在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量布，如果知道了随机变量 X 的概率分布，那么的概率分布，那么 X的全部概率特征也就知道了的全部概率特征也就知道了. 然而，在实际问题中，概率分布一般是较难然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了数字特征就够了. 考察一台测量仪器的好坏考察一台测量仪器的好坏, , 既看所测结果的既看所测结果的平平均值均值又要看每次测量的结果是否集中，又要看每次测量的结果是否集中，即每次测量即每次测量值与平均值的偏离程度是否小。值与平均值的偏离程度是否小。例如例如： 考察一射手的水平考察一射手的水平, 既要看他的既要看他的平均环数平均环数是否高是否高, 还要看他弹着点的范围是否小还要看他弹着点的范围是否小, 即即数据的波动数据的波动是否小是否小. 由上面例子看到，与随机变量有关的某些数值，由上面例子看到，与随机变量有关的某些数值，虽不能完整地描述虽不能完整地描述 随机变量，但能清晰地描述其某随机变量，但能清晰地描述其某些方面的重要特征些方面的重要特征 , 这些数字特征在理论和实践上这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义都具有重要意义.q 随机变量的平均取值随机变量的平均取值 数学期望数学期望 q 随机变量取值平均偏离均值的情况随机变量取值平均偏离均值的情况 方差方差q 描述两描述两 随机变量间的某种关系的数随机变量间的某种关系的数 协方差协方差与与相关系数相关系数本本章章内内容容随机变量某一方面的概率特性都可用数字数字来描述第四章随机变量的数字特征 一、数学期望一、数学期望 二、方差二、方差 三、协方差及相关系数三、协方差及相关系数 四、矩、协方差矩阵四、矩、协方差矩阵数学期望 第四章 第一节二、随机变量函数的数学期望二、随机变量函数的数学期望 一一 、数学期望的概念、数学期望的概念 三、数学期望的性质三、数学期望的性质 四、几种重要分布的数学期望四、几种重要分布的数学期望 我们来看一个引例我们来看一个引例. 引例引例1 某车间对工人的生产情况进行考察某车间对工人的生产情况进行考察. 车车工小张每天生产的废品数工小张每天生产的废品数X是一个随机变量是一个随机变量. 如何如何定义定义X的平均值呢？的平均值呢？我们先观察小张我们先观察小张100天的生产情况天的生产情况（假定小张每天至多出现三件废品（假定小张每天至多出现三件废品 ）1 1、离散型随机变量的数学期望、离散型随机变量的数学期望一、数学期望的概念一、数学期望的概念对于随机变量来说，对于随机变量来说，有时不仅要知道它的概率分布，有时不仅要知道它的概率分布，还希望知道随机变量取值的还希望知道随机变量取值的“平均平均”大小。大小。可以得到这可以得到这100天中天中 每天的平均废品数为每天的平均废品数为这个数能否作为这个数能否作为X的平均值呢？的平均值呢？若统计若统计100天天, 3232天没有出废品天没有出废品; ;3030天每天出一件废品天每天出一件废品; ;1717天每天出两件废品天每天出两件废品; ;2121天每天出三件废品天每天出三件废品; ;可以想象，若另外统计可以想象，若另外统计100100天，车工小张不出废品，天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的出一件、二件、三件废品的天数与前面的100100天一般天一般不会完全相同，这另外不会完全相同，这另外100100天每天的平均废品数也不天每天的平均废品数也不一定是一定是1.27. .n0天没有出废品天没有出废品; ;n1天每天出一件废品天每天出一件废品; ;n2天每天出两件废品天每天出两件废品; ;n3天每天出三件废品天每天出三件废品. .可以得到可以得到n天中每天的平均废品数为天中每天的平均废品数为( (假定小张每天至多出假定小张每天至多出三件废品三件废品) ) 一般来说一般来说, , 若统计若统计n天天 , ,以频率为权的加权平均以频率为权的加权平均 当当n很大时，频率接近于概率，很大时，频率接近于概率，所以我们在求废品数所以我们在求废品数X的平的平均值时，用均值时，用概率代替频率概率代替频率，得平均值为得平均值为以概率为权的加权平均以概率为权的加权平均这样得到一个确定的数这样得到一个确定的数. .我们就用这个数作为随机变我们就用这个数作为随机变量量X 的平均值的平均值 . .注：注：离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的若级数若级数绝对收敛绝对收敛 。设离散型随机变量设离散型随机变量X 的分布律为的分布律为 简称简称期望或均值期望或均值，记为，记为 E(X).则称此则称此级数的和级数的和为为X 的的数学期望数学期望。即即级数的和级数的和. .数学期望是随机变量的平均值，数学期望是随机变量的平均值， 其与其与 X 取取值值 x k 的顺序无关（的顺序无关（唯一性唯一性），所以要求级数绝对收敛。），所以要求级数绝对收敛。定义定义1 1定理定理：绝对收敛级数：绝对收敛级数经改变项的位置后构经改变项的位置后构成的级数也收敛，且成的级数也收敛，且与原级数有相同的和与原级数有相同的和（即绝对收敛级数具（即绝对收敛级数具有可交换性）有可交换性）. .解解 设试开次数为设试开次数为X , ,于是于是 某某人人的的一一串串钥钥匙匙上上有有n 把把钥钥匙匙，其其中中只只有有一一把把能能打打开开自自己己的的家家门门，他他随随意意地地试试用用这这串串钥钥匙匙中中的的某某一一把把去去开开门门. . 若若每每把把钥钥匙匙试试开开一一次次后后除除去去，求求打打开开门门时时试开次数的数学期望试开次数的数学期望. .例例1 1例例2 2甲乙两人射击，他们的射击水平由下表给出甲乙两人射击，他们的射击水平由下表给出试问哪个人的射击水平较高？试问哪个人的射击水平较高？解解 甲乙的平均环数可求得：甲乙的平均环数可求得：因此，从平均环数上看，甲的射击水平要比乙的好。因此，从平均环数上看，甲的射击水平要比乙的好。X：甲击中的环数甲击中的环数Y：乙击中的环数击中的环数2、连续型随机变量的数学期望、连续型随机变量的数学期望 设设X是连续型随机变量，其密度函数为是连续型随机变量，其密度函数为f (x),在数轴上取很密的分点在数轴上取很密的分点x0 x1x20, D(Y)0,称称在不致引起混淆时在不致引起混淆时，记记 为为 .无量纲 的量四、相关系数的性质四、相关系数的性质1)2)的的充要条件充要条件是是与与以概率以概率1呈线呈线性关系。性关系。其中其中为常数。为常数。定理定理1 设随机变量设随机变量和和的相关系数存在，则的相关系数存在，则即即证明：证明：说说 明明相关系数相关系数之间线性关系的一种度量之间线性关系的一种度量.，X 与与Y 的线性关系越显著；的线性关系越显著；，X 与与Y 的线性关系越不显著；的线性关系越不显著；四个等价命题：四个等价命题：2）3）4）1 相关系数相关系数则称则称与与不相关不相关;不相关：不相关： X 与与Y 之间没有线性关系，并不表示它们之之间没有线性关系，并不表示它们之间没有任何关系。间没有任何关系。所以，当所以，当X 和和Y 独立时，独立时，Cov (X , Y )= 0. .故故但由但由并不一定能推出并不一定能推出X 和和Y 独立独立. .请看下例请看下例独立：独立： X 与与Y 之间没有任何函数关系。之间没有任何函数关系。例例1 1设随机变量设随机变量的概率密度为的概率密度为问问 X 和和 Y 是否相互独立，是否不相关？是否相互独立，是否不相关？解解 先求关于先求关于X 和和Y 的边缘概率密度的边缘概率密度 因为因为所以所以X 和和 Y 不相互独立。不相互独立。 求求X 和和Y 的相关系数的相关系数 所以所以故故X 和和 Y 不相关。不相关。独立独立不相关不相关若若( (X,Y ) )服从二维正态分布，则服从二维正态分布，则X与与Y独立独立X与与Y不相关不相关特例特例若若( (X,Y) )服从服从二维正态分布二维正态分布。 是是Y与与X的相关系数。以下画出的相关系数。以下画出 取几个不同取几个不同值时值时( (X,Y) )的密度函数图。的密度函数图。113页定理页定理2例例2 2 已知二维随机变量已知二维随机变量 的联合分布律为的联合分布律为求求： ， 0.30 0.12 0.18 0.10 0.18 0.12 11 -2 0 1 Y X解解 边缘分布律为边缘分布律为的协方差为的协方差为: : 0.30 0.12 0.18 0.10 0.18 0.12 11 -2 0 1 Y X下面求下面求 的方差的方差: :的相关系数为的相关系数为: :例例3 已知二维随机变量已知二维随机变量的概率密度为的概率密度为解解的相关系数的相关系数 和和 与与试求试求故故 与与 的协方差为的协方差为又又所以所以的方差为的方差为同理，同理， 的方差为的方差为从而得从而得例例4 4设随机变量设随机变量相互独立，且相互独立，且解解例例5 5（2001.)2001.)将一枚硬币重复掷将一枚硬币重复掷 n 次，以次，以分别表示正面向上和反面向上的次数，求分别表示正面向上和反面向上的次数，求的相关系数。的相关系数。的的解解满足满足故故作作 业业P114 P114 习题习题4.34.31 1，2 2，4 4矩和协方差矩阵矩和协方差矩阵 第四章 第四节一、矩的定义一、矩的定义二、协方差矩阵二、协方差矩阵 若若存在，称它为存在，称它为的的阶原点矩，简称阶原点矩，简称阶矩阶矩。若若存在，称它为存在，称它为的的阶中心矩阶中心矩。阶混合矩阶混合矩。若若存在，称它为存在，称它为和和的的若若存在，存在，和和的的称它为称它为阶混合中心矩阶混合中心矩。和和是随机变量，是随机变量，设设二、二、协方差矩阵协方差矩阵将二维随机变量（将二维随机变量（X1,X2）的四个二阶中心矩）的四个二阶中心矩排成矩阵的形式排成矩阵的形式:称此矩阵为称此矩阵为（X1,X2）的协方差矩阵）的协方差矩阵.这是一个这是一个对称矩阵对称矩阵 类似定义类似定义n 维随机变量维随机变量(X1,X2, ,Xn) 的协方差矩阵的协方差矩阵.为为(X1,X2, ,Xn) 的协方差矩阵的协方差矩阵.都存在都存在,( i, j=1,2,n )若若矩阵矩阵称称