第四节第四节两类问题两类问题: 在收敛域内在收敛域内和函数和函数求求 和和展展 开开本节本节内容内容:一、泰勒一、泰勒 ( Taylor ) 级数级数 二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数 函数展开成幂级数函数展开成幂级数 第十三章第十三章 1一、泰勒一、泰勒 ( Taylor ) 级数级数 其中其中( 在在 x 与与 x0 之间之间)称为称为拉格朗日余项拉格朗日余项 .则在则在若函数若函数的某邻域内具有的某邻域内具有 n + 1 阶导数阶导数, 此式称为此式称为 f (x) 的的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式 ,该邻域内有该邻域内有 :2为为f (x) 的的泰勒级数泰勒级数 . 则称则称当当x0 = 0 时时, 泰勒级数又称为泰勒级数又称为麦克劳林级数麦克劳林级数 .1) 对此级数对此级数, 它的收敛域是什么它的收敛域是什么 ？2) 在收敛域上在收敛域上 , 和函数是否为和函数是否为 f (x) ?待解决的问题待解决的问题 :若函数若函数的某邻域内具有任意阶导数的某邻域内具有任意阶导数, 3定理定理1 .各阶导数各阶导数, 则则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的在该邻域内能展开成泰勒级数的充要充要条件条件是是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足的泰勒公式中的余项满足:证明证明:令令设函数设函数 f (x) 在在点点 x0 的某一邻域的某一邻域 内内具有具有4定理定理2. 若若 f (x) 能展成能展成 x 的幂级数的幂级数, 则这种展开式是则这种展开式是唯一唯一的的 , 且与它的麦克劳林级数相同且与它的麦克劳林级数相同.证证: 设设 f (x) 所展成的幂级数为所展成的幂级数为则则显然结论成立显然结论成立 .5二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数 1. 直接展开法直接展开法由泰勒级数理论可知由泰勒级数理论可知, 第一步第一步 求函数及其求函数及其各阶导数在各阶导数在 x = 0 处的值处的值 ;第二步第二步 写出写出麦克劳林级数麦克劳林级数 , 并求出其并求出其收敛半径收敛半径 R ; 第三步第三步 判别在收敛区间判别在收敛区间(R, R) 内内是否为是否为骤如下骤如下 :展开方法展开方法直接展开法直接展开法 利用泰勒公式利用泰勒公式间接展开法间接展开法 利用已知其级数展开式利用已知其级数展开式0. 的函数展开的函数展开6例例1. 将函数将函数展开成展开成 x 的幂级数的幂级数. 解解: 其收敛半径为其收敛半径为 对任何有限数对任何有限数 x , 其余项满足其余项满足故故( 在在0与与x 之间之间)故得故得级数级数 7例例2. 将将展开成展开成 x 的幂级数的幂级数.解解: 得得级数级数:其收敛半径为其收敛半径为 对任何有限数对任何有限数 x , 其余项满足其余项满足8类似可推出类似可推出:9例例3. 将函数将函数展开成展开成 x 的幂级数的幂级数, 其中其中m为任意常数为任意常数 . 解解: 易求出易求出 于是得于是得 级数级数由于由于级数在开区间级数在开区间 (1, 1) 内收敛内收敛. 因此对任意常数因此对任意常数 m, 10推导推导则则为避免研究余项为避免研究余项 , 设此级数的和函数为设此级数的和函数为11称为称为二项展开式二项展开式 .说明：说明：(1) 在在 x1 处的收敛性与处的收敛性与 m 有关有关 .(2) 当当 m 为正整数时为正整数时, 级数为级数为 x 的的 m 次多项式次多项式, 上上式式 就是代数学中的就是代数学中的二项式定理二项式定理.由此得由此得 12对应对应的二项展开式分别为的二项展开式分别为142. 间接展开法间接展开法利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 例例4. 将函数将函数展开成展开成 x 的幂级数的幂级数.解解: 因为因为把把 x 换成换成, 得得将所给函数展开成将所给函数展开成 幂级数幂级数. 15于是于是, ,有有同理同理, ,由由把把 x 换成换成, 得得于是于是, ,有有16例例5. 将函数将函数展开成展开成 x 的幂级数的幂级数.解解: 从从 0 到到 x 积分积分, 得得定义且连续定义且连续, 区间为区间为利用此题可得利用此题可得上式右端的幂级数在上式右端的幂级数在 x 1 收敛收敛 ,所以展开式对所以展开式对 x 1 也是成立的也是成立的,于是收敛于是收敛17例例6. 将将展成展成解解: 的幂级数的幂级数. 181920例例4解解21例例5解解22例例6解解23例例7解解24例例8. 将将展成展成 x1 的幂级数的幂级数. 解解: 25内容小结内容小结1. 函数的幂级数展开法函数的幂级数展开法(1) 直接展开法直接展开法 利用泰勒公式利用泰勒公式 ;(2) 间接展开法间接展开法 利用幂级数的性质及已知展开利用幂级数的性质及已知展开2. 常用函数的幂级数展开式常用函数的幂级数展开式式的函数式的函数 .26当当 m = 1 时时27思考与练习思考与练习1. 函数函数处处 “有泰勒级数有泰勒级数” 与与 “能展成泰能展成泰勒级勒级数数” 有何不同有何不同 ?提示提示: 后者必需证明后者必需证明前者无此要求前者无此要求.2. 如何求如何求的幂级数的幂级数 ?提示提示:2829备用题备用题 1.将将下列函数展开成下列函数展开成 x 的幂级数的幂级数解解:x1 时时, 此级数条件收敛此级数条件收敛,因此因此 302. 将将在在x = 0处展为幂级数处展为幂级数.解解:因此因此31332333435练练 习习 题题36练习题答案练习题答案3738