3.33.3 函数的和、差、积、商函数的和、差、积、商 的导数的导数( (一一) )yyyyyyyy年年M M月月d d日星期日星期 1. 导数的定义：导数的定义：复复 习习 回回 顾顾 2. 求函数求函数 y = f (x) 在点在点 x0 处的导数的步骤：处的导数的步骤：3. 几种常见函数的导数：几种常见函数的导数： （一）两个函数的和与差的导数：（一）两个函数的和与差的导数： 法则法则 1 两个函数的和（或差）的导数，等于这两两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差），即个函数的导数的和（或差），即其中其中 u 和和 v 都是关于都是关于 x 的函数，并且都是可导的的函数，并且都是可导的 .证明：证明： y = f (x) = u(x) v(x) ,新新 课课 教教 学学例例 1 求求 y = x 3 + sin x 的导数的导数 .例例 2 求求 y = x 4 x 2 x + 3 的导数的导数 .解：解：y=(x3+sinx)=(x3)+(sinx)=3x2+cosx解：解：y=(x4x2x+3) =(x4)(x2)x+3=4x32x1， （二）两个函数的积的导数：二）两个函数的积的导数： 法则法则 2 ：两个函数的积的导数，等于第一个函数：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即函数的导数，即证明：证明： y = f (x) = u (x) v (x) , 因为因为 v(x) 在点在点 x 处可导，处可导， 于是当于是当 x 0 时，时，v(x+ x) v(x) .所以所以 v(x) 在点在点 x 处连续处连续.解：解： 解：解： 例例5 y=3x2+xcosx，求导数，求导数y.解：解：y=(3x2+xcosx) =(3x2)+(xcosx) =32x+xcosx+x(cosx) =6x+cosx+xsinx例例6 y=5x10sinx2 cosx9，求，求y.解解：y=(5x10sinx2 cosx9) =(50x9+2)sinx+(5x10)cosx=5(x10)sinx+5x10(sinx) 2( )cosx+2 (cosx)0=(5x10sinx)(2cosx)9=510x9sinx+5x10cosx(cosx2sinx)=50x9sinx+5x10cosxcosx+2sinx 推推 广广上述公式可以推广到个函数的情况：上述公式可以推广到个函数的情况： （f1+f2+fn) =f1+f2+fn（f1f2fn) = f1f2fn+ f1f2f3fn+ f1f2fn-1fn例例7* 已知已知fn(x)= . 则则解：令令x=0,得得例例7* 已知已知fn(x)= . 则则1.求函数的导数求函数的导数. (1)y=2x3+3x25x+4 (2)y=sinxx+1 (3)y=(3x2+1)(2x) (4)y=(1+x2)cosx 练练 习习解解 ： （1）(2x3+3x2-5x+4)=(2x3)+(3x2)-(5x)+4 =23x2+32x-5=6x2+6x-5（2）y=(sinxx+1)=(sinx)x+1=cosx1（3）y=(3x2+1)(2x) =(3x2+1)(2x)+(3x2+1)(2x) =32x(2x)+(3x2+1)(1)=9x2+12x1（4）y=(1+x2)cosx=(1+x2)cosx+(1+x2)(cosx) =2xcosx+(1+x2)(sinx)=2xcosx(1+x2)sinx2.填空：填空：(1)(3x2+1)(4x23)=( )(4x23)+(3x2+1)( )(2)(x3sinx)=( )x2sinx+x3( )6x8x3cosx3.判断下列求导是否正确，如果不正确，加以改正判断下列求导是否正确，如果不正确，加以改正.(3+x2)(2x3)=2x(2x3)+3x2(3+x2)解：不正确解：不正确.(3+x)2(2x3) =(3+x2)(2x3)(3x2)(2x3) =2x(2x3)+(3+x2)(3x2) =2x(2x3)3x2(3+x2) 由常函数、由常函数、幂函数及正、余弦函数函数及正、余弦函数经加、减、乘运加、减、乘运算得到的算得到的简单的函数均可利用求的函数均可利用求导法法则与与导数公式求数公式求导，而不需要回到而不需要回到导数的定数的定义去求此去求此类简单函数的函数的导数。数。 求导法则求导法则求导法则可以推广到有限个函数的情况。求导法则可以推广到有限个函数的情况。 小小 结结 两个可导函数的和、差、积一定可导；两个不两个可导函数的和、差、积一定可导；两个不可导函数和、差、积不一定不可导可导函数和、差、积不一定不可导