（一）（一）直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定 一个人走在灯火通明的大街上，会一个人走在灯火通明的大街上，会在地面上形成影子，随着人不停的走动，在地面上形成影子，随着人不停的走动，这个影子忽前忽后、忽左忽右，但是无这个影子忽前忽后、忽左忽右，但是无论怎样，人始终与影子相交于一点，并论怎样，人始终与影子相交于一点，并始终保持始终保持垂直垂直.复习引入复习引入讲授新课讲授新课1. 直线和平面垂直的定义直线和平面垂直的定义lP讲授新课讲授新课 如果直线如果直线l与平面与平面 内的任意一条直线内的任意一条直线都垂直，则直线都垂直，则直线l与平面与平面 互相垂直，记作互相垂直，记作l . lP1. 直线和平面垂直的定义直线和平面垂直的定义讲授新课讲授新课 如果直线如果直线l与平面与平面 内的任意一条直线内的任意一条直线都垂直，则直线都垂直，则直线l与平面与平面 互相垂直，记作互相垂直，记作l . l叫平面叫平面 的的垂线垂线， 叫直线叫直线l的的垂面垂面.1. 直线和平面垂直的定义直线和平面垂直的定义lP讲授新课讲授新课 如果直线如果直线l与平面与平面 内的任意一条直线内的任意一条直线都垂直，则直线都垂直，则直线l与平面与平面 互相垂直，记作互相垂直，记作l . l叫平面叫平面 的的垂线垂线， 叫直线叫直线l的的垂面垂面.直线与平面垂直时，它们惟一的公共点直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做叫做垂足垂足.1. 直线和平面垂直的定义直线和平面垂直的定义lP讲授新课讲授新课 如果直线如果直线l与平面与平面 内的任意一条直线内的任意一条直线都垂直，则直线都垂直，则直线l与平面与平面 互相垂直，记作互相垂直，记作l . l叫平面叫平面 的的垂线垂线， 叫直线叫直线l的的垂面垂面.直线与平面垂直时，它们惟一的公共点直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做叫做垂足垂足.1. 直线和平面垂直的定义直线和平面垂直的定义lP举例：举例：生活中直线与平面垂直的现象有生活中直线与平面垂直的现象有哪些？哪些？举例：举例：生活中直线与平面垂直的现象有生活中直线与平面垂直的现象有哪些？哪些？提问：你觉得垂直的依据是什么？提问：你觉得垂直的依据是什么？举例：举例：生活中直线与平面垂直的现象有生活中直线与平面垂直的现象有哪些？哪些？提问：你觉得垂直的依据是什么？提问：你觉得垂直的依据是什么？思考：给定一条直线和一个平面，如思考：给定一条直线和一个平面，如何判定它们是否垂直？何判定它们是否垂直？nml2. 直线和平面垂直的判定直线和平面垂直的判定B 定理：一条直线与一个平面内的两定理：一条直线与一个平面内的两条条相交相交直线都垂直，则这条直线与该平直线都垂直，则这条直线与该平面垂直面垂直. l2. 直线和平面垂直的判定直线和平面垂直的判定nmlB符号语言符号语言:若若lm，ln，mnB，m ，n ，则，则l .练习练习 如图，在长方体如图，在长方体ABCD-ABCD中，中，与平面与平面BCCB垂直的直线有垂直的直线有 ；与直线与直线AA垂直的平面有垂直的平面有 . BDCABADC例例1 已知已知ab，a ，求证：，求证：b .abb例例1 已知已知ab，a ，求证：，求证：b .mabn例例1 已知已知ab，a ，求证：，求证：b .mabn线面垂直线面垂直线线垂直线线垂直线面垂直线面垂直 例例2 2 在三棱锥在三棱锥P-ABCP-ABC中，中，PAPA平面平面ABCABC，ABBCABBC，PA=ABPA=AB，D D为为PBPB的中点，的中点，求证：求证：ADPC.ADPC.PABCD直线与平面垂直的判定方法：直线与平面垂直的判定方法：1.定义；定义；2.定理；定理；3.两条平行线中的一条与平面垂直，两条平行线中的一条与平面垂直， 则另一条也与这个平面垂直则另一条也与这个平面垂直.线面垂直线面垂直线线垂直线线垂直课堂小结课堂小结瀛海学校瀛海学校 杨宇杨宇 一条直线和一个平面一条直线和一个平面相交相交，但但不和这个平面垂直不和这个平面垂直，这条直线，这条直线叫做这个平面的叫做这个平面的斜线斜线斜线斜线，斜线和平，斜线和平面的交点叫做面的交点叫做斜足斜足斜足斜足。 斜线上一点与斜足间的线段斜线上一点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的叫做这点到这个平面的斜线段斜线段斜线段斜线段。 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做直线叫做斜线在这个平面上的射影斜线在这个平面上的射影斜线在这个平面上的射影斜线在这个平面上的射影； 斜线上任意一点在平面上的射影，一定在斜线的射影上。斜线上任意一点在平面上的射影，一定在斜线的射影上。斜线段斜线段ACAC在在 的的射影射影ACBAaOP 已知已知POPO是平面是平面 的的斜线，斜线， PAPA 、AOAO是是POPO在平面在平面 上的射影上的射影。a a ，aAOaAO。求证： aPOaPO在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。三垂线定理三垂线定理证明：aPOPA a AOaa平面PAOPO平面PAOPA aAaOP三垂线定理三垂线定理： 在平面在平面内的一条直线，如果和这个平内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。么，它就和这条斜线垂直。aPOPAOA是PO在内的射影a AOa 由三垂线定理由三垂线定理AaOPPAOa三垂线定理包含几种垂直关系？三垂线定理包含几种垂直关系？线影垂直线影垂直PAOa线面垂直线面垂直线斜垂直线斜垂直PAOa直 线 和平面垂直平面内的直线和平面一条斜线的射影垂直平面内的直线和平面的一条斜线垂直PCBA例例1 已知已知P 是平面是平面ABC 外一点，外一点， PA平面平面ABC ，AC BC， 求证：求证： PC BC证明证明: PA平面平面ABC AC是是PC在平面在平面ABC上的射影上的射影 BC 平面平面ABC BC AC 由三垂线定理得由三垂线定理得 BC PC例例2 直接利用三垂线定理证明下列各题：直接利用三垂线定理证明下列各题：(1) PA正方形正方形ABCD所在平面，所在平面，O为对角线为对角线BD的中点的中点求证：求证：POBD，PCBD(3) 在正方体在正方体AC1中，求证：中，求证：A1CB1D1，A1CBC1(2) 已知：已知：PA平面平面PBC，PB=PC，M是是BC的中点，的中点，求证：求证：BCAMA D C B A1D1B1C1(1)(2)BPMCA(3)POABCD三垂线定理解题的关键：找三垂！三垂线定理解题的关键：找三垂！怎么找？一找直线和平面垂直一找直线和平面垂直二找平面的斜线在平面二找平面的斜线在平面 内的射影和平面内的内的射影和平面内的 一条直线垂直一条直线垂直注意：注意：由一垂、二垂直接得出第三垂由一垂、二垂直接得出第三垂 并不是三垂都作为已知条件并不是三垂都作为已知条件解解题题回回顾顾PAOa线影垂直线影垂直线斜垂直线斜垂直PAOaPAOa平面内的一条直平面内的一条直线线和和平面的一条斜线在平平面的一条斜线在平面内的射面内的射影影垂直垂直平面内的一条直平面内的一条直线线和平面的一条和平面的一条斜斜线线垂直垂直三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理？ 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。PAOa三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理aAOPAOA是PO在内的射影a POa 由三垂线逆定理由三垂线逆定理三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果和在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂么，它也和这条斜线的射影垂直。直。三垂线定理三垂线定理： 在平面在平面内的一条直线，如果和这个平内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。么，它就和这条斜线垂直。线影垂直线影垂直线斜垂直线斜垂直定理逆定理例例4 在四面体在四面体ABCD中，已知中，已知ABCD，ADBC求证：求证：ACBDBCDO，于是，于是ADBC.证明：作证明：作AO平面平面BCD于点于点O，连接连接BO，CO，DO，则，则BO，CO，DO分别为分别为AB，AC，AD在平面在平面BCD上的射影上的射影。OADCBABCD，CD 面面BCD，同理同理BDCO，于是于是O是是BCD的垂心，的垂心，由三垂线逆定理由三垂线逆定理CDBO，1.已知已知 PA、PB、PC两两垂直，两两垂直，求证：求证：P在平面在平面ABC内的射影是内的射影是ABC的垂心。的垂心。CBPAHABCDA1B1C1D1中，中，求证：求证：AC1平面平面BA1DD1DCBAC1B1A1