4.6 线性方程组的解的结构 一、一、 线性方程组解的存在性定理线性方程组解的存在性定理线性方程组解的存在性定理线性方程组解的存在性定理 二、二、 齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构 三、三、 非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构一、一、 线性方程组解的存在性定理线性方程组解的存在性定理 在前面的章节学习中，我们已经研究的关于线性在前面的章节学习中，我们已经研究的关于线性方程组的求解问题，本章将在整理前面知识点的同时，方程组的求解问题，本章将在整理前面知识点的同时，深入研究解的性质和解的结构。深入研究解的性质和解的结构。(4-1)(矩阵形式矩阵形式矩阵形式矩阵形式)(向量形式向量形式向量形式向量形式)(原始形式原始形式原始形式原始形式)非齐次方程组解的存在性定理非齐次方程组解的存在性定理定理定理定理定理4.15,4.164.15,4.16对于对于非齐次非齐次非齐次非齐次方程组方程组(4-1)推论推论推论推论4.6.14.6.1对于对于齐次齐次齐次齐次方程组方程组(1)A的列向量组线性无关的列向量组线性无关(2)A的列向量组线性相关的列向量组线性相关例例1 设设n(n2)阶方阵阶方阵A是可逆矩阵，证明是可逆矩阵，证明无解。无解。例例2 对于非齐次方程组对于非齐次方程组(1) 证明证明:如果如果AX=b有唯一解，则有唯一解，则AX=0仅有零解；仅有零解；(2) 如果如果AX=0仅有零解，则仅有零解，则AX=b一定有唯一解吗？一定有唯一解吗？二、二、 齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构(2) 解集的秩是多少解集的秩是多少? (3) 解集的最大无关组解集的最大无关组(又称为又称为基础解系基础解系基础解系基础解系) 如何求如何求?齐次方程组齐次方程组(假设有无穷多解假设有无穷多解)(1) 解集的特点解集的特点?性质性质1：若若 是是(4-3)的解，的解，解空间解空间:的所有解向量的集合的所有解向量的集合S，对加法和数乘，对加法和数乘都封闭，所以构成一个向量空间，称为这个齐次都封闭，所以构成一个向量空间，称为这个齐次线性方程组的线性方程组的解空间解空间。性质性质2：注：注：如果如果(4-3)只有零解，解空间是零空间。只有零解，解空间是零空间。如果如果(4-3)有非零解，解空间是非零空间。有非零解，解空间是非零空间。性质性质性质性质而在解空间中，基的概念我们在这里称为基础解系。而在解空间中，基的概念我们在这里称为基础解系。首先回答问题首先回答问题(1)设设是是的解，满足的解，满足线性无关；线性无关；的任一解都可以由的任一解都可以由线性线性是是的一个的一个基础解系基础解系。基础解系基础解系表示表示,则称则称下面我们用一个例子回答第下面我们用一个例子回答第(2)和第和第(3)个问题，个问题，同时也是定理的例证。同时也是定理的例证。( 取任意实数取任意实数)从而从而也是也是(4-3)的解。的解。齐次线性方程组基础解系的证明（基础解系求法）齐次线性方程组基础解系的证明（基础解系求法）（1）对系数矩阵）对系数矩阵A 进行初等变换，将其化为最简形进行初等变换，将其化为最简形由于由于分别令分别令（2）得出）得出 ，同时也可知方程组含有，同时也可知方程组含有个自由未知量：个自由未知量：于是得于是得下证下证是方程组的是方程组的 基础解系基础解系由上式可以看出由上式可以看出，就是就是n-r个个n-r维单位坐标向量，它们是线性无关的维单位坐标向量，它们是线性无关的也是线性无关的也是线性无关的后后n-r个分量，个分量，因而添加了因而添加了r个分量的向量组个分量的向量组最后最后n-r 个分量即自由未知量相同，从而两个解完全一样个分量即自由未知量相同，从而两个解完全一样 于是得通解于是得通解所以所以，是方程组的是方程组的基础解系基础解系设设是是矩阵，如果矩阵，如果则齐次线性方程组则齐次线性方程组的基础解系存在，的基础解系存在，且每个基础解系中含有且每个基础解系中含有个解向量。个解向量。定理定理定理定理4.6.24.6.2设设是是矩阵，如果矩阵，如果则齐次线性方程组则齐次线性方程组的任意的任意 个线性无关个线性无关的解向量均可构成基础解系。的解向量均可构成基础解系。推论推论推论推论4.6.24.6.2例例1 1解线性方程组解线性方程组 。x12x1x12x2x2x22x32x34x3x42x43x4000=+ 解：解： 2 1 2 2 1 1 4 3 1 2 2 1A= 0 1 2 4/3 0 0 0 0 1 0 2 5/3，对应方程对应方程 (x3，x4为自由未知量为自由未知量)，x1x22x32x3(5/3)x4(4/3)x4=+令得基础解系得基础解系通解为通解为x1x2x3x422105/34/301+ c2= c1，(c1，c2是任意常数是任意常数)。例例2 2 解线性方程组解线性方程组解解对系数矩阵施对系数矩阵施行初等行变换行初等行变换即方程组有无穷多解，即方程组有无穷多解， 其基础解系中有三个线性无关的解向量其基础解系中有三个线性无关的解向量.所以原方程组的一个基础解系为所以原方程组的一个基础解系为故原方程组的通解为故原方程组的通解为解：解：所以只有零解，基础解系不存在。所以只有零解，基础解系不存在。例例2 : 求下列齐次方程组求下列齐次方程组例例4设设 , 是是 的的两个不同的解向量两个不同的解向量, k 取任意实数取任意实数, 则则 Ax = 0 的通解是的通解是例例3 求四元方程组求四元方程组 的基础解系。的基础解系。设设 ,证明证明证证记记则由则由说明说明都是都是的解的解因此因此移项移项重要结论重要结论重要结论重要结论推论推论推论推论3 3且线性无关，则且线性无关，则_是是AX=O的基础解系。的基础解系。(2),(3)则则_可为可为AX=O的基础解系。的基础解系。(4)练习练习练习练习(1)(2)例例5证明证明设设 , 首先证明首先证明利用这一结论利用这一结论证证重要结论重要结论重要结论重要结论例例6求一个齐次方程组求一个齐次方程组, 使它的基础解系为使它的基础解系为记之为记之为 AB=O ,这相当于要解矩阵方程这相当于要解矩阵方程, 习惯把未知习惯把未知的的 A 放在右边放在右边, 转置转置,只需解只需解然后再把这些解拼成然后再把这些解拼成 的列的列( A 的行的行)即可即可. 解解 得基础解系得基础解系设所求的齐次方程组为设所求的齐次方程组为 , 则则取取即可即可.解解 三、三、非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构以下总假设以下总假设有解有解, 而其对应的齐次方程组而其对应的齐次方程组的基础解系为的基础解系为这里这里性质性质性质性质性质性质(1 1) 设设 都是都是(1)的解的解,则则是是(2)的解的解.(2 2) 设设 是是(1)的解的解, 是是(2)的解的解,则则 仍是仍是(1)的解的解.设设 是是(1)的一个解的一个解(固定固定), 则对则对(1)的任一解的任一解 x是是 (2)的解的解,从而存在从而存在 使得使得又形如又形如(3)的向量的向量( 任取任取)都是都是(1)的解的解.由此得由此得:(3 3)注：非齐次方程组的解集不是空间。注：非齐次方程组的解集不是空间。定理定理定理定理4.6.34.6.3设设设设是非齐次线性方程组是非齐次线性方程组是非齐次线性方程组是非齐次线性方程组的解，则的解，则的解，则的解，则解的全体解的全体解的全体解的全体其中其中其中其中表示表示表示表示A A的零空间。如果的零空间。如果的零空间。如果的零空间。如果是是是是的一组基，则的一组基，则的一组基，则的一组基，则任一解任一解任一解任一解可以表示为可以表示为可以表示为可以表示为例例7解解在对应的齐次方程中在对应的齐次方程中取取得齐次方程组的基础解系得齐次方程组的基础解系于是所有通解于是所有通解即得方程组的一个解即得方程组的一个解例例8设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知已知 是它的三个解向量是它的三个解向量, 且且求该方程组的通解求该方程组的通解.解解取取 , 则它就是解则它就是解,从而也是基从而也是基础解系础解系.基础解系所含向量个数基础解系所含向量个数 = 4 3 = 1故非齐次方程组的通解为故非齐次方程组的通解为例例9 假设假设是是的三个解向量，的三个解向量，r(A)=2,已知已知求求的通解。的通解。问答练习：问答练习：x o其中其中_总是它的解总是它的解。 (1)(1)线性方程组线性方程组AxAx o o总是有解的，总是有解的， (2)(2)若若v v1 1，v v2 2 都是齐次线性方程组都是齐次线性方程组AxAx o o的解，的解，问问x x k k1 1v v1 1+ +k k2 2v v2 2也是它的解吗？也是它的解吗？ (3)(3)如果如果v v1 1，v v2 2， ，v vs s 是齐次线性方程组是齐次线性方程组AxAx o o的一组的一组线性无关解，这组解是基础解系吗？线性无关解，这组解是基础解系吗？ (4)设设v1，v2， ，vs是齐次线性方程组是齐次线性方程组Ax o的一个基础解系，的一个基础解系，c1，c2， ，cs是任意常数，问是任意常数，问 x c1v1 c2v2 csvs 代表什么？代表什么？ (5)如如果果n元元齐齐次次线线性性方方程程组组Ax o的的一一般般解解中中有有r个个自自由由末末知知量，问基础解系中含有多少个解向量？量，问基础解系中含有多少个解向量？ (1)线性方程组线性方程组Ax o称为线性方程组称为线性方程组Ax b 的的_。问答练习：问答练习：导出组 (2)线性方程组线性方程组Ax b的特解是的特解是它的一个确定的解它的一个确定的解 (3)线性方程组线性方程组Ax b 的不含任意常数的解是特解吗？的不含任意常数的解是特解吗？ (4)如果线性方程组如果线性方程组Ax b的特解为的特解为u ，Ax o的基础解系为的基础解系为v1，v2， ，vnr ，问如何构造问如何构造Ax b的全部解？的全部解？ （ Ax b的全部解为的全部解为x u c1v1 c2v2 cn 1vn r。）。）（5） 问：非齐次线性方程组的两个解的和还是非齐问：非齐次线性方程组的两个解的和还是非齐次线性方程组的解吗？次线性方程组的解吗？1 1设为设为n n阶方阵，若齐次线性方程组阶方阵，若齐次线性方程组AX=0AX=0有非零解，则有非零解，则它的系数行列式（它的系数行列式（ ）2 2设和设和B B分别表示线性方程组分别表示线性方程组的系数矩阵和增的系数矩阵和增广矩阵，则方程组有解的充要条件是（广矩阵，则方程组有解的充要条件是（ ）3 3设设是是的解，的解，是其对应齐次方程的是其对应齐次方程的解，则解，则是（是（ ）的解）的解一、填空题1 1、n n元齐次线性方程组存在非零解的充要条件是（元齐次线性方程组存在非零解的充要条件是（ ） 的列线性无关的列线性无关 ； 的行线性无关；的行线性无关； 的列线性相关；的列线性相关； 的行线性相关的行线性相关2 2设设，是的解，是的解，是是b b的解，则（的解，则（ ） 11是的解是的解为为b b的解的解 是的解是的解 是是b b的解的解二、单选题二、单选题的一组基础解系由（的一组基础解系由（ ）个解向量组成。）个解向量组成。 x x1 1x x2 2x x3 3x x1 1x x2 2x x3 3 3 练练 1.设设 ，B为三阶非零矩阵，且为三阶非零矩阵，且AB=0，求，求t2.求四元方程组求四元方程组 的基础解系。的基础解系。方程组-例题6-证明2证明证明 1 1） 用用A A左乘（左乘（1 1），得），得将将x=0x=0代入（代入（1 1），得），得 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束