第第3章章 流体静力学流体静力学n n所谓静止流体是指无相对运动的流体，即无流动的流体，是流体所谓静止流体是指无相对运动的流体，即无流动的流体，是流体所谓静止流体是指无相对运动的流体，即无流动的流体，是流体所谓静止流体是指无相对运动的流体，即无流动的流体，是流体的特殊情况。静止流体是相对于运动流体而言的。的特殊情况。静止流体是相对于运动流体而言的。的特殊情况。静止流体是相对于运动流体而言的。的特殊情况。静止流体是相对于运动流体而言的。n n流体静力学的任务就是研究静止流体的力学性质，分析其各个物流体静力学的任务就是研究静止流体的力学性质，分析其各个物流体静力学的任务就是研究静止流体的力学性质，分析其各个物流体静力学的任务就是研究静止流体的力学性质，分析其各个物理量之间的相互关系。理量之间的相互关系。理量之间的相互关系。理量之间的相互关系。n n主要解决两个问题：主要解决两个问题：主要解决两个问题：主要解决两个问题： 为后面的流体动力学奠定受力分析基础；为后面的流体动力学奠定受力分析基础；为后面的流体动力学奠定受力分析基础；为后面的流体动力学奠定受力分析基础；n n 流体静力学分析的方法和某些结果可直接应用于科学和工程流体静力学分析的方法和某些结果可直接应用于科学和工程流体静力学分析的方法和某些结果可直接应用于科学和工程流体静力学分析的方法和某些结果可直接应用于科学和工程实际。实际。实际。实际。3-13-13-13-1作用在流体上的力作用在流体上的力作用在流体上的力作用在流体上的力一一一一. .质量力质量力质量力质量力n n 考察流体团块的受力状况。如图考察流体团块的受力状况。如图考察流体团块的受力状况。如图考察流体团块的受力状况。如图 所示的流体团，所示的流体团，所示的流体团，所示的流体团，体积为体积为体积为体积为 V V ，表面积为，表面积为，表面积为，表面积为 A A 。n n 这个流体团所受外力可分为两类：质量力和表这个流体团所受外力可分为两类：质量力和表这个流体团所受外力可分为两类：质量力和表这个流体团所受外力可分为两类：质量力和表面力。面力。面力。面力。n n质量力又称体积力，是作用在流体上的非接触力，或称为远程力（意为远质量力又称体积力，是作用在流体上的非接触力，或称为远程力（意为远质量力又称体积力，是作用在流体上的非接触力，或称为远程力（意为远质量力又称体积力，是作用在流体上的非接触力，或称为远程力（意为远距离作用力），如地球引力和运动惯性力等。距离作用力），如地球引力和运动惯性力等。距离作用力），如地球引力和运动惯性力等。距离作用力），如地球引力和运动惯性力等。n n质量力与流体的质量有关。如图质量力与流体的质量有关。如图质量力与流体的质量有关。如图质量力与流体的质量有关。如图 所示，若微元体所示，若微元体所示，若微元体所示，若微元体 v v 的密度为的密度为的密度为的密度为 P P ，所受，所受，所受，所受到的质量力为到的质量力为到的质量力为到的质量力为 F F ，则单位质量流体所受的质量力，则单位质量流体所受的质量力，则单位质量流体所受的质量力，则单位质量流体所受的质量力 f f 可定义为：可定义为：可定义为：可定义为：n n 一般来说，流体的质量力是变化的，因此单位质量力是时间和空间的函数，一般来说，流体的质量力是变化的，因此单位质量力是时间和空间的函数，一般来说，流体的质量力是变化的，因此单位质量力是时间和空间的函数，一般来说，流体的质量力是变化的，因此单位质量力是时间和空间的函数， 可表示为：可表示为：可表示为：可表示为：二二二二 表面力表面力表面力表面力（实际上是作用在流体表面上的力）（实际上是作用在流体表面上的力）（实际上是作用在流体表面上的力）（实际上是作用在流体表面上的力）n n表面力是由相邻流体质点或其他物体直接作用于流体微团表面的力，用表面力是由相邻流体质点或其他物体直接作用于流体微团表面的力，用表面力是由相邻流体质点或其他物体直接作用于流体微团表面的力，用表面力是由相邻流体质点或其他物体直接作用于流体微团表面的力，用 P P 表示作用在法线为表示作用在法线为表示作用在法线为表示作用在法线为 n n 的微元面积的微元面积的微元面积的微元面积 A A 上的表面力，则单位面积受上的表面力，则单位面积受上的表面力，则单位面积受上的表面力，则单位面积受到的表面力到的表面力到的表面力到的表面力 P Pn n 可定义为可定义为可定义为可定义为n n 用分量式可表示为用分量式可表示为用分量式可表示为用分量式可表示为n 作用在体积为作用在体积为作用在体积为作用在体积为 v v 的流体团上的总质量力的流体团上的总质量力的流体团上的总质量力的流体团上的总质量力 F F mm就可以表示为就可以表示为就可以表示为就可以表示为n n p pn n同样是时间和空间的函数，即同样是时间和空间的函数，即同样是时间和空间的函数，即同样是时间和空间的函数，即n n 由于是单位面积上的力，所以由于是单位面积上的力，所以由于是单位面积上的力，所以由于是单位面积上的力，所以 p pn n通常称为微元面上的应力。通常称为微元面上的应力。通常称为微元面上的应力。通常称为微元面上的应力。n n 如果如果如果如果p p n n不垂直表面，则可将其分解为分别与表面垂直和平行的两个分不垂直表面，则可将其分解为分别与表面垂直和平行的两个分不垂直表面，则可将其分解为分别与表面垂直和平行的两个分不垂直表面，则可将其分解为分别与表面垂直和平行的两个分 量，量，量，量，垂直分量称为正应力，平行分量称为切应力。垂直分量称为正应力，平行分量称为切应力。垂直分量称为正应力，平行分量称为切应力。垂直分量称为正应力，平行分量称为切应力。三三三三. .静止流场中的应力性质静止流场中的应力性质静止流场中的应力性质静止流场中的应力性质n n对于静止流场表面力就是正应力或法向应力，即对于静止流场表面力就是正应力或法向应力，即对于静止流场表面力就是正应力或法向应力，即对于静止流场表面力就是正应力或法向应力，即n 可以证明：静止流体中的法向应力值是各向同性的，即可以证明：静止流体中的法向应力值是各向同性的，即可以证明：静止流体中的法向应力值是各向同性的，即可以证明：静止流体中的法向应力值是各向同性的，即n n p p 通常称为流体静压力，或简称压力，它总是取正值。通常称为流体静压力，或简称压力，它总是取正值。通常称为流体静压力，或简称压力，它总是取正值。通常称为流体静压力，或简称压力，它总是取正值。n n 于是，作用在体积为于是，作用在体积为于是，作用在体积为于是，作用在体积为 v v 、表面积为、表面积为、表面积为、表面积为 A A 的静止流体团上的总表面力的静止流体团上的总表面力的静止流体团上的总表面力的静止流体团上的总表面力F FA A为：为：为：为：n 压力压力压力压力 p p 的单位是的单位是的单位是的单位是 N m N m 一一一一“ “或或或或 Pa Pa （帕斯卡）。（帕斯卡）。（帕斯卡）。（帕斯卡）。3. 2 流体静力学方程及基本特性流体静力学方程及基本特性一一一一. .流体静力学方程流体静力学方程流体静力学方程流体静力学方程n n 物体处于静止的必要条件是：作用在物体上的外力和外力矩的总物体处于静止的必要条件是：作用在物体上的外力和外力矩的总物体处于静止的必要条件是：作用在物体上的外力和外力矩的总物体处于静止的必要条件是：作用在物体上的外力和外力矩的总和分别为零。即和分别为零。即和分别为零。即和分别为零。即n n 根据式（根据式（根据式（根据式（ 3 - 4 3 - 4 ）和式（）和式（）和式（）和式（ 3 -9 ) 3 -9 ) ，对于流体团块，作用在上面的总力为，对于流体团块，作用在上面的总力为，对于流体团块，作用在上面的总力为，对于流体团块，作用在上面的总力为n 由奥一高定理由奥一高定理由奥一高定理由奥一高定理 代入式（代入式（代入式（代入式（ 3 -12 3 -12 ）即：）即：）即：）即：n n上式为流体静力学的基本方程，其应用十分广泛。它不光用在流体静力学上式为流体静力学的基本方程，其应用十分广泛。它不光用在流体静力学上式为流体静力学的基本方程，其应用十分广泛。它不光用在流体静力学上式为流体静力学的基本方程，其应用十分广泛。它不光用在流体静力学的受力分析中，也可以对运动的流体处于平衡状态时的受力分析。的受力分析中，也可以对运动的流体处于平衡状态时的受力分析。的受力分析中，也可以对运动的流体处于平衡状态时的受力分析。的受力分析中，也可以对运动的流体处于平衡状态时的受力分析。即即即即由由由由也可以得到也可以得到也可以得到也可以得到n n 将上式写成分量的形式：将上式写成分量的形式：将上式写成分量的形式：将上式写成分量的形式：二二二二. .流场的基本特征流场的基本特征流场的基本特征流场的基本特征( 1 ( 1 ）流体静止质量力的必要条件）流体静止质量力的必要条件）流体静止质量力的必要条件）流体静止质量力的必要条件( 2 ( 2 ）质量力有势）质量力有势）质量力有势）质量力有势该式就是不可压缩流体静止的必要条件。该式就是不可压缩流体静止的必要条件。该式就是不可压缩流体静止的必要条件。该式就是不可压缩流体静止的必要条件。按矢量运算的定义，上式存在一个标量函数按矢量运算的定义，上式存在一个标量函数按矢量运算的定义，上式存在一个标量函数按矢量运算的定义，上式存在一个标量函数 U U ，使不可压缩流体的质量力，使不可压缩流体的质量力，使不可压缩流体的质量力，使不可压缩流体的质量力被表示成如下的关系被表示成如下的关系被表示成如下的关系被表示成如下的关系流体质量力满足这个关系就称之为质量力有势，流体质量力满足这个关系就称之为质量力有势，流体质量力满足这个关系就称之为质量力有势，流体质量力满足这个关系就称之为质量力有势， U U 被称为质量力势函数。被称为质量力势函数。被称为质量力势函数。被称为质量力势函数。因此质量力有势是不可压缩流体静止的必要条件。其负号表示质量力做正因此质量力有势是不可压缩流体静止的必要条件。其负号表示质量力做正因此质量力有势是不可压缩流体静止的必要条件。其负号表示质量力做正因此质量力有势是不可压缩流体静止的必要条件。其负号表示质量力做正功等于质量力势的减少。功等于质量力势的减少。功等于质量力势的减少。功等于质量力势的减少。此时等压面也就是此时等压面也就是此时等压面也就是此时等压面也就是等势面。因此，等压面的重要性质是：作用于静止流体中任一等势面。因此，等压面的重要性质是：作用于静止流体中任一等势面。因此，等压面的重要性质是：作用于静止流体中任一等势面。因此，等压面的重要性质是：作用于静止流体中任一点的质量力必然垂直于通过该点的等压面。点的质量力必然垂直于通过该点的等压面。点的质量力必然垂直于通过该点的等压面。点的质量力必然垂直于通过该点的等压面。等压面概念对解决许多流体平衡问题很有用处，它是液柱式压力计测压原理的重要等压面概念对解决许多流体平衡问题很有用处，它是液柱式压力计测压原理的重要等压面概念对解决许多流体平衡问题很有用处，它是液柱式压力计测压原理的重要等压面概念对解决许多流体平衡问题很有用处，它是液柱式压力计测压原理的重要基础。基础。基础。基础。根据等压面性质，我们可以在已知质量力的方向，去确定等压面的形状，或已知等根据等压面性质，我们可以在已知质量力的方向，去确定等压面的形状，或已知等根据等压面性质，我们可以在已知质量力的方向，去确定等压面的形状，或已知等根据等压面性质，我们可以在已知质量力的方向，去确定等压面的形状，或已知等压面的形状去确定质量力的方向。压面的形状去确定质量力的方向。压面的形状去确定质量力的方向。压面的形状去确定质量力的方向。( 3 ( 3 ）有势质量力场中静止流体的等压面和等势面）有势质量力场中静止流体的等压面和等势面）有势质量力场中静止流体的等压面和等势面）有势质量力场中静止流体的等压面和等势面在静流体中压力相等的各点所构成的面称之为在静流体中压力相等的各点所构成的面称之为在静流体中压力相等的各点所构成的面称之为在静流体中压力相等的各点所构成的面称之为“ “等压面等压面等压面等压面” ”。也即在。也即在。也即在。也即在等压等压等压等压面上面上面上面上P=P=常数，常数，常数，常数，dPdP=0=0；由此可知由此可知由此可知由此可知根据等压面的特性可以更普遍地证明：两种不同流体处于平衡状态时，其根据等压面的特性可以更普遍地证明：两种不同流体处于平衡状态时，其根据等压面的特性可以更普遍地证明：两种不同流体处于平衡状态时，其根据等压面的特性可以更普遍地证明：两种不同流体处于平衡状态时，其相互接触的（但互不相混）分界面必然是等压面。相互接触的（但互不相混）分界面必然是等压面。相互接触的（但互不相混）分界面必然是等压面。相互接触的（但互不相混）分界面必然是等压面。重要性质：重要性质：重要性质：重要性质：说明正压流场中等压面与等密度面重合，说明正压流场中等压面与等密度面重合，说明正压流场中等压面与等密度面重合，说明正压流场中等压面与等密度面重合，这是正压流场的根据静力学方程（这是正压流场的根据静力学方程（这是正压流场的根据静力学方程（这是正压流场的根据静力学方程（ 3 - 15 ) 3 - 15 ) ，正压流场的流体静力学基，正压流场的流体静力学基，正压流场的流体静力学基，正压流场的流体静力学基本方程可以写为本方程可以写为本方程可以写为本方程可以写为将上式两边取旋度将上式两边取旋度将上式两边取旋度将上式两边取旋度( 4 ( 4 ）正压流场）正压流场）正压流场）正压流场流体的密度只是压力的函数的流场称之为正压流场，即在正压流场中流体的密度只是压力的函数的流场称之为正压流场，即在正压流场中流体的密度只是压力的函数的流场称之为正压流场，即在正压流场中流体的密度只是压力的函数的流场称之为正压流场，即在正压流场中由于等压面与等密度面重合，因此压力和密度的梯度由于等压面与等密度面重合，因此压力和密度的梯度由于等压面与等密度面重合，因此压力和密度的梯度由于等压面与等密度面重合，因此压力和密度的梯度 p p 、 必然是平必然是平必然是平必然是平行矢量，所以行矢量，所以行矢量，所以行矢量，所以n n从以上各式可以得出这样的结论：从以上各式可以得出这样的结论：从以上各式可以得出这样的结论：从以上各式可以得出这样的结论：n n处于静止的正压流场，其质量力必然有势；处于静止的正压流场，其质量力必然有势；处于静止的正压流场，其质量力必然有势；处于静止的正压流场，其质量力必然有势；n n反之，在质量力有势的条件下，非正压流场不可能处于静止状态，处反之，在质量力有势的条件下，非正压流场不可能处于静止状态，处反之，在质量力有势的条件下，非正压流场不可能处于静止状态，处反之，在质量力有势的条件下，非正压流场不可能处于静止状态，处于静止状态的必然是正压流场。于静止状态的必然是正压流场。于静止状态的必然是正压流场。于静止状态的必然是正压流场。n n例例例例 3 -1 3 -1 流场静止条件的应用流场静止条件的应用流场静止条件的应用流场静止条件的应用P33P33因此因此因此因此即静止正压流场的质量力有势。即静止正压流场的质量力有势。即静止正压流场的质量力有势。即静止正压流场的质量力有势。3 . 3 3 . 3 某些流体静力学基本问题某些流体静力学基本问题某些流体静力学基本问题某些流体静力学基本问题n n在工程技术中，许多的工业过程与流体静力学相关，研究这些问在工程技术中，许多的工业过程与流体静力学相关，研究这些问在工程技术中，许多的工业过程与流体静力学相关，研究这些问在工程技术中，许多的工业过程与流体静力学相关，研究这些问题就需要流体静力学的知识。题就需要流体静力学的知识。题就需要流体静力学的知识。题就需要流体静力学的知识。n n一一一一、压力分布与受力分析压力分布与受力分析压力分布与受力分析压力分布与受力分析对于流体静力学基本方程：对于流体静力学基本方程：对于流体静力学基本方程：对于流体静力学基本方程：于是，在直角坐标系中，静止液体中压力的全微分可用体积力的形式来表示。于是，在直角坐标系中，静止液体中压力的全微分可用体积力的形式来表示。于是，在直角坐标系中，静止液体中压力的全微分可用体积力的形式来表示。于是，在直角坐标系中，静止液体中压力的全微分可用体积力的形式来表示。二二二二. .重力场中静止液体的压力公式重力场中静止液体的压力公式重力场中静止液体的压力公式重力场中静止液体的压力公式如图所示，液体所受到的质量力只有重力，即如图所示，液体所受到的质量力只有重力，即如图所示，液体所受到的质量力只有重力，即如图所示，液体所受到的质量力只有重力，即其分量分别为：其分量分别为：其分量分别为：其分量分别为：于是，压力全微分可表示成于是，压力全微分可表示成于是，压力全微分可表示成于是，压力全微分可表示成当当当当则则则则这就是重力场下均质静止液体中的压力分布公式。这就是重力场下均质静止液体中的压力分布公式。这就是重力场下均质静止液体中的压力分布公式。这就是重力场下均质静止液体中的压力分布公式。3-4 3-4 3-4 3-4 管式管式管式管式压压力力力力计计一、单管压力计一、单管压力计一、单管压力计一、单管压力计如图所示，如图所示，如图所示，如图所示， 管的上端与大气相通，下端与测压点相连。在管的上端与大气相通，下端与测压点相连。在管的上端与大气相通，下端与测压点相连。在管的上端与大气相通，下端与测压点相连。在压力作用下液体沿测压管上升某一高度压力作用下液体沿测压管上升某一高度压力作用下液体沿测压管上升某一高度压力作用下液体沿测压管上升某一高度h h，该高度就表示测，该高度就表示测，该高度就表示测，该高度就表示测点的表压值，点的表压值，点的表压值，点的表压值，MM点表示表压力。点表示表压力。点表示表压力。点表示表压力。n n优点是：结构简单且较准确；优点是：结构简单且较准确；优点是：结构简单且较准确；优点是：结构简单且较准确；n n缺点是：只能测量液体压力，不能测量气体压力，测量范缺点是：只能测量液体压力，不能测量气体压力，测量范缺点是：只能测量液体压力，不能测量气体压力，测量范缺点是：只能测量液体压力，不能测量气体压力，测量范围小，一般测小于十分之一工程大气压。围小，一般测小于十分之一工程大气压。围小，一般测小于十分之一工程大气压。围小，一般测小于十分之一工程大气压。例例例例 1 1 有一容器内盛水，液面表面压力为有一容器内盛水，液面表面压力为有一容器内盛水，液面表面压力为有一容器内盛水，液面表面压力为 p p0 0 = 107.91 x 10 = 107.91 x 103 3 N Nmm2 2（= 1. 10 x10= 1. 10 x104 4 kgfkgfmm2 2），容器液面高标尺读数为），容器液面高标尺读数为），容器液面高标尺读数为），容器液面高标尺读数为 h = 0 . 5 h = 0 . 5 米。求测压管液面标高的标尺读数米。求测压管液面标高的标尺读数米。求测压管液面标高的标尺读数米。求测压管液面标高的标尺读数 H H 为为为为若干？（如图若干？（如图若干？（如图若干？（如图) )解解解解 取取取取 1 -1 1 -1 水平面（为等压面），从测压管水平面（为等压面），从测压管水平面（为等压面），从测压管水平面（为等压面），从测压管液面高度可知液体平衡条件为：液面高度可知液体平衡条件为：液面高度可知液体平衡条件为：液面高度可知液体平衡条件为：同样，亦可根据已知测压管液面标高的标尺读数同样，亦可根据已知测压管液面标高的标尺读数同样，亦可根据已知测压管液面标高的标尺读数同样，亦可根据已知测压管液面标高的标尺读数 H H 值，值，值，值， 反求容器内液反求容器内液反求容器内液反求容器内液面表压面表压面表压面表压 P P0 0 值。值。值。值。可解出：可解出：可解出：可解出：mm解毕解毕解毕解毕. .二、二、二、二、 U U 形管测压计形管测压计形管测压计形管测压计n n如图所示如图所示如图所示如图所示 U U 形管压力计，对于形管压力计，对于形管压力计，对于形管压力计，对于A A点的表压为：点的表压为：点的表压为：点的表压为：由于由于由于由于 B B 点与点与点与点与 C C 点在同一水平线上，即处于同一等压点在同一水平线上，即处于同一等压点在同一水平线上，即处于同一等压点在同一水平线上，即处于同一等压面上。因而有：面上。因而有：面上。因而有：面上。因而有：+ P+ P0 0+ P+ P0 0如果测量气体压力，由于气体重度如果测量气体压力，由于气体重度如果测量气体压力，由于气体重度如果测量气体压力，由于气体重度 1 1 远小于液体重度远小于液体重度远小于液体重度远小于液体重度 2 2 ，则容器内，则容器内，则容器内，则容器内A A点流体点流体点流体点流体表压可近似地等于：表压可近似地等于：表压可近似地等于：表压可近似地等于：三三三三. . 多多多多U U 形管压力计形管压力计形管压力计形管压力计对图中各对图中各对图中各对图中各 U U 形管连续应用流体静压力基本方程，形管连续应用流体静压力基本方程，形管连续应用流体静压力基本方程，形管连续应用流体静压力基本方程，就可得就可得就可得就可得若被测流体的压力超过若被测流体的压力超过若被测流体的压力超过若被测流体的压力超过 3 3 个大气压时，可把几个个大气压时，可把几个个大气压时，可把几个个大气压时，可把几个 U U 形管串联，组成形管串联，组成形管串联，组成形管串联，组成 U U 形多管测压计如图所示。形多管测压计如图所示。形多管测压计如图所示。形多管测压计如图所示。+ P+ P0 0将上述方程组累加，则得将上述方程组累加，则得将上述方程组累加，则得将上述方程组累加，则得 A A 点的压力为点的压力为点的压力为点的压力为+P+P0 0若若若若n n支支支支U U形管串联，则有：形管串联，则有：形管串联，则有：形管串联，则有：+ P P0 0当测量的压力为气体时，当测量的压力为气体时，当测量的压力为气体时，当测量的压力为气体时， 1 1可以忽略不计可以忽略不计。则：。则：。则：。则：+ P P0 03-53-53-53-5 平面上的液体总压力平面上的液体总压力平面上的液体总压力平面上的液体总压力一、总压力大小一、总压力大小一、总压力大小一、总压力大小如图所示与水平成如图所示与水平成如图所示与水平成如图所示与水平成 倾倾倾倾角的斜平面角的斜平面角的斜平面角的斜平面 A A上取一微元上取一微元上取一微元上取一微元面积面积面积面积 dAdA ，其形心位于水深，其形心位于水深，其形心位于水深，其形心位于水深 h h 处，液体作用在微元面积处，液体作用在微元面积处，液体作用在微元面积处，液体作用在微元面积上表压力的合力为：上表压力的合力为：上表压力的合力为：上表压力的合力为：则总压力则总压力则总压力则总压力P P为：为：为：为：其中其中其中其中对于本例即对于本例即对于本例即对于本例即代入上式，则：代入上式，则：代入上式，则：代入上式，则：(1)(1)n n它表明作用在平面它表明作用在平面它表明作用在平面它表明作用在平面 A A 的液体总压力，等于浸水面积的液体总压力，等于浸水面积的液体总压力，等于浸水面积的液体总压力，等于浸水面积 A A 与形心点的与形心点的与形心点的与形心点的静压力静压力静压力静压力 h hc c的乘积。的乘积。的乘积。的乘积。n n可理解为一假想体积的液重，即以浸水面积可理解为一假想体积的液重，即以浸水面积可理解为一假想体积的液重，即以浸水面积可理解为一假想体积的液重，即以浸水面积 A A 为底，面积为底，面积为底，面积为底，面积 A A 的形的形的形的形心淹没深度心淹没深度心淹没深度心淹没深度h hc c为高的这样一个体积包围的液体重量。为高的这样一个体积包围的液体重量。为高的这样一个体积包围的液体重量。为高的这样一个体积包围的液体重量。A Ahchc二、总压力的作用点（即压力中心座标二、总压力的作用点（即压力中心座标二、总压力的作用点（即压力中心座标二、总压力的作用点（即压力中心座标 y yDD点）点）点）点）n n 如图，设总压力的作用点为如图，设总压力的作用点为如图，设总压力的作用点为如图，设总压力的作用点为 D D ，通常称，通常称，通常称，通常称DD为压力中心。为压力中心。为压力中心。为压力中心。n n 压力中心座标压力中心座标压力中心座标压力中心座标 y yDD可根据力学的合力矩定可根据力学的合力矩定可根据力学的合力矩定可根据力学的合力矩定理来确定：即总压力对理来确定：即总压力对理来确定：即总压力对理来确定：即总压力对 x x 轴的力矩等于各轴的力矩等于各轴的力矩等于各轴的力矩等于各微元面积微分压力对二轴力矩的代数和。微元面积微分压力对二轴力矩的代数和。微元面积微分压力对二轴力矩的代数和。微元面积微分压力对二轴力矩的代数和。亦即亦即亦即亦即因为因为因为因为故故故故是面积姓对二轴的是面积姓对二轴的是面积姓对二轴的是面积姓对二轴的 J J 质性矩，所以压力中心座标质性矩，所以压力中心座标质性矩，所以压力中心座标质性矩，所以压力中心座标y yDD 为为为为式中式中式中式中(2)(2)由惯性矩的平行移轴定理知：由惯性矩的平行移轴定理知：由惯性矩的平行移轴定理知：由惯性矩的平行移轴定理知：n n这表明液体总压力这表明液体总压力这表明液体总压力这表明液体总压力P P垂直指向平面垂直指向平面垂直指向平面垂直指向平面A A，并等效地作用在的压力中心，并等效地作用在的压力中心，并等效地作用在的压力中心，并等效地作用在的压力中心 D D 点上。点上。点上。点上。n n表中列出几种常见的规则平面形心座标及形心惯性矩表中列出几种常见的规则平面形心座标及形心惯性矩表中列出几种常见的规则平面形心座标及形心惯性矩表中列出几种常见的规则平面形心座标及形心惯性矩 J Jcxcx的计算公式。的计算公式。的计算公式。的计算公式。n n例例例例 题题题题 有一矩形平壁，两侧均受一有重度为有一矩形平壁，两侧均受一有重度为有一矩形平壁，两侧均受一有重度为有一矩形平壁，两侧均受一有重度为 的静止液体作用，且水深分别为的静止液体作用，且水深分别为的静止液体作用，且水深分别为的静止液体作用，且水深分别为 h h1 1及及及及 h h2 2（图（图（图（图 ）。试求液体作用此矩形平壁的合力及其压力中心（平壁在垂）。试求液体作用此矩形平壁的合力及其压力中心（平壁在垂）。试求液体作用此矩形平壁的合力及其压力中心（平壁在垂）。试求液体作用此矩形平壁的合力及其压力中心（平壁在垂直于图面方向的宽度为直于图面方向的宽度为直于图面方向的宽度为直于图面方向的宽度为 B B ）。）。）。）。n n解：解：解：解： 先讨论平壁左侧因是矩形平壁，则有（其深度为先讨论平壁左侧因是矩形平壁，则有（其深度为先讨论平壁左侧因是矩形平壁，则有（其深度为先讨论平壁左侧因是矩形平壁，则有（其深度为 h h1 1 ) ) ，根据式（根据式（根据式（根据式（ 2 2 ）则）则）则）则同理，讨论平壁右侧（深度为同理，讨论平壁右侧（深度为同理，讨论平壁右侧（深度为同理，讨论平壁右侧（深度为 h h2 2 ) )B B 、 h h1 1、 h h2 2 平壁宽度，左侧、右侧水深（米）。平壁宽度，左侧、右侧水深（米）。平壁宽度，左侧、右侧水深（米）。平壁宽度，左侧、右侧水深（米）。设合力设合力设合力设合力P P作用点距液面淹深为作用点距液面淹深为作用点距液面淹深为作用点距液面淹深为 y yDD ，对，对，对，对 0 0 点应用合力矩定理，则得点应用合力矩定理，则得点应用合力矩定理，则得点应用合力矩定理，则得经整理，最终得经整理，最终得经整理，最终得经整理，最终得解毕解毕解毕解毕. .n n例例例例 题题题题 如图所示如图所示如图所示如图所示 为一冷却水池的泄水孔，在为一冷却水池的泄水孔，在为一冷却水池的泄水孔，在为一冷却水池的泄水孔，在 N N 点点点点用铰链将闸门连接于挡水墙上，并在用铰链将闸门连接于挡水墙上，并在用铰链将闸门连接于挡水墙上，并在用铰链将闸门连接于挡水墙上，并在 M M 点连接启点连接启点连接启点连接启开闸门的铁链。已知垂直关闭的矩形闸门开闸门的铁链。已知垂直关闭的矩形闸门开闸门的铁链。已知垂直关闭的矩形闸门开闸门的铁链。已知垂直关闭的矩形闸门 MN MN 的的的的尺寸为尺寸为尺寸为尺寸为 b x hb x h = l . 0x0 . 5 m= l . 0x0 . 5 m2 2 ，又，又，又，又 h h 1 1 = 2 . = 2 . 9 m9 m、 h h2 2 = 0 . 5 m = 0 . 5 m， h h3 3 = 0 . 3 m = 0 . 3 m。若开启闸。若开启闸。若开启闸。若开启闸门时铁链与水平成门时铁链与水平成门时铁链与水平成门时铁链与水平成 4545 角。试求启开闸门所需的力角。试求启开闸门所需的力角。试求启开闸门所需的力角。试求启开闸门所需的力 T T 为若干？（闸门重量及摩擦力忽略不计）为若干？（闸门重量及摩擦力忽略不计）为若干？（闸门重量及摩擦力忽略不计）为若干？（闸门重量及摩擦力忽略不计）n n 解：解：解：解：确定闸门受水作用后的总压力确定闸门受水作用后的总压力确定闸门受水作用后的总压力确定闸门受水作用后的总压力（NN）压力中心座标压力中心座标压力中心座标压力中心座标 y yDD现在按力现在按力现在按力现在按力 T T 对铰链对铰链对铰链对铰链 N N 的力矩等于力尸对铰的力矩等于力尸对铰的力矩等于力尸对铰的力矩等于力尸对铰链链链链 N N 的力矩计算即的力矩计算即的力矩计算即的力矩计算即解毕解毕解毕解毕. .3-63-63-63-6浮力定律浮力定律浮力定律浮力定律n n该式表明，物体所受的浮力等于其所排开的液体的重量（重力），该式表明，物体所受的浮力等于其所排开的液体的重量（重力），该式表明，物体所受的浮力等于其所排开的液体的重量（重力），该式表明，物体所受的浮力等于其所排开的液体的重量（重力），方向垂直向上。这就是人们熟知的阿基米德定律。方向垂直向上。这就是人们熟知的阿基米德定律。方向垂直向上。这就是人们熟知的阿基米德定律。方向垂直向上。这就是人们熟知的阿基米德定律。完全浸没物体的浮力。液体对潜入其中的物体的作用完全浸没物体的浮力。液体对潜入其中的物体的作用完全浸没物体的浮力。液体对潜入其中的物体的作用完全浸没物体的浮力。液体对潜入其中的物体的作用力称为浮力，可表示为：力称为浮力，可表示为：力称为浮力，可表示为：力称为浮力，可表示为：例例例例 题题题题 试确定浮力比重计的沉入深度试确定浮力比重计的沉入深度试确定浮力比重计的沉入深度试确定浮力比重计的沉入深度h h。 液体比重；液体比重；液体比重；液体比重；d d浮浮浮浮管直径；管直径；管直径；管直径；MM比重计质量；比重计质量；比重计质量；比重计质量；V V浮球体积；浮球体积；浮球体积；浮球体积；解：求浮力解：求浮力解：求浮力解：求浮力F F（管（管（管（管+球）球）球）球）由平衡条件：由平衡条件：由平衡条件：由平衡条件：解毕解毕解毕解毕. .3-73-73-73-7非非非非惯惯性系流体性系流体性系流体性系流体静静力力力力学学 n n流体静力学基本方程式（流体静力学基本方程式（流体静力学基本方程式（流体静力学基本方程式（ 3 - 15 3 - 15 ）是对惯性坐标系建立的。）是对惯性坐标系建立的。）是对惯性坐标系建立的。）是对惯性坐标系建立的。n n在有加速度的非惯性坐标系中流体处于相对静止状态，则其表面力仍在有加速度的非惯性坐标系中流体处于相对静止状态，则其表面力仍在有加速度的非惯性坐标系中流体处于相对静止状态，则其表面力仍在有加速度的非惯性坐标系中流体处于相对静止状态，则其表面力仍然具有各向同性和切应力为零的性质，因此基本方程同样可以成立。然具有各向同性和切应力为零的性质，因此基本方程同样可以成立。然具有各向同性和切应力为零的性质，因此基本方程同样可以成立。然具有各向同性和切应力为零的性质，因此基本方程同样可以成立。n n不同的是，在非惯性坐标系中，流体处于静止状态，其所受的力还应不同的是，在非惯性坐标系中，流体处于静止状态，其所受的力还应不同的是，在非惯性坐标系中，流体处于静止状态，其所受的力还应不同的是，在非惯性坐标系中，流体处于静止状态，其所受的力还应包括惯性力，即基本方程中的质量力了应为重力和惯性力两部分之和。包括惯性力，即基本方程中的质量力了应为重力和惯性力两部分之和。包括惯性力，即基本方程中的质量力了应为重力和惯性力两部分之和。包括惯性力，即基本方程中的质量力了应为重力和惯性力两部分之和。n n下面来分析两种非惯性坐标系中静止流体的受力情况。其加速度下面来分析两种非惯性坐标系中静止流体的受力情况。其加速度下面来分析两种非惯性坐标系中静止流体的受力情况。其加速度下面来分析两种非惯性坐标系中静止流体的受力情况。其加速度 为为为为: :根据达郎贝尔原理，单位质量流体受到的惯性根据达郎贝尔原理，单位质量流体受到的惯性根据达郎贝尔原理，单位质量流体受到的惯性根据达郎贝尔原理，单位质量流体受到的惯性力为由惯性力和重力两部分组成，即力为由惯性力和重力两部分组成，即力为由惯性力和重力两部分组成，即力为由惯性力和重力两部分组成，即: :代人式（代人式（代人式（代人式（ 3 -15 3 -15 ）得非惯性坐标系中的流体静力学方程为）得非惯性坐标系中的流体静力学方程为）得非惯性坐标系中的流体静力学方程为）得非惯性坐标系中的流体静力学方程为其直角坐标系下的分量式为其直角坐标系下的分量式为其直角坐标系下的分量式为其直角坐标系下的分量式为当加速度是常数时，对上式进行积分可得流体的压力分布为当加速度是常数时，对上式进行积分可得流体的压力分布为当加速度是常数时，对上式进行积分可得流体的压力分布为当加速度是常数时，对上式进行积分可得流体的压力分布为全微分可以表示为全微分可以表示为全微分可以表示为全微分可以表示为: :其中其中其中其中c c是积分常数，由具体问题确定。是积分常数，由具体问题确定。是积分常数，由具体问题确定。是积分常数，由具体问题确定。例例例例 3 . 23 . 2，P37P37旋转容器中的静止液体旋转容器中的静止液体旋转容器中的静止液体旋转容器中的静止液体n n如图所示一个旋转容器，容器半径为如图所示一个旋转容器，容器半径为如图所示一个旋转容器，容器半径为如图所示一个旋转容器，容器半径为 R R ；静止状态；静止状态；静止状态；静止状态时装有深度达到时装有深度达到时装有深度达到时装有深度达到 H H 的液体。的液体。的液体。的液体。n n当容器以角速度当容器以角速度当容器以角速度当容器以角速度做等速度旋转时，液体除受到重力做等速度旋转时，液体除受到重力做等速度旋转时，液体除受到重力做等速度旋转时，液体除受到重力作用外还要受到离心惯性力的作用。作用外还要受到离心惯性力的作用。作用外还要受到离心惯性力的作用。作用外还要受到离心惯性力的作用。n n根据图示的坐标可知，单位质量流体的重力分量为根据图示的坐标可知，单位质量流体的重力分量为根据图示的坐标可知，单位质量流体的重力分量为根据图示的坐标可知，单位质量流体的重力分量为n n 流体绕流体绕流体绕流体绕 z z 轴以匀角速度轴以匀角速度轴以匀角速度轴以匀角速度旋转时，单位质量流体受旋转时，单位质量流体受旋转时，单位质量流体受旋转时，单位质量流体受到的惯性力（离心力）到的惯性力（离心力）到的惯性力（离心力）到的惯性力（离心力）x x 、 y y 、 z z 方向的分量为：方向的分量为：方向的分量为：方向的分量为：n n 同理将质量力代人压力全微分公式有：同理将质量力代人压力全微分公式有：同理将质量力代人压力全微分公式有：同理将质量力代人压力全微分公式有：旋转的液面为自由表面，也是等压面，所以旋转的液面为自由表面，也是等压面，所以旋转的液面为自由表面，也是等压面，所以旋转的液面为自由表面，也是等压面，所以 dpdp = 0 = 0 ，积分上式即：，积分上式即：，积分上式即：，积分上式即：n n即，自由表面为一抛物面，其等压面也为一簇抛物面。即，自由表面为一抛物面，其等压面也为一簇抛物面。即，自由表面为一抛物面，其等压面也为一簇抛物面。即，自由表面为一抛物面，其等压面也为一簇抛物面。n n根据旋转时与不旋转时体积应当相等，可得：根据旋转时与不旋转时体积应当相等，可得：根据旋转时与不旋转时体积应当相等，可得：根据旋转时与不旋转时体积应当相等，可得：由于轴对称由于轴对称由于轴对称由于轴对称 x x2 2 y y2 2 r r2 2 ，所以上式为，所以上式为，所以上式为，所以上式为当当当当 r=0r=0时，时，时，时，z= Hz= H0 0 ，即，即，即，即c=-gHc=-gH0 0压力分布压力分布压力分布压力分布 积分式（积分式（积分式（积分式（ 3 - 51 3 - 51 ）得到容器中的压力分布）得到容器中的压力分布）得到容器中的压力分布）得到容器中的压力分布P=PP=P0 0，则，则，则，则即：即：即：即：可以证明上式中可以证明上式中可以证明上式中可以证明上式中所以压力分布公式又可改写为所以压力分布公式又可改写为所以压力分布公式又可改写为所以压力分布公式又可改写为其中其中其中其中h h为自由液面到液体中某点的垂直距离。为自由液面到液体中某点的垂直距离。为自由液面到液体中某点的垂直距离。为自由液面到液体中某点的垂直距离。高速回转圆筒内的流体压力分布高速回转圆筒内的流体压力分布高速回转圆筒内的流体压力分布高速回转圆筒内的流体压力分布n n 对于像离心机之类的旋转机械来说，容器的旋转速度少则每分钟几百转，多则达对于像离心机之类的旋转机械来说，容器的旋转速度少则每分钟几百转，多则达对于像离心机之类的旋转机械来说，容器的旋转速度少则每分钟几百转，多则达对于像离心机之类的旋转机械来说，容器的旋转速度少则每分钟几百转，多则达每分钟数十万转。高转速使液体所受的旋转惯性力远大于重力。由每分钟数十万转。高转速使液体所受的旋转惯性力远大于重力。由每分钟数十万转。高转速使液体所受的旋转惯性力远大于重力。由每分钟数十万转。高转速使液体所受的旋转惯性力远大于重力。由3-513-51式式式式: :=0 =0 0 0 0 0n 积分上式为积分上式为积分上式为积分上式为n n 此即高速回转圆筒内的流体压力分布的表达式。它在径向是呈抛物线分布的。此即高速回转圆筒内的流体压力分布的表达式。它在径向是呈抛物线分布的。此即高速回转圆筒内的流体压力分布的表达式。它在径向是呈抛物线分布的。此即高速回转圆筒内的流体压力分布的表达式。它在径向是呈抛物线分布的。（3-593-59）例例例例3-3 P413-3 P41。习习习习 题题题题n n3- 13- 1 一个底部为正方形的容器被分成两部一个底部为正方形的容器被分成两部一个底部为正方形的容器被分成两部一个底部为正方形的容器被分成两部分，两部分在容器的底部连通。在容器中分，两部分在容器的底部连通。在容器中分，两部分在容器的底部连通。在容器中分，两部分在容器的底部连通。在容器中装人水以后，再在左边部分加人密度为装人水以后，再在左边部分加人密度为装人水以后，再在左边部分加人密度为装人水以后，再在左边部分加人密度为 820 kg 820 kg mm3 3 的油，形成如图的油，形成如图的油，形成如图的油，形成如图 3-9 3-9 所示所示所示所示的形态。试计算右边油的高度的形态。试计算右边油的高度的形态。试计算右边油的高度的形态。试计算右边油的高度 h h 。又：如。又：如。又：如。又：如果在油面上浮着一个果在油面上浮着一个果在油面上浮着一个果在油面上浮着一个 1000N 1000N 重的木块，重的木块，重的木块，重的木块，则右边的水面要上升多少？则右边的水面要上升多少？则右边的水面要上升多少？则右边的水面要上升多少？ n n3-23-2 在海中一艘满载货物的船，其形态如在海中一艘满载货物的船，其形态如在海中一艘满载货物的船，其形态如在海中一艘满载货物的船，其形态如图图图图 3-10 3-10 所示。船底长度所示。船底长度所示。船底长度所示。船底长度 12m 12m ，船体宽，船体宽，船体宽，船体宽度（垂直于纸面）上下均为度（垂直于纸面）上下均为度（垂直于纸面）上下均为度（垂直于纸面）上下均为 6m 6m ，船长两，船长两，船长两，船长两端梯度均为端梯度均为端梯度均为端梯度均为 45 45 。，并近似取海水的密度。，并近似取海水的密度。，并近似取海水的密度。，并近似取海水的密度为为为为 1000 1000 吨吨吨吨 mm3 3 。求船加上货物的总质。求船加上货物的总质。求船加上货物的总质。求船加上货物的总质量。量。量。量。n n3-33-3 一座水坝结构如图一座水坝结构如图一座水坝结构如图一座水坝结构如图 3-113-11所示，水坝底部倾角正切所示，水坝底部倾角正切所示，水坝底部倾角正切所示，水坝底部倾角正切 tgtg=4 =4 ，求水作用，求水作用，求水作用，求水作用在单位坝宽度上的合力在单位坝宽度上的合力在单位坝宽度上的合力在单位坝宽度上的合力 F F 大小及作用位置。大小及作用位置。大小及作用位置。大小及作用位置。n n3-4 3-4 一个充满水的密闭容器以等角速度一个充满水的密闭容器以等角速度一个充满水的密闭容器以等角速度一个充满水的密闭容器以等角速度绕一水平轴旋转，同时需要考虑重绕一水平轴旋转，同时需要考虑重绕一水平轴旋转，同时需要考虑重绕一水平轴旋转，同时需要考虑重力的影响。试证明其等压面是圆柱面，且等压面的中心轴线比容器的转动轴力的影响。试证明其等压面是圆柱面，且等压面的中心轴线比容器的转动轴力的影响。试证明其等压面是圆柱面，且等压面的中心轴线比容器的转动轴力的影响。试证明其等压面是圆柱面，且等压面的中心轴线比容器的转动轴线高线高线高线高 g g 2 2。 n n3-5 3-5 图图图图 3-12 3-12 为一液体转速计，由直径为为一液体转速计，由直径为为一液体转速计，由直径为为一液体转速计，由直径为 d d1 1的中心圆筒和重量为的中心圆筒和重量为的中心圆筒和重量为的中心圆筒和重量为 w w 的活塞、的活塞、的活塞、的活塞、以及两个直径为以及两个直径为以及两个直径为以及两个直径为 d d2 2的有机玻璃管组成，玻璃管与转轴轴线的半径距离为的有机玻璃管组成，玻璃管与转轴轴线的半径距离为的有机玻璃管组成，玻璃管与转轴轴线的半径距离为的有机玻璃管组成，玻璃管与转轴轴线的半径距离为R R，系统中盛有汞液。试求转动角速度田与指针下降距离系统中盛有汞液。试求转动角速度田与指针下降距离系统中盛有汞液。试求转动角速度田与指针下降距离系统中盛有汞液。试求转动角速度田与指针下降距离 h h 的关系（的关系（的关系（的关系（= 0 = 0 时，时，时，时， h = 0 h = 0 ）。）。）。）。n n如图如图如图如图1 1所示，当所示，当所示，当所示，当=0=0，r=0r=0时活塞下面液高为时活塞下面液高为时活塞下面液高为时活塞下面液高为HH，指针高，指针高，指针高，指针高h=0h=0，由活塞重，由活塞重，由活塞重，由活塞重量引起的小管离液面的高差为量引起的小管离液面的高差为量引起的小管离液面的高差为量引起的小管离液面的高差为 。n n在图在图在图在图2 2的情况下，的情况下，的情况下，的情况下，00，r=0r=0时活塞下面液高为时活塞下面液高为时活塞下面液高为时活塞下面液高为HH0 0。指针高。指针高。指针高。指针高h0h0，由旋，由旋，由旋，由旋转引起的小管离液面的伸高为转引起的小管离液面的伸高为转引起的小管离液面的伸高为转引起的小管离液面的伸高为Z ZR R加上原液位高差为加上原液位高差为加上原液位高差为加上原液位高差为 。 h=H-Hh=H-H0 0由由由由3-533-53式式式式习题习题习题习题3-53-5的解法的解法的解法的解法: :设管设管设管设管d d2 2液位升高为液位升高为液位升高为液位升高为h h ，由图可得：由图可得：由图可得：由图可得：对于不可压缩流体，中间管对于不可压缩流体，中间管对于不可压缩流体，中间管对于不可压缩流体，中间管d d1 1下降的液体体积应等于小管下降的液体体积应等于小管下降的液体体积应等于小管下降的液体体积应等于小管d d2 2上升的液体体积。即：上升的液体体积。即：上升的液体体积。即：上升的液体体积。即：将以上各式代入并整理得：将以上各式代入并整理得：将以上各式代入并整理得：将以上各式代入并整理得：即：即：即：即：解毕解毕解毕解毕. .