塑性力学塑性力学02第二章第二章 屈服条件屈服条件 第一章介绍的是应力和应变的概念第一章介绍的是应力和应变的概念, 接下来就应该介绍应力应接下来就应该介绍应力应变的关系变的关系. 在弹性力学中在弹性力学中, 应力应变是线性关系应力应变是线性关系,是一一对应的是一一对应的比较简单关系比较简单关系, 但在塑性力学中但在塑性力学中, 没有这种简单的关系没有这种简单的关系. 第一章第一章曾经指出材料在屈服以后要有不能恢复的塑性变形曾经指出材料在屈服以后要有不能恢复的塑性变形. 问题就出问题就出在这个地方在这个地方, 那么材料在什么时候屈服那么材料在什么时候屈服, 屈服以后又服从什么规屈服以后又服从什么规则则.这就是这一章和下一章要解决的问题这就是这一章和下一章要解决的问题.Tresca屈服条件和屈服条件和Mises屈服条件就是解决这个问题的屈服条件就是解决这个问题的. 这一章我们先从简单拉伸谈起这一章我们先从简单拉伸谈起, 目的是从单向应力应变关系中目的是从单向应力应变关系中得到启发来解决复杂应力状态情况下的问题得到启发来解决复杂应力状态情况下的问题. 下一章来解决材料屈服后的应力应变的本构关系下一章来解决材料屈服后的应力应变的本构关系.2-1 简单拉伸时的塑性现象简单拉伸时的塑性现象强度极限强度极限屈服极限屈服极限弹性极限弹性极限比例极限比例极限初始屈服点初始屈服点初初始始弹弹性性阶阶段段应变硬化应变硬化硬化阶段硬化阶段开始颈缩开始颈缩应变软化应变软化不不加加区区别别卸载卸载加载加载, D点开点开始后继屈服始后继屈服,成为后继屈服成为后继屈服点点反向屈服点反向屈服点被称为被称为Bauschinger效应效应 后继弹性阶段后继弹性阶段,服从增量服从增量Hooke定定律律服从服从 塑性变形规律的几个重要特点塑性变形规律的几个重要特点 (1) 要有一个判别材料是否处于弹性阶段还是塑性阶段的判要有一个判别材料是否处于弹性阶段还是塑性阶段的判断式断式, 即屈服条件即屈服条件: 初始屈服条件初始屈服条件 和后继屈服条件和后继屈服条件 (2) 应力应变是非线性关系应力应变是非线性关系 (3) 应力应变之间不存在单值关系应力应变之间不存在单值关系 塑性力学考虑的材料的简化的应力应变关系有塑性力学考虑的材料的简化的应力应变关系有理想弹理想弹塑性体塑性体理想刚理想刚塑性体塑性体线性硬线性硬化弹塑化弹塑性体性体线性硬线性硬化刚塑化刚塑性体性体2-2 初始屈服条件和屈服曲面初始屈服条件和屈服曲面 初始屈服条件初始屈服条件. 对于单向拉伸时拉伸应力等于材料的屈服应力对于单向拉伸时拉伸应力等于材料的屈服应力时开始屈服时开始屈服, 但是在一般情况下一点的应力状态时六个应力分但是在一般情况下一点的应力状态时六个应力分量量, 我们不能简单地说哪一个分量达到屈服应力我们不能简单地说哪一个分量达到屈服应力,这一点开始屈这一点开始屈服服. 但有一点可以肯定但有一点可以肯定, 屈服条件应该和这六个分量有关屈服条件应该和这六个分量有关, 把它把它写成函数关系写成函数关系 , 该函数就称为该函数就称为初始屈服条件初始屈服条件. 我们已经知道我们已经知道, 静水应力不引起塑性变形静水应力不引起塑性变形, 那么屈服条件只和那么屈服条件只和应力偏量有关应力偏量有关, 屈服条件可以写为屈服条件可以写为我们又知道我们又知道, 材料的本构行为应该与坐标变换无关材料的本构行为应该与坐标变换无关, 那么屈服那么屈服准则就必然仅仅依赖于偏应力中的不变量准则就必然仅仅依赖于偏应力中的不变量,即即 这个初始屈服条件在应力空间表示为一个曲面被称为这个初始屈服条件在应力空间表示为一个曲面被称为初始屈初始屈服曲面服曲面, 在在 平面上是一条曲线被称为平面上是一条曲线被称为初始屈服曲线初始屈服曲线.下面来下面来进一步分析它们的一般形状进一步分析它们的一般形状.(1) 我们知道偏应力向量是在我们知道偏应力向量是在 平面上平面上, 并且并且 因此在因此在 平面上屈服条件表示为一条包围原点的封闭曲线平面上屈服条件表示为一条包围原点的封闭曲线.这条曲线如图所示的红色曲线这条曲线如图所示的红色曲线.如果一个应力状态在这条曲线如果一个应力状态在这条曲线上上, 表示这个应力状态满足屈表示这个应力状态满足屈服条件服条件. 现在在这个应力状态现在在这个应力状态上再加上一个静水压力上再加上一个静水压力,这时这时在三维主应力空间中在三维主应力空间中, 它相当它相当于沿直线于沿直线L的平行线上移动的平行线上移动, 而应力点仍应满足屈服条件而应力点仍应满足屈服条件, 因而在三维主应力空间中因而在三维主应力空间中, 屈屈服面是一个等截面柱体服面是一个等截面柱体, 它的它的母线与母线与L直线平行直线平行(图中深黄色图中深黄色线线).(2) 现在我们来进一步研究在现在我们来进一步研究在 平面上的屈服曲线平面上的屈服曲线. 首先因首先因为材料是均匀各向同性的为材料是均匀各向同性的, 则则 互换时也会屈服互换时也会屈服, 所所以这条屈服曲线应对称于直线以这条屈服曲线应对称于直线1,2,3. 另外可以假设拉伸和压缩另外可以假设拉伸和压缩时的屈服极限相等时的屈服极限相等(没有没有Bauschinger效应效应),因此当应力符号因此当应力符号改变时改变时, 屈服条件仍不变屈服条件仍不变. 这就是说这就是说, 这条屈服曲线应关于原这条屈服曲线应关于原点对称点对称.又考虑到这条屈服曲线对又考虑到这条屈服曲线对称于直线称于直线1,2,3, 所以它要所以它要对称于直线对称于直线1,2,3的三条垂的三条垂线线4,5,6. 总之总之, 它有六条对它有六条对称线称线,. 因此因此, 我们只需用我们只需用实验确定实验确定 平面上平面上30度度范围的屈服曲线范围的屈服曲线, 然后利然后利用对称性用对称性, 就可以确定整就可以确定整个屈服曲线个屈服曲线. 在前一章知道在前一章知道: 在纯拉屈服时在纯拉屈服时,它对应它对应 平面的平面的A点点. 在纯剪切屈服在纯剪切屈服时时它对应它对应 平面的平面的B点点.这样这样AB之间的屈服曲线可以通过双向应力实验来决定之间的屈服曲线可以通过双向应力实验来决定.例如可例如可以通过薄壁圆筒同时受拉和扭作用来得到以通过薄壁圆筒同时受拉和扭作用来得到. 于是通过对称性就于是通过对称性就得到整个屈服曲线得到整个屈服曲线.2-3 Tresca条件和条件和Mises条件条件. 这是两个常用的屈服条件这是两个常用的屈服条件.1. Tresca屈服条件屈服条件(1864). 基于实验观测基于实验观测, Tresca假设材料在某假设材料在某处出现屈服是由于该点的最大剪应力达到最大许可值处出现屈服是由于该点的最大剪应力达到最大许可值, 或者说或者说达到单轴加载下的弹性极限值达到单轴加载下的弹性极限值. 在多轴应力状态下在多轴应力状态下, 按照按照Tresca的论点的论点, 屈服条件可以写为屈服条件可以写为 其中其中 (单向时屈服单向时屈服应力应力).当已知当已知 可以写成为可以写成为 在一般情况下在一般情况下, 不知主应力的排序不知主应力的排序, 可以写成可以写成 在在 平面上平面上,Tresca屈服条件是一个正六边形屈服条件是一个正六边形, 这一点可以这一点可以证明证明. 在前面我们知道偏应力矢在在前面我们知道偏应力矢在 平面上的平面上的X轴的投影为轴的投影为所以在所以在 范围内这是一条直线范围内这是一条直线,将其对称开拓成将其对称开拓成正六边形正六边形(如下图如下图).在主应力空间屈服面是正六面柱体在主应力空间屈服面是正六面柱体.图中红色就是图中红色就是Tresca条件条件.2. Mises屈服条件屈服条件(1913).Tresca条件不考虑中间条件不考虑中间应力的影响应力的影响; 另外当应力处在另外当应力处在两个屈服面的交线上时两个屈服面的交线上时,数学处数学处理有些困难理有些困难; 在主应力方向不在主应力方向不知时知时, 屈服条件又很复杂屈服条件又很复杂, 因此因此Mises在在1913年提出了用外接圆年提出了用外接圆柱体来代替正六面柱体的想法柱体来代替正六面柱体的想法. 根据这个想法屈服曲线就是六根据这个想法屈服曲线就是六边形的外接圆边形的外接圆,方程为方程为:整理得整理得从上面的第一式我们可以看到屈服条件的另一种表达式是应力从上面的第一式我们可以看到屈服条件的另一种表达式是应力强度强度 等于等于 , 即即 . 也就是说应力强度达到一定值时也就是说应力强度达到一定值时, 材料开始进入塑性状态材料开始进入塑性状态. 刚才说了刚才说了, Misese条件一开始是个设想条件一开始是个设想, 后来发现它比后来发现它比Tresca条件更接近于实验得出的结果条件更接近于实验得出的结果. 实际上实际上, 根据弹性理论根据弹性理论, 形状比形状比能为能为这样就有这样就有它可以解释为材料的形状比能达它可以解释为材料的形状比能达到某一极限值时到某一极限值时, 材料开始屈服材料开始屈服.(3)讨论这两个屈服条件讨论这两个屈服条件:a) 常数常数 的确定的确定. 因为这些屈服条件对各种一般都适用因为这些屈服条件对各种一般都适用,所以可以通过简单拉伸或纯剪切等实验来确定所以可以通过简单拉伸或纯剪切等实验来确定.对于简单拉伸来说对于简单拉伸来说,这两个屈服条件都有这两个屈服条件都有对于纯剪切来说对于纯剪切来说,Tresca条件有条件有 , 进而进而Mises条件有条件有 , 进而进而实验表明实验表明, 对于一般工程材料对于一般工程材料, , 因此因此Mises条件比条件比Tresca条件更接近实际条件更接近实际.但如果事先知道主应力但如果事先知道主应力的大小的大小,用用Tresca条件比较方便条件比较方便.b)简单说明两个条件的差别简单说明两个条件的差别. 设设 取取 , 那么那么Tresca条件有条件有:Mises条件有条件有:考虑到考虑到 , 所以所以也就是说这两个条件事实上差别不大也就是说这两个条件事实上差别不大. 如果取内接圆作为屈如果取内接圆作为屈服曲线服曲线, 则差别更小则差别更小. 这两个条件主要适用于延性金属材料这两个条件主要适用于延性金属材料.而用于土壤而用于土壤, 混凝土混凝土和岩石等非金属是不理想的和岩石等非金属是不理想的. 因为它们忽略了平均应力的影因为它们忽略了平均应力的影响响.例例2-1平面应力状态的屈服条件平面应力状态的屈服条件.解解 因为对平面应力状态因为对平面应力状态, . 此时此时Tresca条件为条件为它表示在它表示在 平面上的屈服曲线为一个六边形平面上的屈服曲线为一个六边形(如图深黄色如图深黄色所示所示).Mises条件为条件为:它表示在它表示在 平面上的平面上的屈服曲线为上述六边形的外屈服曲线为上述六边形的外接椭圆接椭圆(如图红色所示如图红色所示).例例2-2 试写出圆杆在拉伸和扭转联合作用下的屈服条件试写出圆杆在拉伸和扭转联合作用下的屈服条件.解解 杆内的各点的应力为杆内的各点的应力为其它不为零其它不为零. 将这些代入将这些代入Mises条件得到条件得到 由第一章已知应力状态求由第一章已知应力状态求主应力的方法得到主应力为主应力的方法得到主应力为:得得根据根据Tresca条件有条件有:例例2-3 一内半径为一内半径为 , 外半径为外半径为 的球形壳的球形壳, 在其内表面在其内表面上作用均匀的压力上作用均匀的压力 . 试写出其屈服条件试写出其屈服条件.解解 由于壳体几何形状和受力由于壳体几何形状和受力都是对称于球心都是对称于球心, 是球对称问是球对称问题题. 这样壳体内剪应力分量必这样壳体内剪应力分量必为零为零, 否则就不是球对称了否则就不是球对称了.各各点只有正应力分量点只有正应力分量, 并且有并且有主应力排序为主应力排序为最大剪应力为最大剪应力为代入代入Tresca和和Mises条件发条件发现它们有一样的屈服条件现它们有一样的屈服条件:2-4 Tresca条件和条件和Mises条件的实验验证条件的实验验证前面已经提到这两个屈服条件是建立在假设基础上的前面已经提到这两个屈服条件是建立在假设基础上的, 需要通需要通过实验来验证过实验来验证. 这里介绍两个有名的实验这里介绍两个有名的实验.1. Lode实验实验 1926年在软钢年在软钢,铜和镍的薄壁筒上做实验铜和镍的薄壁筒上做实验, 薄壁筒薄壁筒受轴向力受轴向力 和内压和内压 的作用的作用.Tresca条件有条件有:Mises条件有条件有:Tresca条件条件Mises条件条件应力状态为应力状态为:实验表明实验表明Mises条件较符合条件较符合.2. Taylor 和和Quinney 实验实验 1931年他们做薄壁筒的拉扭联合实验年他们做薄壁筒的拉扭联合实验.拉力为拉力为 , 扭矩为扭矩为 , 这是平面应力问题这是平面应力问题.应力状态见图应力状态见图. 有有主应力为主应力为按按Tresca条件有条件有:即即按按Mises条件有条件有:Mises条件条件Tresca条件条件软钢软钢钢钢Mises条件比较好条件比较好.2-5 后继屈服条件及加后继屈服条件及加,卸载准则卸载准则1. 后继屈服条件的概念后继屈服条件的概念 从从单向应力谈起单向应力谈起, 如图所示我如图所示我们曾经提到过初始屈服点和后们曾经提到过初始屈服点和后继屈服点的概念继屈服点的概念. 对应于复杂应力对应于复杂应力,就有初始屈就有初始屈服面服面(比如我们前面提到的屈服比如我们前面提到的屈服条件条件)和后继屈服面和后继屈服面.后继屈服点后继屈服点初始屈服点初始屈服点初始屈服面初始屈服面后继屈服面后继屈服面如右图所示如右图所示, 一点应力状态一点应力状态O,随加载达到初始屈服面随加载达到初始屈服面 A点点,再加载到达后继屈服面再加载到达后继屈服面 B点点, 此时卸载再加载再到此时卸载再加载再到达达 后继屈服面后继屈服面 C点点,然后然后再加载到达后继屈服面再加载到达后继屈服面 D点点. 很很显然显然, 对于硬化材料对于硬化材料, 后继屈服面是不断变化的后继屈服面是不断变化的. 所以后继所以后继屈服面又称为硬化面或加载面屈服面又称为硬化面或加载面, 它是后继弹性阶段的界限面它是后继弹性阶段的界限面. 确定材料是处于后继弹性状态还是塑性状态的准则就是后继屈确定材料是处于后继弹性状态还是塑性状态的准则就是后继屈服条件或称硬化条件服条件或称硬化条件. 表示这个条件的函数关系称为表示这个条件的函数关系称为后继屈服后继屈服函数或硬化函数函数或硬化函数, 或加载函数或加载函数. 后继屈服不仅和当时的应力状后继屈服不仅和当时的应力状态有关态有关, 而且和塑性变形的大小及历史而且和塑性变形的大小及历史(即加载路径即加载路径)有关有关, 表表示为示为其中其中 称为硬化参数称为硬化参数,表示塑性变形的大小及历史表示塑性变形的大小及历史. 后继屈服后继屈服面就是以面就是以 为硬化参数的一族曲面为硬化参数的一族曲面, 我们要研究后继屈服面我们要研究后继屈服面的形状以及随塑性变形的发展的变化规律的形状以及随塑性变形的发展的变化规律.对于理想塑性材料后继屈服面是不变化的对于理想塑性材料后继屈服面是不变化的, 与初始屈服面重合与初始屈服面重合.2. 加加, 卸载准则卸载准则对于复杂应力状态对于复杂应力状态, 六个应力分量都可增可减六个应力分量都可增可减, 如何判别加载和如何判别加载和卸载卸载, 有必要提出一些准则有必要提出一些准则.(1)理想塑性材料的加载和卸载准则理想塑性材料的加载和卸载准则. 理论塑性材料是无硬化的理论塑性材料是无硬化的, 屈服条件与加载历史无关屈服条件与加载历史无关, 初始屈初始屈服面和后继屈服面是重合的服面和后继屈服面是重合的. 即即 屈服面屈服面法线方向法线方向加载加载卸载卸载的梯度方向的梯度方向如图所示如图所示弹性状态弹性状态;加载加载;卸载卸载.(2)硬化材料的加硬化材料的加,卸载准则卸载准则.中性变载中性变载加载加载卸载卸载后继屈服面后继屈服面对于硬化材料对于硬化材料,后继屈服面后继屈服面和初始屈服面不同和初始屈服面不同, 与塑性与塑性变形的大小和历史有关变形的大小和历史有关. 加加,卸载准则为卸载准则为:加载加载;中性变载中性变载;卸载卸载.中性变载是指不产中性变载是指不产生新的塑性变形生新的塑性变形.2-6 几种硬化模型几种硬化模型加载曲面加载曲面 是怎样变化的是怎样变化的? 这个变化是复杂的这个变化是复杂的, 主主要是因为材料塑性变形后各向异性效应显著要是因为材料塑性变形后各向异性效应显著. 为了便于应用不为了便于应用不得不对它进行简化得不对它进行简化.1. 单一曲线假定单一曲线假定. 单一曲线假设认为单一曲线假设认为,对于塑性变形中对于塑性变形中 保持各保持各向同性的材料向同性的材料,在各应力分量成比例增加的情况下在各应力分量成比例增加的情况下, 硬化弹性硬化弹性可以用应力强度和应变强度的确定关系来表示可以用应力强度和应变强度的确定关系来表示这个关系的确定可以用简单的拉伸这个关系的确定可以用简单的拉伸实验来定实验来定.材料硬化条件要求切线模量材料硬化条件要求切线模量 为为正正. 另外还要求另外还要求2. 等向硬化模型等向硬化模型. 这个模型认为加载面在应力空间中作相似这个模型认为加载面在应力空间中作相似的扩大的扩大. 仍然保持各向同性仍然保持各向同性. 硬化条件可以表示为硬化条件可以表示为其中其中 为初始屈服面为初始屈服面. K表示所经历的塑性变形的函数表示所经历的塑性变形的函数. 一种假设是硬化程度只是一种假设是硬化程度只是总塑性功的函数总塑性功的函数, 而与应变路径无关而与应变路径无关, 即即 . 另一种假另一种假设是定义一个量度塑性变形的量设是定义一个量度塑性变形的量,用它来量度硬化程度用它来量度硬化程度 . 对于对于Mises屈服条件屈服条件. 初始屈服条件初始屈服条件为为它的等向硬化加载条件变成它的等向硬化加载条件变成F可由单向实验来定可由单向实验来定. 它们是一系列它们是一系列同心圆同心圆.3. 随动硬化模型随动硬化模型. 假定在塑性变形过程中假定在塑性变形过程中, 屈服曲面的大小和屈服曲面的大小和形状不变形状不变, 只是应力空间内作刚体平移只是应力空间内作刚体平移. 随动强化加载曲面可随动强化加载曲面可表示为表示为 叫移动张量叫移动张量, 它有赖于塑性变形量它有赖于塑性变形量. 有文献指出有文献指出加载曲面沿应力点的外法线加载曲面沿应力点的外法线方向移动方向移动, 加载曲面可写成加载曲面可写成 对于对于Mises屈服条件有屈服条件有 可由简单拉伸实验来定可由简单拉伸实验来定.屈服曲线的变化如图屈服曲线的变化如图.4. 组合硬化模型组合硬化模型2-7 DruckerDrucker公设公设 在这一节我们介绍一个关于材料硬化的假在这一节我们介绍一个关于材料硬化的假设设Drucker公设公设; 在这个公设的基础上可以得到两个重要的结在这个公设的基础上可以得到两个重要的结论论: (1)屈服面必定是外突的屈服面必定是外突的; (2)建立塑性本构关系建立塑性本构关系.1. 稳定材料和不稳定材料稳定材料和不稳定材料. 材料的拉伸应力应变曲线可能有材料的拉伸应力应变曲线可能有: 所示的材料所示的材料,随加载应力随加载应力,应变都增加应变都增加,材料是硬化的材料是硬化的. 在在这一变形工程中这一变形工程中,附加应力在应变增量上作正功附加应力在应变增量上作正功,这种特性的材这种特性的材料被称为料被称为稳定材料稳定材料或或硬化材料硬化材料. 所示所示,应力应变曲线在过应力应变曲线在过 点以后点以后, 应变增加应变增加,应力减小应力减小,此时应力增量作负功此时应力增量作负功, 这种特性这种特性的材料被称为的材料被称为材料不稳定材料不稳定或或软化材料软化材料. 所示所示,与能量守恒矛与能量守恒矛盾盾,所以不可能所以不可能.2. DruckerDrucker公设公设 从从右边的单向拉伸应力应变右边的单向拉伸应力应变曲线看曲线看, 对于稳定材料对于稳定材料, 如果如果从从 开始加载到开始加载到 再到再到 , 然后卸载然后卸载,此时弹性此时弹性应变可以恢复应变可以恢复, 相应的弹性相应的弹性应变能完成释放应变能完成释放, 但塑性变但塑性变形不能恢复被保留下来形不能恢复被保留下来, 消消耗的塑性应变能是图上的红耗的塑性应变能是图上的红框包围的两块面积框包围的两块面积A,B被保被保留下来留下来.它们是恒大于零的它们是恒大于零的:第二式中的等号适用于理想第二式中的等号适用于理想塑性材料塑性材料. Drucker把它引伸到复杂应力把它引伸到复杂应力情况情况,这就是这就是Drucker公设公设.Drucker公设在塑性力学中有公设在塑性力学中有重要意义重要意义.3. 屈服面的外凸性和塑性应变增量的法向性屈服面的外凸性和塑性应变增量的法向性我们如将塑性应变空间与应力空间重合起来我们如将塑性应变空间与应力空间重合起来,由由Drucker公公设的第一式设的第一式, 把它看成是两个矢量的点积把它看成是两个矢量的点积.图示即图示即 为这两个矢量的夹角为这两个矢量的夹角, 必定为锐角必定为锐角.在这种情况下在这种情况下, 一定在屈服面一定在屈服面 点的外法线方向点的外法线方向 上上, 因为因为 点在屈服点在屈服面内面内, 的活动范围是的活动范围是 点的切线点的切线方向到反切线方向方向到反切线方向( ), 要与它夹角是锐角就一定在法线方向要与它夹角是锐角就一定在法线方向上上,并且屈服面一定是外凸的并且屈服面一定是外凸的. 如果屈服面不是外凸的如果屈服面不是外凸的, 如左图所示如左图所示,夹角有可能是钝角夹角有可能是钝角, Drucker公设不成公设不成立立. 上面提到上面提到 是在屈服面的是在屈服面的 点的外法线方向上点的外法线方向上. 这称为这称为塑性应变增量的法向性塑性应变增量的法向性. 我们知道如果屈服函数为势函数我们知道如果屈服函数为势函数, 屈屈服面即为等势面服面即为等势面, 它的外法线方向和它的梯度方向一致它的外法线方向和它的梯度方向一致, 则则 和梯度矢量的分量成正比和梯度矢量的分量成正比,即即其中其中 为一个大于零的比例系数为一个大于零的比例系数.它也可称为与屈服条件相它也可称为与屈服条件相关联的塑性流动法则关联的塑性流动法则.为研究塑性力学的本构关系有重要意义为研究塑性力学的本构关系有重要意义. Drucker公设的第二式是加载准则公设的第二式是加载准则. 它的几何意义是当它的几何意义是当 不为零时不为零时, 的方向必须指向加载面外法线一侧的方向必须指向加载面外法线一侧, 即即因为因为 , 所以所以这就是加载准则这就是加载准则.