土的强度和变形（试验基础和本构关系），北京：清华大学出度和变形（试验基础和本构关系），北京：清华大学出版社，版社，1997。 该文献还按照上述相同原则，推导了增量式本构模型该文献还按照上述相同原则，推导了增量式本构模型和相应的计算公式，可供有限元分析时选用。和相应的计算公式，可供有限元分析时选用。部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！