第二节 矩形、菱形、正方形考点一考点一 与矩形有关的证明及计算与矩形有关的证明及计算例例1 1(2017(2017安徽安徽) )如图，在矩形ABCDABCD中，ABAB5 5，ADAD3 3，动点P P满足S SPABPAB S S矩形ABCDABCD. .则点P P到A A，B B两点距离之和PAPAPBPB的最小值为( () )【分析】 要求动点问题的线段和的最小值，首先根据已知条件得出动点的运动轨迹，然后利用对称的性质确定最小值点，再利用勾股定理即可求解【自主解答自主解答】如解如解图图，设设PABPAB底底边边ABAB上的高上的高为为h h，S SPABPAB S S矩形矩形ABCDABCD， ABhABh ABADABAD，h h2 2，为为定定值值，在，在ADAD上截取上截取AEAE2 2，作，作EFABEFAB，交，交BCBC于于F F，故，故P P点在直点在直线线EFEF上，作点上，作点A A关于关于直直线线EFEF的的对对称点称点AA，连连接接ABAB，交直，交直线线EFEF于点于点P P，此，此时时PAPAPBPB的的值值最小，且最小，且PAPAPBPBABAB . .故故选选D.D. 对以矩形为背景的相关计算，要掌握以下内容：对以矩形为背景的相关计算，要掌握以下内容：(1)(1)矩形的四个角都是直角，一条对角线将矩形分成两个直矩形的四个角都是直角，一条对角线将矩形分成两个直角三角形，可用勾股定理或三角函数求线段的长；角三角形，可用勾股定理或三角函数求线段的长；(2)(2)矩形的对角线相等且互相平分，故可借助对角线的关系矩形的对角线相等且互相平分，故可借助对角线的关系得到全等三角形；得到全等三角形；(3)(3)矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形；矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形；(4)(4)当已知条件中有一个角为当已知条件中有一个角为3030时，应联想到时，应联想到“在直角三在直角三角形中，角形中，3030角所对的直角边等于斜边的一半角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质这一性质1 1如图，矩形如图，矩形ABCDABCD中，中，AOBAOB6060，ABAB2 2，则，则ACAC的长的长为为( ( ) )A A2 B2 B4 C4 C2 D2 D4 4B B2 2如图，矩形ABCDABCD被分成四部分，其中ABEABE、ECFECF、ADFADF的面积分别为2 2、3 3、4 4，则AEFAEF的面积为_7 73 3如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCDABCD中，对角线中，对角线ACAC、BDBD相交于点相交于点O.O.(1)(1)已知已知OAOAOBOB，求证：四边形，求证：四边形ABCDABCD是矩形；是矩形；(2)(2)在在(1)(1)问下，若问下，若ADAD4 4，AODAOD6060，求，求ABAB的长的长(1)(1)证明：在 ABCDABCD中，OAOAOCOC ACAC，OBOBODOD BDBD，又OAOAOBOB，ACACBDBD，四边形ABCDABCD是矩形；(2)(2)解：解：四四边边形形ABCDABCD是矩形，是矩形，BADBAD9090，OAOAODOD，又又AODAOD6060，AODAOD是等是等边边三角形，三角形，ODODADAD4 4，BDBD2OD2OD8 8，在在RtRtABDABD中，中，ABAB 考点二考点二 与菱形有关的证明及计算与菱形有关的证明及计算例例2 2(2015(2015安徽安徽) )如图，矩形如图，矩形ABCDABCD中，中，ABAB8 8，BCBC4 4，点，点E E在在ABAB上，点上，点F F在在CDCD上，点上，点G G、H H在对角线在对角线ACAC上，若四边形上，若四边形EGFHEGFH是是菱形，则菱形，则AEAE的长是的长是( () )【分析】 连接EFEF交ACAC于O O，由四边形EGFHEGFH是菱形，得到FHFHGEGE，FHGFHGEGHEGH，即AGEAGECHFCHF，由四边形ABCDABCD是矩形，得到GAEGAEHCFHCF，通过GAEHCFGAEHCF，得到AGAGCHCH，由EFEF垂直平分GHGH，得OGOGOHOH，即OAOAOCOC，求出AOAO ACAC2 2 ，根据AOEABCAOEABC，即可得到结果【自主解答自主解答】如解图，连接EFEF，交ACAC于点O O，由四边形EGFHEGFH是菱形，可得FHFHGEGE，FHGEFHGE，FHGFHGEGHEGH，AGEAGECHF, CHF, 在矩形ABCDABCD中，ABAB8 8，BCBC4 4，则由勾股定理得ACAC 4 .4 .由矩形性质，得GAEGAEHCFHCF，则GAEHCF(AAGAEHCF(AAS S) )，AGAGCHCH，由菱形的对角线 EFEF垂直平分GHGH，可得OGOGOHOH，EOAC.AGEOAC.AGOGOGCHCHOHOH，即OAOAOC.AOOC.AO ACAC2 2 ，B BAOEAOE9090，BACBACOAEOAE，RtRtAOEAOERtRtABCABC. .则 ，即 ，解得AEAE5.5.故选C.C.【一一题题多解多解】如解如解图图2 2，设设G G点和点和A A点重合，点重合，H H点和点和C C点重合，点重合，设设AEAEx x，则则CECEx x，EBEB8 8x x，在，在RtRtBCEBCE中，中，x x2 24 42 2(8(8x)x)2 2，解得，解得x x5 5，AEAE5.5.方法：与菱形有关的计算，一般有以下三种设问：求角度；方法：与菱形有关的计算，一般有以下三种设问：求角度；求长度求长度( (线段或者周长线段或者周长) )；求面积；求面积(1)(1)求角度时，应注意菱形的四条边相等和对角相等、邻角求角度时，应注意菱形的四条边相等和对角相等、邻角互补等，可利用等腰三角形的性质和平行线的相关性质，转互补等，可利用等腰三角形的性质和平行线的相关性质，转化要求的角，直到找到与已知的角存在的关系；化要求的角，直到找到与已知的角存在的关系；(2)(2)求长度求长度( (线段或者周长线段或者周长) )时，应注意使用等腰三角形的性时，应注意使用等腰三角形的性质；若菱形中存在一个顶角为质；若菱形中存在一个顶角为6060，则连接另外两点的对角，则连接另外两点的对角线所分割的两个三角形为等边三角形，在计算时可借助等边线所分割的两个三角形为等边三角形，在计算时可借助等边三角形的性质进行求解；连接对角线构成直角三角形，则应三角形的性质进行求解；连接对角线构成直角三角形，则应注意使用勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一注意使用勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、含特殊角的直角三角形的性质进行求解；半、含特殊角的直角三角形的性质进行求解；(3)(3)求面积时，可直接利用求面积时，可直接利用S S底底高来求解，也可利用菱形高来求解，也可利用菱形的两条对角线互相垂直，即面积等于对角线之积的一半来进的两条对角线互相垂直，即面积等于对角线之积的一半来进行求解行求解1 1(2018(2018淮安淮安) )如图，菱形如图，菱形 ABCD ABCD 的对角线的对角线 ACAC、BD BD 的的长分别为长分别为 6 6 和和 8 8，则这个菱形的周长是，则这个菱形的周长是( )( )A A20 B20 B24 C24 C40 D40 D4848A A2 2(2018(2018陕陕西西) )如如图图，在菱形，在菱形ABCDABCD中，点中，点E E、F F、G G、H H分分别别是是边边ABAB、BCBC、CDCD和和DADA的中点，的中点，连连接接EFEF、FGFG、GHGH和和HE.HE.若若EHEH2EF2EF，则则下列下列结论结论正确的是正确的是( )( )A AABAB EF BEF BABAB2EF2EFC CABAB EF DEF DABAB EFEFD D考点三考点三 与正方形有关的证明及计算与正方形有关的证明及计算例例3 3(2014(2014安徽安徽) )如图，正方形如图，正方形ABCDABCD的对角线的对角线BDBD长为长为2 2 ，若直线，若直线l l满足：满足：点点D D到直线到直线l l的的距离为距离为 ；A A、C C两点到直线两点到直线l l的距离相等，的距离相等，则符合题意的直线则符合题意的直线l l的条数为的条数为( () )A A1 B1 B2 2C C3 D3 D4 4【分析分析】 连连接接ACAC与与BDBD相交于点相交于点O O，根据正方形的性，根据正方形的性质质求出求出ODOD ，然后根据点到直，然后根据点到直线线的距离和平行的距离和平行线间线间的距离相等的距离相等解答解答【自主解答自主解答】如解如解图图，连连接接ACAC交交BDBD于点于点O O，因因为为正方形正方形ABCDABCD的的对对角角线长为线长为2 2 ，所以，所以ODOD ，所以，所以满满足点足点D D到直到直线线l l的距离的距离为为 ，且点，且点A A、C C两点到直两点到直线线l l的距离相等的的距离相等的直直线线如解如解图图中的中的l l1 1(l(l1 1AC)AC)，根据，根据对对称性可知在称性可知在D D的另一的另一侧侧同同样样存在一条直存在一条直线线l l2 2符合符合题题意，因此，符合意，因此，符合题题意的直意的直线线有有2 2条故条故选选B.B.总结：对于正方形性质的有关计算问题，应注意合理运用其总结：对于正方形性质的有关计算问题，应注意合理运用其性质及由性质得到的一些结论：性质及由性质得到的一些结论：1 1四边相等，四角相等且均为四边相等，四角相等且均为9090；2 2对角线垂直平分且相等；对角线垂直平分且相等；3 3对角线平分一组对角得到对角线平分一组对角得到4545角；角；4 4边长与对角线的长度比为边长与对角线的长度比为1 .1 .1 1(2018(2018恩施恩施) )如图所示，在正方形如图所示，在正方形 ABCDABCD中，中，G G 为为 CDCD边中点，连接边中点，连接 AG AG 并延并延长交长交 BC BC 边的延长线于边的延长线于 E E 点，对角线点，对角线 BDBD交交 AG AG 于于 F F 点，已知点，已知 FG FG 2 2，则线段，则线段 AE AE 的长度的长度为为( )( )A A6 B. 8 C6 B. 8 C10 D10 D1212D D2 2(2018(2018舟山舟山) ) 如图，等边如图，等边AEFAEF的顶点的顶点E E，F F在矩形在矩形ABCDABCD的边的边BCBC，CDCD上，且上，且CEFCEF45.45.求证：矩形求证：矩形ABCDABCD是正方形是正方形证明：证明：四边形四边形ABCDABCD是矩形，是矩形，B BD DC C9090，AEFAEF是等边三角形，是等边三角形，AEAEAFAF，AEFAEFAFEAFE6060，又又CEFCEF4545，CFECFECEFCEF4545，AFDAFDAEBAEB180180454560607575，ABEADF(AAABEADF(AAS S) )，ABABADAD，矩形矩形ABCDABCD是正方形是正方形